数学变化率与导数新人教A选修学习教案.pptx

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1、会计学1数学变化率与导数新人数学变化率与导数新人(xnrn)教教A选修选修第一页，共48页。1.1.变化率与导数(do sh)第1页/共48页第二页，共48页。教学教学(jio xu)目标目标 n n了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵(nihn);了解函数的平均变化率;教学重点：n n函数的平均变化率;导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵(nihn);第2页/共48页第三页，共48页。一、变化率问题一、变化率问题(wnt)研究某个变量相对(xingdu)于另一个变量变化导数研究(ynji)的问题 的快慢程度变化率问题第3页/共48页第四页，共48页。微积分主要与四类微积分主要与四

2、类(s li)问题的处理问题的处理相关相关:n n一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物求物求物求物体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等;n n二、求曲线的切线二、求曲线的切线二、求曲线的切线二、求曲线的切线;n n三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;n n四、求长度四、求长度四、求长度四、求长度(chngd)(chngd)

3、、面积、体积和重心等。、面积、体积和重心等。、面积、体积和重心等。、面积、体积和重心等。n n导数是微积分的核心概念之一它是研究函数导数是微积分的核心概念之一它是研究函数导数是微积分的核心概念之一它是研究函数导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。最有效的工具。最有效的工具。最有效的工具。第4页/共48页第五页，共48页。变化率问题变化率问题(wnt)n n问题问题问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率气球膨胀率气球膨

4、胀率n n 我们都吹过气球回忆一下吹气我们都吹过气球回忆一下吹气我们都吹过气球回忆一下吹气我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程球的过程球的过程球的过程,可以发现可以发现可以发现可以发现,随着气球内空气随着气球内空气随着气球内空气随着气球内空气容量的增加容量的增加容量的增加容量的增加(zngji),(zngji),气球的半径增气球的半径增气球的半径增气球的半径增加加加加(zngji)(zngji)越来越慢越来越慢越来越慢越来越慢.从数学角度从数学角度从数学角度从数学角度,如如如如何描述这种现象呢何描述这种现象呢何描述这种现象呢何描述这种现象呢?气球的体积气球的体积V(单位单位(dnwi):L)与半

5、径与半径r(单位单位(dnwi):dm)之间的函数关系是之间的函数关系是如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么第5页/共48页第六页，共48页。我们我们(w men)来来分分析一下析一下:当V从0增加(zngji)到1时,气球半径增加(zngji)了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球(qqi)半径增加了气球(qqi)的平均膨胀率为显然显然问题问题1气球膨胀率气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度

6、从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?第6页/共48页第七页，共48页。思考思考(sko)?n当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均(pngjn)膨膨胀率是多少胀率是多少?第7页/共48页第八页，共48页。问题问题(wnt)2 高台高台跳水跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的运动员相对于水面的运动员相对于水面的运动员相对于水面的高度高度高度高度(god)h(god)h(god)h(god)h(单位：米单位：米单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间与起跳后的时间与起跳后的时间t t t t（

7、单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系 h(t2+6.5t+10.h(t2+6.5t+10.h(t2+6.5t+10.h(t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态地描述其运动状态地描述其运动状态?请计算请计算(jsun)hto第8页/共48页第九页，共48页。请计请计算算(j sun)htoh(t2+6.5t+10第9页/共48页第十页，共48页。平均平均(png

8、jn)变化变化率定义率定义:若设若设若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则平均则平均则平均则平均(pngjn)(pngjn)变化率为变化率为变化率为变化率为这里这里x看作是对于看作是对于(duy)x1的的一个一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率第10页/共48页第十一页，共48页。思考思考(sko)?n观察函数观察函数f(x)的图象的图象n平均变化率平均变化率n表示表示

9、(biosh)什什么么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线(zhxin)AB的斜的斜率率第11页/共48页第十二页，共48页。做两个做两个(lin)题吧题吧!n n1、已知函数、已知函数f(x)=-x2+x的图象的图象上的一点上的一点(y din)A(-1,-2)及临近及临近一点一点(y din)B(-1+x,-2+y),则则y/x=()n nA 3 B 3x-(x)2n nC 3-(x)2 D 3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近附近(fjn)的平均速度。的平均速度。2x0+x第12页/共48页第十三页，共48页。练习练

