数学建模中灰色预测学习教案.pptx

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1、数学建模中灰色数学建模中灰色(hus)预测预测第一页，共27页。在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人口模型、在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人口模型、全国的物资全国的物资(wz)(wz)调运、运输、生产销售等问题，其中有调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。现有的系统分析方法现有的系统分析方法量化分析方法，大都是数理统量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。对于计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。对于多因素的、非线性的则难以处理。多因素的、非线性的则难以处理。针对

2、这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。创立灰色系统的学科体系和灰法，即灰色系统生成法。创立灰色系统的学科体系和灰色系统色系统“概念与公理体系概念与公理体系”，提出灰生成空间、灰关联空间，提出灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。第1页/共26页第二页，共27页。一、灰色(hus)系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成种类元素组成(z chn)(z chn)的具有某种特定功能

3、的整体。的具有某种特定功能的整体。系统内部存在有物质流、信息流、能量流。系统内部存在有物质流、信息流、能量流。第2页/共26页第三页，共27页。（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）2.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有(zhnyu)的“最小信息”；（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。第3页/共26页第四页，共27页。1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切

4、值的数（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。例如：“某人的身高约为170cm、体重大致为60kg”，这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数，分别记为 、。又如，“那女孩身高在157160cm之间”，则关于身高的灰数 。记为灰数的白化默认数，简称白化数。在灰色系统(xtng)理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。如代购一件价格为100元左右的衣服，100可作为预购衣服价格的白化值。灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数（属于某一区间）。第4页/共26页第五页，共27页。2.灰色代数方程(dish fngchng)含有灰色系数的代数方程(dish

5、 fngchng)如：灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的方程，如 3.灰色矩阵行列数确知而含有灰元的矩阵 若在A的m*n个元素中，有N个灰色元素，则可以用d表示这一矩阵的灰色度第5页/共26页第六页，共27页。二、灰色生成(shn chn)数列 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂(fz)，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成

6、。第6页/共26页第七页，共27页。（1）累加生成 把数列各项（时刻）数据依次(yc)累加的过程称为累加生成过程（AGO）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为 ，令称所得到的新数列为数列 的1次累加生成数列。类似地有称为 的r次累加生成数列。第7页/共26页第八页，共27页。（2）累减生成 对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程IAGO。如果原始数据列为令 称所得到的数列(shli)为 的1次累减生成数列(shli)。注：从这里的记号也可以看到，从原始数列(shli)，得到新数列(shli)，再通过累减生成可以还原出原始数列(shli)。实际运

7、用中在数列(shli)的基础上预测出 ，通过累减生成得到预测数列(shli)。第8页/共26页第九页，共27页。（3 3）加权邻值生成）加权邻值生成设原始数列为设原始数列为称称 为数列为数列 的邻值。的邻值。为后邻值，为后邻值，为前邻值，为前邻值，对于常对于常数数 ，令，令 由此得到的数列由此得到的数列 称为数列称为数列 在权在权 下的邻值生下的邻值生成数成数(chngsh)(chngsh)，权，权 也称为生成系数。也称为生成系数。特别地，当生成系数特别地，当生成系数 时，时，则称则称为均值生成数为均值生成数(chngsh)(chngsh)，也称等权邻，也称等权邻值生成数值生成数(chngsh

8、)(chngsh)。第9页/共26页第十页，共27页。灰色系统理论(lln)的主要方法关联度分析法最基本的方法（一个由众多因素构成的系统中哪些因素对系统的影响大/中/小？）基于白化权函数的灰色(hus)统计和灰色(hus)聚类法。灰色(hus)预测法（如GM（1，1）。灰色(hus)决策。灰色(hus)优化技术（如灰色(hus)规划等）。第10页/共26页第十一页，共27页。三、灰色三、灰色(hus)(hus)预测模型预测模型GM(m,n)GM(m,n)灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而利用离散

9、数据列建立微分方程形式的动态模型，称为微分方程，进而利用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，称为灰色模型（灰色模型（GMGM）。）。灰色预测是应用灰色模型灰色预测是应用灰色模型GMGM对灰色系统进行分析、建模、求解、预对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任

10、意随机分布，也能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济(jngj)(jngj)、管理、管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用 第11页/共26页第十二页，共27页。(一一)GM)GM（1 1，1 1）模型）模型(mxng)(mxng)设设 为原始数列，其为原始数列，其1 1次累加生成数列次累加生成数列为为 ，其中，其中定义定义(dngy)(dngy)的灰导数为的灰导数为令令 为数列为数列 的邻值生成数的邻值生成数列，即列，即于是定义于是定义(dngy)GM(dn

11、gy)GM（1 1，1 1）的灰微分方程模型为）的灰微分方程模型为第12页/共26页第十三页，共27页。即或即或 （1 1）在式（在式（1 1）中，）中，称为灰导数，称为灰导数，a a称为发展系数，称为发展系数，称为白化背称为白化背景值，景值，b b称为灰作用量。称为灰作用量。将时刻表将时刻表 代入（代入（1 1）式有）式有引入矩阵向量引入矩阵向量(xingling)(xingling)记号：记号：数据向量数据向量(xingling)(xingling)参数向量参数向量(xingling)(xingling)数据矩阵数据矩阵第13页/共26页第十四页，共27页。于是于是GMGM（1 1，1 1

