数学模型电子学习教案.pptx

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1、会计学1数学模型电子数学模型电子(dinz)第一页，共41页。6.1 捕鱼业的持续捕鱼业的持续(chx)收获收获问问题题(w(wntnt)及及 分分析析 在捕捞量稳定在捕捞量稳定(wndng)的条件下，的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼渔场鱼量将保持不变量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。第2页/共41页第二页，共41页。产量产量(chnling)模型模型假假设设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从(fcng)Logistic规律规律 单位时间捕捞单位时间捕捞(blo

2、)量与渔场鱼量成正比量与渔场鱼量成正比建模建模 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量第3页/共41页第三页，共41页。稳定性判稳定性判断断(pndun)x0 稳定稳定(wndng),可得到可得到稳定稳定(wndng)产量产量x1 稳定稳定(wndng),渔渔场干枯场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率第4页/共41页第四页，共41页。y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f 与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x第5页/共4

3、1页第五页，共41页。效益效益(xioy)模型模型假设假设(jish)鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞单位捕捞(blo)强度强度费用费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cE第6页/共41页第六页，共41页。EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞(blo)过度过度 封闭式捕捞追求封闭式捕捞追求(zhuqi)利润利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞(blo)只求利润只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强

4、度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ERERE*第7页/共41页第七页，共41页。6.2 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家国家(guji)或国家或国家(guji)集团集团)军备军备竞赛过程竞赛过程 解释解释(预测预测(yc)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假假设设 1）一方军备）一方军备(jnbi)越大，另一方军备越大，另一方军备(jnbi)增加越快；增加越快；2）一方军备越大，对自己军备增长的制约）一方军备越大，对自己军备增长的制约 越大；越大；3）每一方都存在增加军备的潜力。）每一方都存在增加军备的潜力。目的目的第8页/共41页第八页，共41页。建建模模x(t)甲方军备甲

5、方军备(jnbi)数量，数量，y(t)乙方乙方军备军备(jnbi)数量数量,本方经济本方经济(jngj)实力的实力的制约；制约；k,l 对方军备数量的刺激；对方军备数量的刺激；g,h 本方军备竞赛的潜力。本方军备竞赛的潜力。第9页/共41页第九页，共41页。线性常系线性常系数微分方数微分方程组程组的平衡点及其稳定的平衡点及其稳定性性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方程代数方程的根的根第10页/共41页第十页，共41页。平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断(pndun)系数系数矩阵矩阵平衡点平衡点(x0,y0)稳定的条件稳定的条件模型模型军备竞赛军备竞赛第11页/共41页第十一页，共4

6、1页。模型的定性模型的定性(dng xng)解释解释双方双方(shungfng)军备稳定军备稳定(时间充分长后趋向有限时间充分长后趋向有限值值)的条件的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才才会稳定，否则军备将无限会稳定，否则军备将无限(wxin)扩张。扩张。2)若若g=h=0,则则 x0=y0=0,在在 kl 下下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。第12页/共41页第十二页，共41页。3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(

7、t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备。，也会重整军备。4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如 x(t)=0，也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方面的单方面裁军不会持久。裁军不会持久。第13页/共41页第十三页，共41页。6.3 种群种群(zhn qn)的的相互竞争相互竞争自然环境自然环境(z rn hun jn)中两个种群之间关中两个种群之间关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的当两个种群相互竞争

8、时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到灭绝，竞争力强的达到(d do)环境容许的最大容量。环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。生这种结局的条件。第14页/共41页第十四页，共41页。模模型型假假设设甲乙两种群独自生存时数量变化甲乙两种群独自生存时数量变化(binhu)均服从均服从Logistic规律规律;乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量(shling)成正比成正比;甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的

9、竞争力强乙的竞争力强模型模型(mxng)第15页/共41页第十五页，共41页。模型模型(mxng)分析分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10,x20)代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点第16页/共41页第十六页，共41页。仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义(yy)第17页/共41页第十七页，共41页。平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析(fnx)平衡点平衡点 Pi 稳定稳定(

