数学物理方法柯西公式学习教案.pptx

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1、数学物理数学物理(wl)方法柯西公式方法柯西公式第一页，共9页。1.不定积分(b dn j fn)柯西定理指出:若函数 在单通区域B上解析,则B上任一路径 的积分 的值只跟起点和终点有关,与路径无关.那么,当积分下限固定为 ,积分上限改变时,这个积分式的积分值会随积分上限的改变而改变,这样就定义了一个单值函数,记作:可证明 .并且,在B上也是解析的.证明:要证明只要证明:以 为圆心在区域B上做一个小圆,在小圆内取 点.如图:第1页/共9页第二页，共9页。考虑在 时的极限函数 区域B上是解析的=积分与路径(ljng)无关对 变形:=等式右边乘得Why?代入得:回顾导数的定义回顾极限的定义教材P9

2、极限 叫做函数 在z点的导数.根据极限的定义证明:即:因为 在B上连续对于复数,积的模等于模的积连续的定义:设函数 在点 的某一邻域内有定义,如果对于任意给定的正数 ,总存在着正数 ,使得对于适合如下不等式 的一切x,对应的函数值 都满足不等式:,那么就称函数 在点 连续.足够小即:原命题得证!设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 ,总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 _都 满足不等式 ,那么常数A就叫做函数 当 时的极限第2页/共9页第三页，共9页。解析性说明:我们可以求出函数 在整个解析区域B上的导数,因此 一定在整个解析区域上都是可导的,那么

3、该函数一定在这个区域上解析.复数形式的牛顿-莱布尼茨公式积分的值等于(dngy)原函数的改变量表明证明(zhngmng):选择如图示的积分(jfn)路径,则有:B原命题得证!第3页/共9页第四页，共9页。一个(y)重要的积分:为整数讨论(toln):回路 不包围点 ,则被积函数在 所包围的区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零.回路 包围 的情况:R如图做以 为圆心,R为半径的圆对于圆周C上的所有点z都有:要计算只要计算Why?和C共同构成复通区域C的方向为逆时针方向第4页/共9页第五页，共9页。结论(jiln)第5页/共9页第六页，共9页。2.柯西公式(gngsh)若 在闭单通区域 上解析

4、,为 上的境界线,为 内的任一点.则有柯西公式:它反映了闭单通区域 上解析的函数 在 内任一点的函数值与 沿境界线 的闭路积分之间的关系.推论(tuln)1:若为复通区域,柯西公式中的 应理解为所有内外境界线,积分路径为内外境界线的正方向.推论(tuln)2:若 ,则 在 上处处可导,所以 可以对 求导任意多次,即解析函数求导多次仍是解析函数,起n阶导数为:推论3:模数定理:P38推论4:刘维尔定理:P38第6页/共9页第七页，共9页。柯西公式(gngsh)的证明:注:包围对 变形代入得要证明柯西公式只要证-即在 处被积函数无意义以 为圆心,以任意小正数 为半径做圆 ,于是,及 所围的区域上单值解析,按柯西定理有:沿逆时针方向积分等式两边(lingbin)同时取模于是:由于 的连续性,故有:当 时,即即柯西公式(gngsh)得到证明!第7页/共9页第八页，共9页。作业(zuy):P38 1 P39 2Class is Over!Thank you!第8页/共9页第九页，共9页。