实对称矩阵相似矩阵.pptx

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1、实对称矩阵相似矩阵实对称矩阵相似矩阵定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明一、实对称矩阵特征值的性质一、实对称矩阵特征值的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵第1页/共26页于是有两式相减，得第2页/共26页定理1的意义第3页/共26页证明于是第4页/共26页第5页/共26页二、实对称矩阵的相似理论定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似。它们的重数依次为其中证明：设 的互不相等的特征值为由定理3，对应于特征值 又由定理2及 知，有 个线性无关的特征向量，恰有 个线性无关的特征向量，从而 与对角矩阵相似。第6页/共26页定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使 ，其

2、中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。第7页/共26页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.三.实对称矩阵对角化的方法其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 中列向量的排列顺序相对应.第8页/共26页解例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值第9页/共26页解之得基础解系 解之得基础解系第10页/共26页解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化第11页/共26页第12页/共26页第13页/共26页第14页/共26页于是得正交阵第15页/共26页利

3、用对角化可求方阵的幂例2 设 为3阶实对称矩阵,的特征值为 求解:由于 是实对称矩阵,故 必可对角化,且第16页/共26页例3 设三阶实对称矩阵 的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量为 ,求即解之得基础解系故 就是对应于 的特征向量.解:设与特征值 对应的特征向量为由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量一定正交,故又 的对应于二重特征值 的线性无关的特征向量一定有两个,第17页/共26页记于是第18页/共26页例4 设 是两个 阶实对称矩阵,证明 相似的充要条件是 有相同的特征值.证明若A与B 有相同的特征值.记特征值为由相似矩阵的传递性知 A与B 相似.因为实对称矩阵A与B

4、必可对角化,所以若 A与B 相似,由相似矩阵的性质,A与B 一定有相同的特征值.第19页/共26页1.对称矩阵的性质：小结小结 (1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)单位化第20页/共26页思考题思考题1第21页/共26页思考题思考题1解答解答第22页/共26页思考题思考题2第23页/共26页思考题思考题2解答解答第24页/共26页第25页/共26页