数值分析8学习教案.pptx

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1、会计学1数值数值(shz)分析分析8第一页，共10页。构造三次构造三次(sn c)(sn c)样条插值函数的三弯矩法样条插值函数的三弯矩法 /*method of bending moment*/*method of bending moment*/在在 上，记上，记,for )()(1jjjxxxxSxS =对每个对每个j,此为此为3次多项式次多项式则则 Sj”(x)为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定个点的值确定(qudng)之。之。12设设 Sj”(xj 1)=Mj 1，Sj”(xj)=Mj 对应对应(duyng)力学中的梁弯矩，故名力学中的梁弯矩，故名对于对于x xj 1,xj

2、 可可得到得到Sj”(x)=jjjjjjhxxMhxxM11 +积分积分2次，可得次，可得 Sj(x)和和 Sj(x)：jjjjjjjAhxxMhxxM+2)(2)(2121Sj(x)=jjjjjjjjBxAhxxMhxxM+6)(6)(3131Sj(x)=利用已知利用已知Sj(xj 1)=yj 1 Sj(xj)=yj 可解可解第2页/共10页第二页，共10页。jjjjjjjhMMhyyA611 =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(+=+下面下面(xi mian)解决解决 Mj：利用利用(lyng)S 在在 xj 的连续性的连续性xj 1,xj:Sj(

3、x)=jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121 +1111211216,2)(2)(+jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj,xj+1:Sj+1(x)=利用利用Sj(xj)=Sj+1(xj)，合并关于，合并关于Mj 1、Mj、Mj+1的同类项，并的同类项，并记记 ,整理后整理后得到：得到：11jjjjhhh+=1jj-=),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-+-+=211gMMMjjjjjj=+-j 1n 1即：有即：有 个未知数，个未知数，个方程个方程(fngchng)。n 1n+1还需还需2个个边界条件边界条件/*bounda

4、ry conditions*/第3页/共10页第三页，共10页。第第1类边界条件类边界条件/*clamped boundary*/：S(a)=y0，S(b)=yn22)(MMax)xx a,x1:S1(x)=10110111106,22hxxfhMhM+6n010110),(2gy0 xxfhMM=+nnnnngxxfynhMM=+),(6211类似类似(li s)地利用地利用 xn 1,b 上的上的 Sn(x)第第2类边界条件：类边界条件：S”(a)=y0”=M0，S”(b)=yn”=Mn这时：这时：特别地，特别地，M0=Mn=0 称为自由边界称为自由边界/*free boundary*/，

5、对应对应(duyng)的样条函数称为自然样条的样条函数称为自然样条/*Natural Spline*/。第第3类边界条件类边界条件/*periodic boundary*/：当当 f 为周期函数为周期函数(zhu q hn sh)时，时，yn=y0，S(a+)=S(b)M0=Mn 第4页/共10页第四页，共10页。注：注：另有三转角法得到另有三转角法得到(d do)样条函数，即设样条函数，即设 Sj(xj)=mj，则易知，则易知xj1,xj 上的上的Sj(x)就是就是Hermite函数。再利用函数。再利用S”的连续性，可导出的连续性，可导出关于关于mj 的方程组，加上边界条件即可解。的方程组，

6、加上边界条件即可解。Cubic Spline 由由boundary conditions 唯唯一一(wi y)确定。确定。收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则一致一致S(x)f(x)即即:提高精度提高精度(jn d)只须增加节点只须增加节点,而无须提高而无须提高样条阶数。样条阶数。稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保证|0|,|0|,|n|,|n|2，则方，则方程组系数阵为程组系数阵为SDD阵阵，保证数值稳定。保证数值稳定。第5页/共10页第五页，共10页。5 Cubic Spline Sketch of the Algorithm:Cubic Spline 计算计算 j,j,gj;

7、计算计算 Mj (追赶法等追赶法等);找到找到 x 所在所在(suzi)区间区间(即找到相应的即找到相应的 j);由该区间上的由该区间上的 Sj(x)算出算出 f(x)的近似值。的近似值。插值法小结插值法小结 Lagrange:给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。时方便处理。Hermite：给出给出 yi 及及 yi，选，选 hi(x)及及 hi(x)。Spline：分段低次：分段低次,自身光滑自身光滑,f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。第6页/共10页第六页，共10页。例1.对于给定的节点(ji din)及函数值解:第7页/共10页第七页，共10页。第8页/共10页第八页，共10页。第9页/共10页第九页，共10页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第10页/共10页第十页，共10页。