数理方程4学习教案.pptx

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1、数理方程数理方程(fngchng)4第一页，共50页。数 学 物 理 方 程主讲主讲(zhjing)：王王 正正 斌斌E_mail:E_mail: BBS:BBS:科技教育科技教育(jioy)/(jioy)/物理研究物理研究 答疑：周二下午答疑：周二下午3 3：30305 5：0000，教，教2 2605605室室南京邮电大学南京邮电大学 、数理学院数理学院(xuyun)(xuyun)、应用物理系、应用物理系第1页/共50页第二页，共50页。第四章、特殊函数第四章、特殊函数(hnsh)常微分方程常微分方程勒让德方程勒让德方程(fngchng)(fngchng)贝塞尔方程贝塞尔方程(fngchn

2、g)(fngchng)勒让德多项式勒让德多项式贝塞尔函数贝塞尔函数在球坐标系解三类偏微分方程：在球坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：第2页/共50页第三页，共50页。拉普拉斯方程拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的一般形式为的一般形式为1 1、在球坐标系下，、在球坐标系下，表示为：表示为：解：设分离解：设分离(fnl)(fnl)变量形式的试探解变量形式的试探解代入方程代入方程(fngchng)(fngchng)得到得到一、勒让德方程的导出一、勒让德方程的导出第3页/共50页第四页，共50页。第4页/共50页第五页，共50页。式中第一个

3、方程式中第一个方程(fngchng)为欧勒型常微分方程为欧勒型常微分方程(fngchng),解得解得 第二个方程第二个方程(fngchng)为球函数方程为球函数方程(fngchng)，对该方程，对该方程(fngchng)继续做分离：继续做分离：代入球函数代入球函数(hnsh)方程得到方程得到第5页/共50页第六页，共50页。式中第一个方程式中第一个方程(fngchng)(fngchng)由自然边界条件由自然边界条件构成本征值和本征函数构成本征值和本征函数第二个方程第二个方程(fngchng)(fngchng)可以改写为可以改写为 令令第6页/共50页第七页，共50页。该方程称为该方程称为 阶连

4、带勒让德方程或阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。阶缔合勒让德方程。如果如果(rgu)球坐标的极轴为对称轴球坐标的极轴为对称轴 阶勒让德方程阶勒让德方程第7页/共50页第八页，共50页。在柱坐标系下解在柱坐标系下解 拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：分离分离(fnl)变量得变量得二、贝塞尔方程二、贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)的导出的导出第8页/共50页第九页，共50页。n n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)(1)(1)情况。作代换情况。作代换，则得，则得 (2)(2)情况。作代换情况。作代换，则得，则得 n n阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程(fng

5、chng)(fngchng)第9页/共50页第十页，共50页。三、亥姆霍兹方程三、亥姆霍兹方程(fngchng)(fngchng)(a)(a)、三维波动、三维波动(bdng)(bdng)方程为方程为:设分离设分离(fnl)(fnl)变量解为变量解为:代入方程，并移项得到：代入方程，并移项得到：得得Helmholtz Equation第10页/共50页第十一页，共50页。（b)b)、三维输运、三维输运(sh yn)(sh yn)方程为：方程为：分离分离(fnl)(fnl)时间变量和空间变量，得：时间变量和空间变量，得：代入方程，并移项代入方程，并移项(y xin)得到得到：得得Helmholtz

6、 Equation第11页/共50页第十二页，共50页。在球坐标系下解亥姆霍兹方程在球坐标系下解亥姆霍兹方程(fngchng)(fngchng)：亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程(fngchng)(fngchng)：在球坐标系下的形式在球坐标系下的形式(xngsh)(xngsh)为：为：分离变量，得：分离变量，得：第12页/共50页第十三页，共50页。展开(zhn ki)得球球 贝贝 塞塞 尔尔 方方 程程阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 第13页/共50页第十四页，共50页。在柱坐标系下解亥姆霍兹方程在柱坐标系下解亥姆霍兹方程(fngchng)(fngchng)：利用利用(lyng)柱坐标系的柱坐标系的La

7、place方程的表达式可得柱坐标系方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式方程的表达式:分离分离(fnl)(fnl)变量，得：变量，得：代入原方程得：代入原方程得：第14页/共50页第十五页，共50页。记常数记常数，也即，也即，那么上面第三个方程可以写成：，那么上面第三个方程可以写成：对自变量做变换对自变量做变换 ，那么上式变成，那么上式变成 该式即为该式即为n阶阶Bessel方程方程(fngchng)。第15页/共50页第十六页，共50页。幂级数展开幂级数展开(zhn ki)(zhn ki)定义：各项均为幂函数定义：各项均为幂函数的无穷级数：的无穷级数：称为以称为以为展开中心的

8、幂级数。其中为展开中心的幂级数。其中都是复常数。都是复常数。1 1、达朗贝尔判别法：若、达朗贝尔判别法：若则幂级数绝对收敛。则幂级数绝对收敛。敛散性：敛散性：2、根值判别法：若、根值判别法：若，则幂级数绝对收敛；，则幂级数绝对收敛；第16页/共50页第十七页，共50页。泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数展开级数展开洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)级数展开级数展开 幂级数展开幂级数展开(zhn ki)泰勒泰勒(ti l)(Taylor)级数展开级数展开可展开为幂级数可展开为幂级数称为泰勒展开系数。称为泰勒展开系数。泰勒泰勒(Taylor)定理定理：若：若在在内解析，则在此圆

