二三阶行列式12n阶行列式内.pptx

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1、一次方程称为一次方程称为线性方程线性方程，研究线性方程及系列相关问题的代数就称做研究线性方程及系列相关问题的代数就称做线性线性代数代数。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。会科学中。由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析数值分析与与运筹学运筹学中占有重要地位。中占有重要地位。（接高等代数目录）（接高等代数目录）

2、第1页/共52页 线性代数出现于十七世纪线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于主要理论成熟于十九世纪十九世纪.随着科学技术的发展，特别是电子计算机随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。第2页/共52页第一章第一章 行列式行列式(6(6个学时个学时)第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式

3、按行(列)展开第3页/共52页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入（一）二阶行列式（一）二阶行列式方程组的解为方程组的解为第4页/共52页方程组的解为方程组的解为由以下方程组的系数确定由以下方程组的系数确定.我们用记号我们用记号来表示代数和来表示代数和即：即：第5页/共52页则二元线性方程组的解用则二元线性方程组的解用行列式行列式来表示，为：来表示，为：若记：第6页/共52页主对角线副对角线例例1.（一一）二阶行列式二阶行列式对角线法则对角线法则以上的行列式的计算方法常称为：以上的行列式的计算方法常称为：行标行标列标第7页/共52页（二）三阶

4、行列式（二）三阶行列式定义定义定义定义记记记记（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式三阶行列式.列标列标行标行标第8页/共52页对角线法则对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!第9页/共52页或者：对角线法则或者：对角线法则把第一，二两列抄在行列式右边把第一，二两列抄在行列式右边+-说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!第10页/共52页三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积

5、每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积.其中三项为正其中三项为正,三项为负三项为负.三阶行列式的特点三阶行列式的特点:注意：行列式，项，元素三者两两之间的关系。第11页/共52页例例例例1 1 1 1 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有按对角线法则，有按对角线法则，有第12页/共52页第一章第一章 行列式行列式第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式按行(列)展开第14页/共52页(一一)排列与逆序排列与逆序第二节第二节 n阶行列式阶行列式由由n个不同的数码个不同的数码1,2,1,2,n组成的有序数组组成的

6、有序数组,称为一个称为一个n级排列级排列。例：例：3421534215是是5 5级排列，级排列，1194、45672374165是是7级排列，级排列，不是四级排列。不是四级排列。第15页/共52页例如例如 排列排列32514 中，中，我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定不同的自然数，规定由小到大由小到大为为标准次序标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序-此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数排列中某元素的逆序数-在一个排列 中

7、，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序逆序-第16页/共52页-此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数排列中某元素的逆序数-(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法例1 求排列42315的逆序数解4 2 3 1 5于是排列42315的逆序数(记为N(42315)为(1)求排列中每个元素的逆序数求排列中每个元素的逆序数 在一个排列 中，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序逆序-第17页/共52页例例3 3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计

8、算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性4 2 5 1 3故此排列的逆序数(记为N(32514)为:N(32514)=3+1+0+1+2=6.解解:此为偶排列。此为偶排列。第18页/共52页解此时均为偶排列此时均为偶排列此时均为奇排列此时均为奇排列.偶偶偶偶奇奇奇奇第19页/共52页对换对换换,称为此n级排列的一个对换.对调,其它数码不变,仅将它的两个数码得到另一个排列这样的变在一个排列中,如果例如:第20页/共52页（1）相邻对换：设原排列为：A,B表示除证明：两个数码以外的其他数码，正序正序反序反序反序反序正序正序故新

9、旧排列的奇偶性相反。定理定理1.11.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。第21页/共52页但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到（2）一般对换：设原排列为：（此步经过了s+1次相邻对换）再作相邻变换：（这一步经过了s次相邻对换）第22页/共52页即新排列 可由原排列 经过2s+1次的相邻对换得到。由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。第23页/共52页定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。例例:对于对于3级排列级排列,因3级排列的总数共

10、有所有的所有的3级排列如下级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶偶排列排列N(231)=2偶偶排列排列N(312)=1+1=2 偶偶排列排列N(321)=2+1=3 奇奇排列排列N(213)=1奇奇排列排列N(132)=1奇奇排列排列奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个排列中的一个,并没有产生新的并没有产生新的(即是覆盖不是插入即是覆盖不是插入)第24页/共52页设其中奇排列为p个，偶排列为q个。因n级排列的总数共有设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列个奇排

11、列全部变成偶排列，全部变成偶排列，同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列个偶排列全部变成奇排列，全部变成奇排列，故有：故有：定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。证明：证明：得到得到p个偶排列个偶排列(在原来在原来q个偶排列中个偶排列中)得到得到q个奇排列个奇排列(在原来在原来p个奇排列中个奇排列中)第25页/共52页(二二)n 阶行列式的定义阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式观察二阶行列式和三阶行列式:三阶行列式二阶行列式一、概念的引入一、概念的引入第26页/共52页乘积乘积的的代数

