数理统计吕晓玲学习教案.pptx

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1、数理统计数理统计(sh l tn j)吕晓玲吕晓玲第一页，共47页。统计推断统计推断统计推断统计推断(tudun)(tudun)的过程的过程的过程的过程总体总体总体总体总体均值、总体均值、总体均值、总体均值、比例、方差比例、方差比例、方差比例、方差样样样样本本本本样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量例如：样本均例如：样本均例如：样本均例如：样本均例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差差差差第1页/共47页第二页，共47页。0 0 0 0 引言引言引言引言(ynyn)(ynyn)(ynyn)(ynyn)前面前

2、面(qin mian)，我们讨论了参数点估计，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它无法给出这个近似值的精度（也可用均方误差来刻画），使用起来把握不大（间接）是未知参数的一个近似值，它无法给出这个近似值的精度（也可用均方误差来刻画），使用起来把握不大（间接）.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷（可直接给出误差限）区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷（可直接给出误差限）.第2页/共47页第三页，共47页。譬如，在估计湖中鱼数的问题(wnt)中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N

3、 的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个若我们能给出一个(y)区间，在此区间内我们合理地相信区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能的真值可能(knng)大于大于1000 条，也可能条，也可能(knng)小于小于1000 条条.第3页/共47页第四页，共47页。也就是说，我们希望确定一个也就是说，我们希望确定一个(y)区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说这里所说(su shu

4、)的的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的，称为置信度或置信水平称为置信度或置信水平.习惯习惯(xgun)上把置信水平记作上把置信水平记作，这里，这里 是一个是一个 很小的正数，其大小是根据实际需要选定的很小的正数，其大小是根据实际需要选定的.第4页/共47页第五页，共47页。1、区间、区间(q jin)估计估计第5页/共47页第六页，共47页。第6页/共47页第七页，共47页。第7页/共47页第八页，共47页。2 2、回顾、回顾、回顾、回顾(hug)(hug)分分分分位数位数位数位数第8页/共47页第九页，共47页。第9页/共47页第十页，共47页。第10页/共47页第十一页

5、，共47页。第11页/共47页第十二页，共47页。3 3、置信区间置信区间第12页/共47页第十三页，共47页。注注注注1 1：第13页/共47页第十四页，共47页。第14页/共47页第十五页，共47页。这里有两个这里有两个(lin)要求要求:注注2：对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量).第15页/共47页第十六页，共47页。可靠度与精度可靠度与精度(jn d)是一对矛盾，一般是是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度的条件下尽可能提高精度精度(jn d).1.要求要求 以很大

6、的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则.第16页/共47页第十七页，共47页。4、同等、同等(tngdng)置信区间置信区间第17页/共47页第十八页，共47页。N(0,1)选选 的点估计为的点估计为 ,求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，明确问题明确问题(wnt),是求什么是求

7、什么参数的置信区间参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.解解 寻找一个寻找一个(y)待估参数和待估参数和统计量的函数统计量的函数，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以有了分布，就可以(ky)求出求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.5、置信区间的求法、置信区间的求法第18页/共47页第十九页，共47页。从中解得从中解得对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得使使第19页/共47页第二十页，共47页。也可简记也可简记(jin j)为为于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为第20页/

8、共47页第二十一页，共47页。从例从例1解题的过程，我们解题的过程，我们(w men)归纳出求置信区间的一般步骤如下归纳出求置信区间的一般步骤如下:1）明确问题）明确问题,是求什么是求什么(shn me)参数的置信区间参数的置信区间?置信水平置信水平 是多少是多少?2）寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn)3）寻找一个待估参数）寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T 的函数的函数 U(T,),且其分布为已知且其分布为已知.第21页/共47页第二十二页，共47页。4）对于给定的置信水平）对于给定的置信水平 ，根据，根据U(T,)的分布，确定常数的分布，确定常

9、数a,b，使得，使得 P(a U(T,)b)=5）对）对“aS(T,)b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得到如下形式:即即于是于是 就是就是 的的100()的置信区间的置信区间.第22页/共47页第二十三页，共47页。需要指出需要指出(zh ch)的是，给定样本，给定置信水平的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造对同一个参数，我们可以构造(guzo)(guzo)许多置信区间许多置信区间.例如，设例如，设 X1,Xn 是取自是取自 的样本的样本，求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的置的置 N(0,1)信区间信区间.由标准由标

