二维随机变量函数的分布.ppt

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1、 3.3.1 3.3.1 二维离散(lsn)(lsn)型随机变量函数的分布 设(X,Y)(X,Y)为二维离散(lsn)(lsn)型随机变量，则函数 是一维离散(lsn)(lsn)型随机变量若已知(X,Y)(X,Y)的分布律，如何得到 的分布律?3.3 二维随机变量函数(hnsh)的分布第1页/共20页第一页，共21页。设（X X，Y Y）为二维离散(lsn)(lsn)型随机变量，其联合分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)为一维离散(lsn)(lsn)型随机变量，若对于不同(xi,yj)(x

2、i,yj)，函数值g(xi,yj)g(xi,yj)互不相同，则Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分布律为 P(Z=g(xi,yj)=pij,i,j=1,2,P(Z=g(xi,yj)=pij,i,j=1,2,若对于不同的(xi,yj)(xi,yj)，函数g(xi,yj)g(xi,yj)有相同的值，则取相同g(xi,yj)g(xi,yj)值对应的概率要合并相加。3.3.1 二维离散(lsn)型随机变量函数的分布第2页/共20页第二页，共21页。3.3.1 3.3.1 二维离散(lsn)(lsn)型随机变量函数的分布【例】设(X，Y)的分布律为 试求：Z1=X，Z2=Y/X，Z3=minX，Y的分布

3、律 解：将(X，Y)及各个(gg)函数的取值对应列于同一表中 Y X-10110.20.10.120.100.1300.30.110-110-11Z3=minX，Y1/30-1/31/20-1/210-1Z2=Y/X333222111Z1=X(3,1)(3,0)(3,-1)(2,1)(2,0)(2,-1)(1,1)(1,0)(1,-1)(X，Y)0.10.3 00.100.10.10.10.2P-10第3页/共20页第三页，共21页。3.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布 P0.20.10.10.100.1 00.30.1(

4、X，Y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)(3,-1)(3,0)(3,1)Z1=X111222333Z2=Y/X-101-1/201/2-1/301/3Z3=minX，Y-101-101-101易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率(gil)给以合并)：Z1123pi0.40.20.4Z2-1-1/2-1/301/31/21pj0.20.100.40.10.10.1Z3-101pk0.30.40.3第4页/共20页第四页，共21页。3.3.1 3.3.1 二维离散(lsn)(lsn)型随机变量函数的分布,【例】设 ,且 X与Y独立，证明 证：取值为0，1，2，

5、Z=k是互不相容事件 的和,考虑到独立性，对任意(rny)非负整数k，有第5页/共20页第五页，共21页。3.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数(hnsh)(hnsh)的分布,即证明了 本例的结论(jiln)说明，泊松分布具有可加性.第6页/共20页第六页，共21页。设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，为X，Y的函数，它也是连续型随机变量求Z的概率密度的一般按下面(xi mian)两步进行:(1)求Z的分布函数 其中 (2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)函数的

6、分布第7页/共20页第七页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布【例】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y的概率密度 解：事件X+Y Z所占有的区域(qy)如图，对积分 作变量变换x=u y得：于是第8页/共20页第八页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布 对z求导数(do sh)得由X，Y的对称性，又有:第9页/共20页第九页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin li

7、n)(su j bin lin)函数的分布设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度 特别地，当X和Y独立时,X，Y的概率密度分别为 和 ，则上述两式可分别写成 和这两个公式(gngsh)称为卷积公式(gngsh)，记为:第10页/共20页第十页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布【例】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互(xingh)独立，求Z=X+Y的概率密度 解：由卷积公式令 ，得 即ZN(0，2)第11页/共20页第十一页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机

8、变量函数(hnsh)(hnsh)的分布 一般(ybn)地，设X，Y相互独立，且 ，则 更一般(ybn)地，可以证明，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布即定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为n个任意常数，则第12页/共20页第十二页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布【例】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求：随机变量Z=X+Y的概率密度解：因 ,欲使 ，即使 ，x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便

9、是(bin sh)图中的阴影部分第13页/共20页第十三页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布 (1)时，由于(yuy)，故(2)时，(3)时，综上所述，得到：第14页/共20页第十四页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数(hnsh)(hnsh)的分布【例】（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互(xingh)独立的n个随机变量 ,若 ，试在以下情况下求Y和Z的分布 (1)XiFi(x)，i=1，2，n (2)Xi同分布，即XiF(x)，i=1，2，n (3)Xi为连续随机变量，且X

10、i同分布，即Xi的概率密度为f(x)，i=1，2，n第15页/共20页第十五页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数(hnsh)(hnsh)的分布 解：(1)的分布(fnb)函数为 的分布(fnb)函数为 第16页/共20页第十六页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布 (2)将Xi共同的分布(fnb)函数F(x)代入(1)的结果中，得 (3)Y和Z的分布(fnb)函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到 第17页/共20页第十七页，共21页。3.3.2 3.3.2 二维连续

11、型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布【例】设随机变量X与Y相互独立，且同服从(0，1)上的均匀分布，试求Z=|X Y|的概率密度解：因为(yn wi)所以Z的概率密度为第18页/共20页第十八页，共21页。作业(zuy)：P81 习题3.3 3、4第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共21页。内容(nirng)总结3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布。设（X，Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律为。易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：。考虑到独立性，对任意非负整数k，有。求Z的概率密度的一般(ybn)按下面两步进行:。【例】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为。由X，Y的对称性，又有:。这两个公式称为卷积公式，记为:。定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，。【例】（最大值与最小值分布）设X1，X2，第二十一页，共21页。