12、）模型可表示为）模型可表示为现在问题归结为求现在问题归结为求a,ba,b在值。用一元线性回归，即最小二乘法求在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为它们的估计值为注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如解，如matlabmatlab等。等。GMGM（1 1，1 1）的白化型）的白化型对于对于GMGM（1 1，1 1）的灰微分方程）的灰微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)（1 1），如），如果将灰导数果将灰导数 的时的时刻刻 视为连续变量视为连续变量t t，则，则 视为时间视为时间

13、t t函数函数 ，于是，于是 对应于导数量级对应于导数量级 ，白化背景值，白化背景值 对应于导数对应于导数 。于是。于是GMGM（1 1，1 1）的灰微分方程）的灰微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)对应于的白微分方程对应于的白微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)为为 （2 2）第14页/共26页第十五页，共27页。（二）GM（1，1）灰色预测(yc)的步骤1.1.数据的检验与处理数据的检验与处理 为了保证为了保证GMGM（1 1，1 1）建模方法的可行性，需要对已知数据）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。做必要的检验处理。

14、设原始数据列为了设原始数据列为了 ，计，计算数列的级比算数列的级比 如果所有的级比都落在可容覆盖区间如果所有的级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列内，则数据列 可以建立可以建立(jinl)GM(jinl)GM（1 1，1 1）模型且可以进行）模型且可以进行灰灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取取C C使得数据列使得数据列的级比都落在可容覆盖内。的级比都落在可容覆盖内。第15页/共26页第十六页，共27页。2.2.建立建立GMGM（1 1，1 1）模型）模型 不妨设不妨设 满足上面的要满足上面的要求，以它为数据列建立求，以它为数

15、据列建立GMGM（1 1，1 1）模型）模型用回归分析用回归分析(fnx)(fnx)求得求得a,ba,b的估计值，于是相应的白化模型为的估计值，于是相应的白化模型为 解为解为 （4 4）于是得到预测值于是得到预测值从而相应地得到预测值：从而相应地得到预测值：第16页/共26页第十七页，共27页。3.3.检验预测值检验预测值（1 1）残差检验：计算相对残差）残差检验：计算相对残差如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求：否则，若，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的对所有的 ，则认为达到一般，则认为达到一般(ybn)(ybn)要求。要求。（2 2）级比偏差值检验：计算）级比偏差值检验：

16、计算如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求；否则，则认为达到较高的要求；否则若对所有的若对所有的 ，则认为达到一般，则认为达到一般(ybn)(ybn)要求。要求。第17页/共26页第十八页，共27页。四、应用四、应用(yngyng)(yngyng)举例举例SARSSARS疫情对某些经济指标的影响问题疫情对某些经济指标的影响问题1.1.问题的提出问题的提出 2003 2003年的年的SARSSARS疫情对中国部分行业的经济发展疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的相关行业所造成(zo c

17、hn)(zo chn)的影响是明显的，经济的影响是明显的，经济影响主要分影响主要分为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行定量地评估，现仅就定量地评估，现仅就SARSSARS疫情较严重的某市商品零疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分析。析。第18页/共26页第十九页，共27页。究竟究竟SARSSARS疫情对疫情对商品零售业、旅游业、商品零售业、旅游业、综合服务业的影响综合服务

18、业的影响(yngxing)(yngxing)有有多大多大,已知某市从已知某市从19971997年年1 1月到月到20032003年年1212月月的商品零售额、接待的商品零售额、接待旅游人数、综合服务旅游人数、综合服务收入的统计数据如图收入的统计数据如图:第19页/共26页第二十页，共27页。2.2.模型分析模型分析根据根据(gnj)(gnj)所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的总和（或平均值）较好地反映了相关指标的变化规律。从而我的总和（或平均值）较好地反映了相关指标的变化规律。从而我们把预测分成两部分：利用灰色理论建立们把预测分成

19、两部分：利用灰色理论建立GM(1,1)GM(1,1)模型，由模型，由1997199720022002年的各年度总和值预测年的各年度总和值预测20032003年的年度总和值；再通过历年的年度总和值；再通过历史数据计算每个月的指标值与全年总和的关系，就可以预测出史数据计算每个月的指标值与全年总和的关系，就可以预测出20032003年每个月的指标值。年每个月的指标值。假设：假设：(1)(1)假设所给的统计数据可靠、准确的；假设所给的统计数据可靠、准确的；(2)(2)假设该市在假设该市在SARSSARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARSSARS疫情的影