9、内，内解析，则在此圆内，其中，其中为圆周为圆周，且展开唯一。，且展开唯一。(要多精确有多精确要多精确有多精确)解析：若函数解析：若函数(hnsh)f(z)在点在点z0及其邻域上处处可导，则称及其邻域上处处可导，则称f(z)在在z0点解析。点解析。第17页/共50页第十八页，共50页。几个几个(j)基本初等函数的泰勒展开式：基本初等函数的泰勒展开式：解析解析(ji x)函数：若函数函数：若函数f(z)在区域在区域B上每一点都解析上每一点都解析(ji x)，则称，则称f(z)是区域是区域B上的解析上的解析(ji x)函数。函数。第18页/共50页第十九页，共50页。洛朗洛朗(Laurent)级数级

10、数(j sh)展开展开 洛朗洛朗(Laurent)定理定理：设：设在环形区域在环形区域则对环域上任一点则对环域上任一点 可展为幂级数可展为幂级数，其中，其中一周的任一一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。的内部单值解析，的内部单值解析，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园洛朗洛朗(Laurent)级数级数(j sh)展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将非奇异项展开为非奇异项展开为Taylor级数级数(j sh)，再和非奇异项合并，再和非奇异项合并第19页/共5

11、0页第二十页，共50页。特殊特殊(tsh)函数方程的级数解法函数方程的级数解法 熟悉的特殊熟悉的特殊(tsh)函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊球贝塞尔方程等特殊(tsh)函数；函数；未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学(shxu)物理偏微分方程进行分离，还会物理偏微分方程进行分离，还会出现其它各种各样的特殊函数方程。出现其它各种各样的特

12、殊函数方程。级数解法级数解法：就是在某个任选点：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的级数，代入原方程以逐个确定系数的级数，代入原方程以逐个确定系数。第20页/共50页第二十一页，共50页。常微分形式常微分形式(xngsh)：线性二阶常微分方程：线性二阶常微分方程方程的常点方程的常点：常微分方程中系数常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是解析的，的邻域中是解析的，则则 点点 称为方程的常点。称为方程的常点。第21页/共50页第二十二页，共50页。一、常点邻域一、常点邻域(ln y)上的级数解上的级数解该解可以表示该解可以表示

13、(biosh)为此邻域上的泰勒级数的形式为此邻域上的泰勒级数的形式:求解步骤：把展开级数求解步骤：把展开级数(j sh)代入方程，合并同幂项，令合并后的各代入方程，合并同幂项，令合并后的各系数分别为零系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来确定各个系数。确定各个系数。方程的奇点方程的奇点：常微分方程中系数常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是的邻域中是 或或 的奇点，则的奇点，则 点点 称为方程的奇点。称为方程的奇点。第22页/共50页第二十三页，共50页。泰勒泰勒(ti l)级数形式及其导数为级数形式及其导数为化简之

14、后化简之后(zhhu)得到得到(1)勒让德方程在勒让德方程在 的级数解的级数解第23页/共50页第二十四页，共50页。要使各幂次合并后的系数要使各幂次合并后的系数(xsh)分别为零，则得到系数分别为零，则得到系数(xsh)的递推公式为的递推公式为第24页/共50页第二十五页，共50页。其中其中 为偶次幂，是偶函数，为偶次幂，是偶函数，为奇次幂，是奇函数。为奇次幂，是奇函数。第25页/共50页第二十六页，共50页。(2)解的收敛解的收敛(shulin)半径半径由系数由系数(xsh)的递推公式可以得到的递推公式可以得到因此级数因此级数 和和 收敛于收敛于 ，而发散于，而发散于 。由于由于 阶勒让德

15、方程中阶勒让德方程中 ,所以其解是收敛的。所以其解是收敛的。(3)解在解在 的收敛性的收敛性根据高斯判别法可以证明，级数解根据高斯判别法可以证明，级数解 和和 在在是发散的。是发散的。第26页/共50页第二十七页，共50页。（4）解退化）解退化(tuhu)为多项式为多项式若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零若再取若再取 ，那么，那么 解为只含偶次幂的解为只含偶次幂的 l 阶多项式阶多项式选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零若再取若再取

16、，那么，那么 解为只含奇次幂的解为只含奇次幂的 l 阶多项式阶多项式选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式第27页/共50页第二十八页，共50页。(5)自然自然(zrn)边界条件边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的勒让德方程在勒让德方程在 也必须为有限的成为勒让德方程的自然也必须为有限的成为勒让德方程的自然边界条件。因此边界条件。因此(ync)，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题，其本征值是题，其本征值是l(l+1)(l为零

