无穷小无穷大极限运算法则学习教案.pptx

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1、无穷小无穷大极限无穷小无穷大极限(jxin)运算法则运算法则第一页，共30页。当一、一、一、一、无穷小无穷小无穷小无穷小定义定义(dngy)1(P39).若若时,函数(hnsh)则称函数(hnsh)例1(P39):函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明第1页/共30页第二页，共30页。说明说明(shumng)(P39):2、0是可以作为无穷小的唯一(wi y)常数时,函数(hnsh)(或 )则称函数为定义定义定义定义1.1.若若(或 )则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、无穷小不是很小的数定

2、理1第2页/共30页第三页，共30页。其中(qzhng)为时的无穷小量.定理定理定理定理(dngl)1(P39).(dngl)1(P39).(无穷小与函数极限无穷小与函数极限无穷小与函数极限无穷小与函数极限的关系的关系的关系的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程(guchng)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大第3页/共30页第四页，共30页。二、二、二、二、无穷大无穷大无穷大无穷大定义定义(dngy)2(P40).若任给若任给 M 0,一切(yqi)满足不等式的 x,总有则称函数(hnsh)当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在机动

3、目录 上页 下页 返回 结束 注意第4页/共30页第五页，共30页。注意注意注意注意(zh(zh y)(P40):y)(P40):1.无穷大不是很大的数,它是描述(mio sh)函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定(bdng)无界.但反之不真!例例(P42题题6),函数当但所以时,不是无穷大!机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2第5页/共30页第六页，共30页。例例例例 2(P40).2(P40).证证证证明明明明(zhngmng)(zhngmng)证证:任给正数任给正数(zhngsh)M,要使即只要(zhyo)取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明说明(P

4、41):机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小无穷大关系第6页/共30页第七页，共30页。三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系(gun x)(gun x)若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题(wnt)都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2(P41).在自变量的同一在自变量的同一(tngy)变化过程中变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2证明第7页/共30页第八页，共30页。证 设取当时，有即所以(suy)为当时的无穷小.反之(fnzh)，设且 取当 时，有由得所以(s

5、uy)为当时的无穷大.内容小结第8页/共30页第九页，共30页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)小结小结小结小结1.无穷小与无穷大的定义(dngy)2.无穷小与函数(hnsh)极限的关系3.无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习P42 题1,3P42 题3 提示:第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共30页第十页，共30页。第一章 二、二、极限极限(jxin)的四则运算法则的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算复合函数的极限运算(yn sun)法则法则 一一、无穷小运算、无穷小运算(yn sun)法则法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则第10

6、页/共30页第十一页，共30页。时,有一、一、一、一、无穷小运算无穷小运算无穷小运算无穷小运算(yn(yn sun)sun)法则法则法则法则定理定理1(P43).有限有限(yuxin)个无穷小的和还是个无穷小的和还是无穷小无穷小.证证:考虑考虑(kol)两个无穷两个无穷小的和小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明第11页/共30页第十二页，共30页。说明说明(shumng):无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如例如(lr)，(P56,题 4(2)机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有

7、限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2第12页/共30页第十三页，共30页。定理定理定理定理2(P43).2(P43).有界函数有界函数有界函数有界函数(hnsh)(hnsh)与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论(tuln)1(P44).常数与无穷小的乘积常数与无穷小的乘积是无穷小是无穷小.推论推论(tuln)2(P44).有限个无穷小的乘积是无穷有限个无穷小的乘积是无穷小小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1第13页/共30页第十四页，共30页。例例例例1 1(P48(P

8、48例例例例8).8).求求解解:利用(lyng)定理 2(P43)可知机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 极限四则运算(s z yn sun)法则第14页/共30页第十五页，共30页。二、二、二、二、极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)法则法则法则法则则有定理定理(dngl)3 (P44).若若机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明(P45):定理 3 可推广到有限个有限个函数相加、减、乘的情形.推论第15页/共30页第十六页，共30页。推论推论(tuln)1(P45).(C 为常数(chngsh)

9、推论推论(tuln)2 (P45).(n 为正整数)例例2(P46).设 n 次多项式试证证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4第16页/共30页第十七页，共30页。定理定理定理定理(dngl)4(dngl)4(P45).(P45).若若若若则有提示提示(tsh):因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数,故此(gc)定理 可由定理3(P44)直接得出结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3第17页/共30页第十八页，共30页。x=3 时分(shfn)母为 0!例例例例3(P46).3(P46).设有分式设有分式设有分式设有分式(fnsh)(fnsh)函数函数函数函数其中

10、(qzhng)都是多项式,试证:证证:说明说明(P47):若不能直接用商的运算法则.例如例如.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4第18页/共30页第十九页，共30页。例例例例4 4(P47).(P47).求求解解:x=1 时分母(fnm)=0,分子0,但因机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 由P41定理(dngl)2有例5第19页/共30页第二十页，共30页。例例例例5 5 .求求解解:时,分子(fnz)分子(fnz)分母同除以则分母(fnm)“抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理分式极限一般结果第20页/共30页第二十一页，共30页。一般一般一般一般(yb

11、n)(ybn)有如下结果有如下结果有如下结果有如下结果(P48)(P48)：为非负常数(chngsh)(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 复合函数极限运算第21页/共30页第二十二页，共30页。定理定理(dngl)6(P48).设设且 x 满足(mnz)时,又则有 说明说明(shumng)(P49):若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7三、三、三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则第22页/共30页第二十三页，共30页。例例例例7.

12、7.求求求求解解:令已知(见见 P47 例例3)原式=(见见 P34 例例5)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 例8第23页/共30页第二十四页，共30页。例例例例8.8.求求求求解解:方法方法(fngf)1则令 原式方法方法(fngf)2机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 内容小结第24页/共30页第二十五页，共30页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)小结小结小结小结1.极限(jxin)运算法则(1)无穷小运算(yn sun)法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)

13、时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第25页/共30页第二十六页，共30页。思考思考思考思考(sko)(sko)及练习及练习及练习及练习1.是否(sh fu)存在?为什么?答答:不存在不存在(cnzi).否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3题第26页/共30页第二十七页，共30页。3.3.求求解法解法(ji f)1 原式=解法解法(ji f)2 令则原式=机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 4题第27页/共30页第二十八页，共30页。4.4.试确定试确定试确定试确定(qudng)(qudng)常数常数常数常数 a a 使使使使解解:令则故机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 因此(ync)作业第28页/共30页第二十九页，共30页。备用备用备用备用(biyng)(biyng)题题题题 设设设设解解:利用(lyng)前一极限式可令再利用(lyng)后一极限式,得可见是多项式,且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共30页第三十页，共30页。