10、准(biozhn)(biozhn)正态分布表，对任意正态分布表，对任意a a、b b，我们可以求得，我们可以求得 P(aUb).P(aUb).第23页/共47页第二十四页，共47页。N(0,1)例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我们得到我们得到均值均值 的置信水平为的置信水平为的的置信区间为置信区间为第24页/共47页第二十五页，共47页。由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间这个区间(q jin)(q jin)比前面一个要长一些比前面一个要长一些.置信区间为置信区间为我们得到我们得到均值均值 的置信水平为的置信水平为的的第25页/共47页第二十六页，共47页。我

11、们我们(w men)(w men)总是希望置信区间尽可能短总是希望置信区间尽可能短.类似类似(li s)(li s)地，我们可得到若干个不同的置信区间地，我们可得到若干个不同的置信区间.任意两个数任意两个数a a和和b b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)f(u)下下95%95%的面积，就确定的面积，就确定(qudng)(qudng)一个一个95%95%的置信区间的置信区间.第26页/共47页第二十七页，共47页。在概率密度为单峰且对称的情形在概率密度为单峰且对称的情形(qng xing)(qng xing)，当，当a=-ba=-b时求得的置信区间的长度为最短时求得的置信区间的长

12、度为最短.a=-b第27页/共47页第二十八页，共47页。即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布，分布，F F分布，习惯分布，习惯(xgun)(xgun)上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 1 的置信区间，并且的置信区间，并且(bngqi)(bngqi)置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.第28页/共47页第二十九页，共47页。上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们上述

13、置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们(rn men)关心的只是参数在一个方向的界限关心的只是参数在一个方向的界限.例如例如(lr)对于设备、元件的使用寿命来说，平均对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时这时,可将置信可将置信(zhxn)上限取为上限取为+，而只着眼于置信，而只着眼于置信(zhxn)下限下限，这样求得的置信，这样求得的置信(zhxn)区间叫单侧置信区间叫单侧置信(zhxn)区间区间.6、置信限（、置信限（单侧置信区间单侧置信区间）第29页/共47页第三十页，共47页。第30页/共47页第三十一页

14、，共47页。设灯泡寿命设灯泡寿命(shumng)服从正态分布服从正态分布.求灯泡寿命求灯泡寿命(shumng)均值均值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限.例例2 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验只作寿命试验(shyn)，测得寿命，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差方差 未知未知解解 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 ,第31页/共47页第三十二页，共47页。对给定对给定(i dn)的置信水平的置信水平 ，确定分位点，确定分位点使使即即于是得到于是得到 的置信水平为的置信

15、水平为 的单侧置信区间为的单侧置信区间为 第32页/共47页第三十三页，共47页。将样本将样本(yngbn)值代入得值代入得的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时(xiosh)的置信的置信(zhxn)水平为水平为 的单侧置信的单侧置信(zhxn)下限为下限为即即第33页/共47页第三十四页，共47页。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 ,炮口速度服从正态分布炮口速度服从正态分布.求这求这种炮弹的炮口速度的标准差种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.9

16、5 的置信区间的置信区间.第34页/共47页第三十五页，共47页。由由解解 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 ,炮口速度服从正态分布炮口速度服从正态分布.求这求这种炮弹的炮口速度的标准差种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.第35页/共47页第三十六页，共47页。于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为这里这里(zhl)可得到可得到(d do)的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为第36页/共47页第三十七页，共47页。7 7、枢轴、枢轴、枢轴、枢轴(sh

17、(sh zhu)zhu)量量量量第37页/共47页第三十八页，共47页。上述三步中，关键是第一步，构造枢轴上述三步中，关键是第一步，构造枢轴(sh zhu)量量G,G的分布不能含有的分布不能含有未知参数，譬如标准正态分布未知参数，譬如标准正态分布N(0，1)、t分布等不含未知参数。分布等不含未知参数。第38页/共47页第三十九页，共47页。第39页/共47页第四十页，共47页。例例3：第40页/共47页第四十一页，共47页。第41页/共47页第四十二页，共47页。第42页/共47页第四十三页，共47页。第43页/共47页第四十四页，共47页。例例4：第44页/共47页第四十五页，共47页。第45页/共47页第四十六页，共47页。第46页/共47页第四十七页，共47页。