10、wndng)条件：条件：p 0 且且 q 0第18页/共41页第十八页，共41页。种群种群(zhn qn)竞争模型的平衡竞争模型的平衡点及稳定性点及稳定性不稳定不稳定(wndng)平平 衡点衡点 21,11,P1,P2 是一个种群是一个种群(zhn qn)存活而另一存活而另一灭绝的平衡点灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不都不(局部局部)稳定稳定0(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定第21页/共41页第二十一页，共4

11、1页。结果结果(ji gu)解释解释对于对于(duy)消耗甲的资源消耗甲的资源而言，乙而言，乙(相对于相对于(duy)N2)是甲是甲(相对于相对于(duy)N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定稳定(wndng)的条件：的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足第22页/共41页第二十二页，共41页。6.4 种群种群(zhn qn)的的相互依

12、存相互依存甲甲乙乙(ji y)两两种种群群的的相相互互依依存存有有三三种种形形式式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙(ji y)一起生存时相互提供食物、促进增长。一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。互提供食物、促进增长。第23页/共41页第二十三页，共41页。模模型型假假设设 甲可以独自生存，数量甲可以独自生存，数量(shling)变化服

13、从变化服从Logistic规律规律;乙为甲提供食物、促进增长。乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自乙不能独自(dz)生存；甲为乙提供食物；乙生存；甲为乙提供食物；乙受到本身的阻滞作用受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模模型型第24页/共41页第二十四页，共41页。种群依存种群依存(ycn)模型的平衡点及稳模型的平衡点及稳定性定性P2是甲乙是甲乙(ji y)相互依存而共生的相互依存而共生的平衡点平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点第25页/共41页第二十五页，共41页。0 11,1 21 P2稳定稳定(wndng)第26页/共41页第二十六页，共41页。1 21

14、前提前提(qint)下下P2存在的必要条存在的必要条件件结结果果解解释释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物(shw)甲为乙提供的食物甲为乙提供的食物(shw)是乙消耗的是乙消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 2 0P:临界状态临界状态(ln ji zhun ti)q 0P 不稳定不稳定 第30页/共41页第三十页，共41页。tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20

15、649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学用数学(shxu)(shxu)软件软件MATLABMATLAB求微分方程数值求微分方程数值解解xy 平面上的相轨平面上的相轨线线第31页/共41页第三十一页，共41页。计算结果（数值计算结果（数值(shz)，图形）图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(xin t)(x,y)是封闭是封闭曲线曲线x(t),y(t)的周期的周期(zhuq)约为约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x

16、(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)第32页/共41页第三十二页，共41页。用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第33页/共41页第三十三页，共41页。x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设第34页/共41页第三十四页，共41页。y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x

17、,y2)相轨线相轨线退化为退化为P点点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线相轨线P中心中心(zhngxn)第35页/共41页第三十五页，共41页。相轨线是封闭相轨线是封闭(fngb)(fngb)曲线曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第36页/共41页第三十六页，共41页。T2T3T4T1PT1 T2 T3

18、T4x(t)的的“相位相位(xingwi)”领先领先 y(t)模型模型(mxng)(mxng)解释解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向(fngxing)第37页/共41页第三十七页，共41页。Pr/ad/b捕食者数量捕食者数量(shling)(shling)与与r r成正比成正比,与与a a成反比成反比食饵食饵(sh r)数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第38页/共41页第三十八页，共41页。一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中(qzhng)鲨鱼的比例却在增加，鲨鱼的比例却在增加，为什么？为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞(blo)战时战时(zhn sh)捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境第39页/共41页第三十九页，共41页。两种群模型两种群模型(mxng)(mxng)的几的几种形式种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食(ru (ru ru ru qing qing sh)sh)第40页/共41页第四十页，共41页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第41页/共41页第四十一页，共41页。