17、或正整数为零或正整数)，所以本征函数为，所以本征函数为l阶勒阶勒让德多项式。让德多项式。第28页/共50页第二十九页，共50页。二、奇点邻域二、奇点邻域(ln y)上的级数解上的级数解（1 1）n n 阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在 的邻域上的解的邻域上的解第29页/共50页第三十页，共50页。代入代入Bessel 方程方程(fngchng)，合并同类项得：，合并同类项得：比较比较(bjio)等式两边系数，可得一系列方程：等式两边系数，可得一系列方程：第30页/共50页第三十一页，共50页。第二个方程第二个方程(1)、先取、先取，递推公式成为，递推公式成为 第31页/共50页第三十二页，共50页

18、。因此贝塞尔方程因此贝塞尔方程(fngchng)的一个特解为的一个特解为:第32页/共50页第三十三页，共50页。该级数该级数(j sh)的收敛半径为的收敛半径为:通常通常(tngchng)取：取：因此只要因此只要 有限，级数就是收敛的。有限，级数就是收敛的。此时把这个此时把这个(zh ge)解称为解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为：阶第一类贝塞尔函数，记为：第33页/共50页第三十四页，共50页。(2)、再取、再取，递推公式成为，递推公式成为 第34页/共50页第三十五页，共50页。因此因此(ync)贝塞尔方程的另一个特解为贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛该级数的收敛(shulin)(s

19、hulin)半径为半径为:因此只要因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取有限，级数就是收敛的。通常取第35页/共50页第三十六页，共50页。此时把这个解称为此时把这个解称为-n n 阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数，记为：，记为：因此，因此，n n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)的通解就是两个特解的线性的通解就是两个特解的线性叠加叠加 ：可证明，当可证明，当n n为整数时，为整数时，与与 线性相关，而当线性相关，而当n n不为整数不为整数时，他们线性无关。时，他们线性无关。第36页/共50页第三十七页，共50页。贝塞尔方程对应贝塞尔方程对应 的特解为：的特解为：

20、贝塞尔方程对应贝塞尔方程对应的特解为：的特解为：只要只要 ，则，则 是负整数是负整数 负整数的负整数的 函数为无限大函数为无限大 证明证明:当当n n为整数时，为整数时，与与 线性相关线性相关第37页/共50页第三十八页，共50页。当当 n 为整数为整数(zhngsh)时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的不能表示不能表示(biosh)为为n阶阶Bessel方程的解方程的解第38页/共50页第三十九页，共50页。若取若取 ：代入通解代入通解(tngji)(tngji)中可以得到另外一个特解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为，该特解可以作为

21、n n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数诺伊曼函数:因此因此(ync)n(ync)n阶贝塞尔方程的通解还可以写成阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ：不论不论n是否为整数是否为整数(zhngsh)，贝塞尔方程的通解都可以用上，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！式表示！当当n n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！第39页/共50页第四十页，共50页。（2 2）在）在 的邻域上求解的邻域上求解 阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：解：根据解：根据(gnj)整数阶贝塞尔方程的求

22、解，可得整数阶贝塞尔方程的求解，可得第40页/共50页第四十一页，共50页。第41页/共50页第四十二页，共50页。同理，可求得另外同理，可求得另外(ln wi)一个特解：一个特解：因此因此(ync)方程的通解为方程的通解为由此可以推广到半奇数由此可以推广到半奇数阶贝塞尔方程的求解阶贝塞尔方程的求解 根据根据Bessel函数之间的递推关系函数之间的递推关系(gun x)，可求得任意半奇数阶，可求得任意半奇数阶Bessel函数。函数。第42页/共50页第四十三页，共50页。n n为偶数时，为偶数时，为偶函数为偶函数n n为奇数时，为奇数时，为奇函数为奇函数第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数(hns

23、h)(hnsh)：汉克尔（：汉克尔（HankelHankel）函数）函数(hnsh)(hnsh)BesselBessel函数函数(hnsh)(hnsh)的奇偶性的奇偶性第43页/共50页第四十四页，共50页。三类三类(sn li)柱函数柱函数贝塞尔函数贝塞尔函数诺伊曼函数诺伊曼函数汉克尔函数汉克尔函数或或所以对应于贝塞尔方程所以对应于贝塞尔方程(fngchng)的通解为的通解为或或还可以把贝塞尔方程还可以把贝塞尔方程(fngchng)通解表示为通解表示为:第44页/共50页第四十五页，共50页。5.25.2、贝塞尔函数、贝塞尔函数(hnsh)(hnsh)递推公式递推公式不同阶的贝塞尔函数不同阶

24、的贝塞尔函数(hnsh)(hnsh)之间有一定之间有一定的联系的联系第45页/共50页第四十六页，共50页。令令同理可以同理可以(ky)得到得到:NOTE第46页/共50页第四十七页，共50页。若将上面若将上面(shng min)两式左端的导数求出，两式左端的导数求出，可得：可得：知道了知道了可求得到任意阶贝塞尔函数可求得到任意阶贝塞尔函数第47页/共50页第四十八页，共50页。第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数(hnsh)（诺伊曼函数（诺伊曼函数(hnsh)）的递推公式：）的递推公式：Hankel Function also comply with the rule第48页/共50页第四十九页，共50页。Thanks for your attention!第49页/共50页第五十页，共50页。