10、习(linx)：2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律的规律(gul)作作直线运动直线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A第13页/共48页第十四页，共48页。小结小结(xioji)：n n1.1.函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)的平均变化率的平均变化率的平均变化率的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤(bzhu):(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率计算平均变化率第14页/共48页第十五页，共48页。练习练习练习练习(linx)(linx)：n n过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点

11、上两点P（1，1）和）和Q(1+x,1+y)作曲线作曲线的割线的割线(gxin)，求出当，求出当x时割线时割线(gxin)的斜率的斜率.n n 第15页/共48页第十六页，共48页。二、导数二、导数(do sh)(do sh)的概念的概念 第16页/共48页第十七页，共48页。问题问题(wnt)2高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存（单位：秒）存在函数在函数(hnsh)(hnsh)关系关系 h(t2+6.5t+10.h(t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时

12、如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto第17页/共48页第十八页，共48页。第18页/共48页第十九页，共48页。瞬时速度瞬时速度(shn sh s d).n n在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度平均速度(pn jn s d)不能准确反映不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.又如何又如何(rh)求求瞬时速度呢瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.第19页/共48页第二十页，共48页。如何求（比如，如何求（比如，如何求（比如，如何求（比如，t=2 t=

13、2 t=2 t=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过通过通过通过(tnggu)(tnggu)(tnggu)(tnggu)列表看出平均速度的变化趋势列表看出平均速度的变化趋势列表看出平均速度的变化趋势列表看出平均速度的变化趋势：当当t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度(pnjnsd)有什么变有什么变化趋势化趋势?第20页/共48页第二十一页，共48页。瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)(shn sh s d)n我们用我们用 n n表示表示“当当t=2,tt=2,t趋近于趋近于0 0时时,平平均速度均速度(pn jn s d)(pn jn

14、s d)趋于确趋于确定值定值-13.1”.-13.1”.那么那么,运动员在某一时刻运动员在某一时刻(shk)t0(shk)t0的瞬时速度的瞬时速度?局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。第21页/共48页第二十二页，共48页。导数导数(do sh)的定义的定义:从从函函数数(hnsh)y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是:第22页/共48页第二十三页，共48页。问题问题(wnt):n n求函数求函数求函数求函数

15、y=3x2y=3x2在在在在x=1x=1处的导数处的导数处的导数处的导数(dosh).(dosh).n n分析：先求分析：先求分析：先求分析：先求f=y=f(f=y=f(x)-f(x)-f()n n=6x+3(x)2=6x+3(x)2n nn n再求再求再求再求n nn n再求再求再求再求第23页/共48页第二十四页，共48页。应用应用(yngyng)：例例1物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其其中位中位移单位是移单位是m,时间时间(shjin)单位是单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间物体在时间(shjin)区间区间2,2.1上的平上的平均速度；均

16、速度；(2)物体在时间物体在时间(shjin)区间区间2,2.01上的平上的平均速度；均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.分析分析(fnx):第24页/共48页第二十五页，共48页。解解:(1)将将t=0.1代入上式，得代入上式，得:(2)将将t=0.01代入上式，得代入上式，得:第25页/共48页第二十六页，共48页。应用应用应用应用(yngyng)(yngyng)：n例例2将原油精练为汽油将原油精练为汽油(qyu)、柴、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第原油进行冷却和加热。如果第x(h)时，原油的温度（单位：

17、时，原油的温度（单位：0C）为）为f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原由温度的瞬时变）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。化率，并说明它们的意义。关键关键(gunjin)是是求出：求出：它说明在第它说明在第2（h)附近，原油温附近，原油温度大约以度大约以30C/h的速度下降；在的速度下降；在第第6（h)附近，原油温度大约以附近，原油温度大约以50C/H的速度上升。的速度上升。第26页/共48页第二十七页，共48页。应用应用(yngyng)：n例例3 3质量为质量为kgkg的物体，按照的物体，按照(nzho)s(t)=3t2+t+4(nzho

18、)s(t)=3t2+t+4的规律做直的规律做直线运动，线运动，n（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的瞬时物体的瞬时速度；时速度；n（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的动时物体的动能。能。第27页/共48页第二十八页，共48页。小结小结(xioji)：n1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：n（1 1）求位移）求位移(wiy)(wiy)增量增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)n (2)(2)求平均速度求平均速度n（3 3）求极限）求极限1由导数的定义由导数的定义(dngy)可得求导数的一般步骤：可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的