12、和代数和,两个元素的乘积可表示为两个元素的乘积可表示为:得到二阶行列式的所有项得到二阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为2!=2项项.(1)二阶行列式表示所有位于不同行不同列的二个元素为为2级排列级排列,当当取遍了取遍了2级排列级排列(12,21)时时,即即(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,则此项取正号则此项取正号,+-如果对应的列标构成的排列是偶排列如果对应的列标构成的排列是偶排列是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:第27页/共52页乘积的乘积的代数和代数和,三个元素的乘积可表示为三个元

13、素的乘积可表示为:132)时时,得到三阶行列式的所有得到三阶行列式的所有项项(不包括符号不包括符号),(1)三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三个元素为为3级排列级排列,当当取遍了取遍了3级排列级排列(123,231,312,321,213,(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果如果对应的列标构成的排列对应的列标构成的排列是是偶偶排列则此项取正号排列则此项取正号,奇奇排列则取负号排列则取负号.共为共为3!=6项项.例例+-第28页/共52页二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义称为称为n阶行列式阶行列式

14、第29页/共52页乘积的代数和乘积的代数和,n个元素的乘积可表示为个元素的乘积可表示为:时时,即得到即得到n阶行列式的所有项阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为n!项项.(1)n阶行列式表示所有位于不同行不同列的n个元素为为n级排列级排列,当当取遍了取遍了n级排列级排列(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:行列式常简记为行列式常简记为:第30页/共52页说明说明1、行列

15、式是一种特定的算式.2、n 阶行列式是 n!项的代数和;3、n阶行列式的阶行列式的每项每项都是位于不同行、不同都是位于不同行、不同列列n个元素个元素的乘积，的乘积，每行每列必有且只有一个每行每列必有且只有一个元素在此项中。元素在此项中。4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为注意：行列式，项，元素三者两两之间的关系。第31页/共52页上三角行列式下三角行列式对角行列式第32页/共52页例1 计算先看对角及下三角行列式先看对角及下三角行列式所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解1，其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自

16、不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第一行只可能取第二行只可能取第二行只可能取第第n行只可能取行只可能取没有没有n个不为零的元素，个不为零的元素，D=0同理，上三角行列式的答案相同。同理，上三角行列式的答案相同。第33页/共52页可以计算出 上三角行列式下三角行列式和对角行列式一样.都是主对角线上元素之积都是主对角线上元素之积.第37页/共52页证明证明:证毕证毕例4 证明行列式第40页/共52页例如例如:四阶行列式中四阶行列式中:即即:两项是一致的两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下可使用在行标没排序的情况下行标自然数序行标自然数序行标

17、乱序行标乱序定理定理1.3()=2+2+1=5=(1+0+1)+(3+2+0)=7由由n阶行列式定义：阶行列式定义：由定理由定理1.3第42页/共52页定理定理1.3证证:相应的相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。因此因此()项在其元素任意变换次序时符号不改变项在其元素任意变换次序时符号不改变.设经过了有限次交换，设经过了有限次交换，()元素的位置的变化为：元素的位置的变化为：()变为变为:()带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。(改变一下符号）改变一下符号）第43页/共52页书书P10例例3:是五

18、阶行是五阶行列式列式的一项的一项,则则应为何值应为何值?此时该项的符号此时该项的符号是多少是多少?解解:由行列式的定义由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行每一项的元素都来自于不同行不同列不同列,故有故有j=3,i,k一个为一个为1,另一个为另一个为5.(1)当当j=3,i=5,k=1时时该项的符号为正该项的符号为正(2)当当j=3,i=1,k=5时时该项的符号为负该项的符号为负.第44页/共52页书书P9 例例3:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式解解:2413234考虑行列式的考虑行列式的非零项非零项的元素行标按自然数顺序的元素行标按自然数顺序对应的列标对应的列标排列可能排列

19、可能:=1+1+1=3第47页/共52页例例:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式解解:考虑行列式的非零项的元素行标考虑行列式的非零项的元素行标按自然数顺序按自然数顺序对应的列标对应的列标排列可能排列可能:1241323124=1-1-1+1=0第49页/共52页定理定理1.3()上三角行列式下三角行列式,对角行列式都是主对角线上元素之积都是主对角线上元素之积.定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。定理定理1.11.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。n级排列的逆序数、奇偶性，对换。级排列的逆序数、奇偶性，对换。第50页/共52页作业P35 1.(2),(7),2(2)4,8.(2),9(2)(4),10,11,12(1)(2)(3).第51页/共52页感谢您的观看。第52页/共52页