20、响有关，不考虑其他随即因素的影响。疫情的影响有关，不考虑其他随即因素的影响。第20页/共26页第二十一页，共27页。3.3.建立灰色预测模型建立灰色预测模型GM(1,1)GM(1,1)由已知数据，对于由已知数据，对于1997199720022002年某项指标记为矩阵年某项指标记为矩阵 计算每年的总和，记为计算每年的总和，记为检验比检验比（都符合要求）。对（都符合要求）。对 作一次累加得数列作一次累加得数列 ，再作，再作 的的邻值加权平均，得数列邻值加权平均，得数列 ，即，即 为确定参数，得到为确定参数，得到(d do)GM(1,1)(d do)GM(1,1)的白化微分方程模型为的白化微分方程模

21、型为其中参数由灰微分方程其中参数由灰微分方程确定。确定。第21页/共26页第二十二页，共27页。根据系数可求得白化微分方程根据系数可求得白化微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的解：的解：故相应地可以求出故相应地可以求出即得到即得到20032003年的年度总和值年的年度总和值 。再根据历史数据，统计出第个月的。再根据历史数据，统计出第个月的指标值占全年总和值的比例指标值占全年总和值的比例 ，即，即于是于是20032003年的每个月的指标值年的每个月的指标值(预测值预测值)为为 第22页/共26页第二十三页，共27页。4.4.模型求解模型求解(1)(1)商品零售额商品

22、零售额由题目所给数据计算得由题目所给数据计算得 计算表明计算表明(biomng)(biomng)的所有级比都再可容覆盖区间内。经计算，当的所有级比都再可容覆盖区间内。经计算，当 时，残差检验中的相对误差的绝对值之和最小，用时，残差检验中的相对误差的绝对值之和最小，用GM(1,1)GM(1,1)模型计算得模型计算得,2003,2003年的年度商年的年度商品零售额总和为品零售额总和为 。计算得各月的比例为计算得各月的比例为(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0

23、819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)因此因此20032003年的各月的商品零售额的预测值为年的各月的商品零售额的预测值为(153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335(153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0

24、700 167.2083 177.6347)167.2083 177.6347)第23页/共26页第二十四页，共27页。将预测值与所给将预测值与所给0303年数据做对比年数据做对比(2)(2)接待海外旅游人数接待海外旅游人数同处理商品零售额的方法，同处理商品零售额的方法，各月比例为各月比例为(0.0407 0.0732 0.0703 0.0878 0.0907 0.0848 (0.0407 0.0732 0.0703 0.0878 0.0907 0.0848 0.0836 0.1022 0.1010 0.1041 0.0914 0.0701)0.0836 0.1022 0.1010 0.104

25、1 0.0914 0.0701)20032003年的全年年的全年(qun nin)(qun nin)接待海外旅游人数的预测值为接待海外旅游人数的预测值为357.6331357.6331（万），各月的预测值为（万），各月的预测值为(14.5733 26.1742 25.1539 31.4091 32.4516 30.3222 (14.5733 26.1742 25.1539 31.4091 32.4516 30.3222 29.9007 36.5552 36.1116 37.2206 32.6734 25.0873)29.9007 36.5552 36.1116 37.2206 32.6734

26、25.0873)对比所给数据：对比所给数据：(3)(3)综合服务收入类似处理综合服务收入类似处理(略略)第24页/共26页第二十五页，共27页。5.5.模型的结果分析模型的结果分析模型的结果分析模型的结果分析根据该市的统计报表显示根据该市的统计报表显示根据该市的统计报表显示根据该市的统计报表显示,2003,2003年的年的年的年的4,5,64,5,6月的商品零售额分别为月的商品零售额分别为月的商品零售额分别为月的商品零售额分别为145.2,124,144.1145.2,124,144.1亿元亿元亿元亿元,预测值为预测值为预测值为预测值为151.7618 158.1335 157.9404151

27、.7618 158.1335 157.9404亿元亿元亿元亿元,三个月的损失为三个月的损失为三个月的损失为三个月的损失为54.554.5亿元亿元亿元亿元,7,7月还损失月还损失月还损失月还损失6 6亿元亿元亿元亿元,8,8月恢复正常月恢复正常月恢复正常月恢复正常.总损失总损失总损失总损失6060多多多多亿元亿元亿元亿元,与专家的估计差不多与专家的估计差不多与专家的估计差不多与专家的估计差不多.对旅游业对旅游业对旅游业对旅游业,4,5,6,7,4,5,6,7四个月损失海外游客四个月损失海外游客四个月损失海外游客四个月损失海外游客99.399.3万万万万,按照当年的统计资料按照当年的统计资料按照当年的统计资料按照当年的统计资料,平均平均平均平均(pngjn)(pngjn)每位游客消费每位游客消费每位游客消费每位游客消费10021002美元美元美元美元,估计损失达估计损失达估计损失达估计损失达1010亿美元之多亿美元之多亿美元之多亿美元之多.全年损失全年损失全年损失全年损失海外游客约海外游客约海外游客约海外游客约160160万万万万,约合约合约合约合1616亿美元亿美元亿美元亿美元.第25页/共26页第二十六页，共27页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第26页/共26页第二十七页，共27页。