19、增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限第28页/共48页第二十九页，共48页。练习练习(linx)：n(1)求函数求函数y=在在x=1处的导数处的导数(dosh).n(2)求函数求函数y=的导数的导数(dosh).第29页/共48页第三十页，共48页。三、导数的几何三、导数的几何意义意义(yy)第30页/共48页第三十一页，共48页。回顾回顾平均平均(pngjn)变化变化率率函数函数(hnsh)y=f(x)(hnsh)y=f(x)的定义域为的定义域为D,x1.x2D,f(x)D,x1.x2D,f(x)从从x1x1到到x2x2平均变化率为平均变化率为

20、:割线割线(gxin)的斜的斜率率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y第31页/共48页第三十二页，共48页。回顾回顾以平均速度以平均速度(pn jn s d)代替瞬时速度，然后通代替瞬时速度，然后通过取极限，过取极限，从瞬时速度的近似值过渡从瞬时速度的近似值过渡(gud)到瞬时速度的精确值。到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为(chnwi)瞬时速度瞬时速度.从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0

21、 0处的导数，记作处的导数，记作f f(x(x0 0)或或y y|xx|xx0 0即即第32页/共48页第三十三页，共48页。由导数由导数(dosh)的意义可知的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数(dosh)的基本方法是的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可它可正也可负负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的形式是多样(duyn)的的,但但不论不论x选择选择哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾(hug)第33页/共48页第三十四页，共48页。应用应用(yngy

22、ng)：n例例1将原油精练为汽油、柴油、塑将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第行冷却和加热。如果第x(h)时，原时，原油的温度（单位：油的温度（单位：0C）为）为f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原由温度的瞬时）时，原由温度的瞬时(shnsh)变化率，并说明它们的意变化率，并说明它们的意义。义。关键关键(gunjin)是是求出：求出：它说明在第它说明在第2（h)附近，原油附近，原油温度大约以温度大约以30C/h的速度下降；的速度下降；在第在第6（h)附近，原油温度大约附近，原油温

23、度大约以以50C/H的速度上升。的速度上升。第34页/共48页第三十五页，共48页。PQoxyy=f(x)割割线线切线切线(qixin)T导数的几何意义(yy):我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置(wizhi)PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的切处的切线线.第35页/共48页第三十六页，共48页。设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么那么当当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率(xil),称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率(xil).即即:这个概念这个概

24、念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数函数(hnsh)在在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关(yugun);要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多

25、个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T第36页/共48页第三十七页，共48页。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线切线(qixin)方程为方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤(bzhu):求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.第37页/共48页第三十八页，共48页。练习练习:如图已知曲线如图已知曲线,求求:(1)

26、点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点即点P处的切线的斜率处的切线的斜率(xil)等于等于4.(2)在点在点P处的切线处的切线(qixin)方程是方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.第38页/共48页第三十九页，共48页。第39页/共48页第四十页，共48页。在不致在不致(bzh)发生混淆时，导函数也简称导数发生混淆时，导函数也简称导数函数函数(hnsh)导导函数函数(hnsh)由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时(dngsh),f(x0)是一个

27、确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导的导函数函数.即即:第40页/共48页第四十一页，共48页。如何如何(rh)求函数求函数y=f(x)的导数的导数?第41页/共48页第四十二页，共48页。看一个看一个(y)例子例子:第42页/共48页第四十三页，共48页。下面把前面下面把前面(qinmian)知识小结知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同(xintn)的数的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识

28、这一概念的实质，学会用事物在全过理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤要切实掌握求导数的三个步骤(bzhu)：（1）求函数的增）求函数的增量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。第43页/共48页第四十四页，共48页。（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数就是导函数就是导函数在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即。这也。这也是是求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。小结(xioji):（2

29、）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数。（1）函数在一点处的导数）函数在一点处的导数(dosh)，就是在该点的，就是在该点的函数的改函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导导数数”之间的区别之间的区别(qbi)与联系。与联系。第44页/共48页第四十五页，共48页。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率，得到曲线，得到曲线在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即求切线方程求切线方程(fngchng)的步骤：的步骤：小结小结(xioji):无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求函数的导数的函数的导数的基本基本(jbn)思想，丢掉极限思想就无思想，丢掉极限思想就无法理解导法理解导数概念。数概念。第45页/共48页第四十六页，共48页。第46页/共48页第四十七页，共48页。第47页/共48页第四十八页，共48页。