数值分析三次样条插值PPT学习教案.pptx

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1、会计学1数值数值(shz)分析三次样条插值分析三次样条插值第一页，共25页。结论(jiln)：其中(qzhng)第2页/共25页第二页，共25页。实际中有许多计算(j sun)问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。一、三次样条的产生(chnshng)和背景1.问 题(wnt)的产生显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。第3页/共25页第三页，共25页。2.样条的概念(ginin)(Spline)样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用(lyng)它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条

2、曲线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。第4页/共25页第四页，共25页。二、三次样条函数(hnsh)的定义若函数S(x)C2a,b,且在每个小区间(q jin)xj,xj+1上是三次多项式，其中a=x0 x1 xn=b是给定节点，则称S(x)是节点x0，x1，xn上的三次样条函数。1.三次(sn c)样条的定义a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多项式即：第5页/共25页第五页，共25页。三次(sn c)样条函数2.三次样条插值函数(hnsh)的定义+S(xi)=yi3.求解三次(sn c)样条插值函数

3、的已知条件数和未知条件数未知参数个数4n已知条件个数插值条件：n+1S(x)C2a,b：3(n-1)共 计：4n-2缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称为边界条件。第6页/共25页第六页，共25页。4.常用(chn yn)的三种边界条件1已知两端(lin dun)的一阶导数值，即：2已知两端(lin dun)的二阶导数值，即：3当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即周期样条第7页/共25页第七页，共25页。三、求解方法之一：三转角(zhunjio)方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1

4、f2fn求三次样条插值函数 S(x)第8页/共25页第八页，共25页。xjf2x2fnxnf1f0f(xj)x1x0思路:(1)首先要补条件：每个区间(q jin)上构造三次多项式需要四个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个；x1处:得到(d do)与m0,m1,m2有关的等式x2处:得到(d do)与m1,m2,m3有关的等式共n-1个等式(2)补什么条件：这里选一阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续，故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。第9页/共25页第九页，共25页。设在a,b上给出插值条件(

5、tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次(sn c)样条插值函数 S(x)设法求出求解过程具体如下：第10页/共25页第十页，共25页。2.求解(qi ji)mj 的思路由内部节点(ji din)上的二阶导数连续求出考虑(kol)S(x)在xj,xj+1上的表达式hj=xj+1-xj第11页/共25页第十一页，共25页。对S(x)求二阶导数(do sh)得：于是(ysh)第12页/共25页第十二页，共25页。同理可得S(x)在区间(q jin)xj-1,xj上的二阶导数：于是(ysh)第13页/共25页第十三页，共25页。由条件(tioji

6、n)可得进一步简化(jinhu)为第14页/共25页第十四页，共25页。写成矩阵(j zhn)形式为第15页/共25页第十五页，共25页。四、求解(qi ji)方法之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)第16页/共25页第十六页，共25页。思路:(1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个；(2)补什么条件：或函数值，或一阶导数值，或二阶导数值。这里(zhl)选二阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证所构造出的函

7、数的函数值和相邻两段在公共点的二阶导数的极限值连续，但不能保证一阶导数连续，故只能选那组使一阶导数连续的二阶导数值。xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fnx1处:得到与M0,M1,M2有关(yugun)的等式x2处:得到与M1,M2,M3有关(yugun)的等式共n-1个等式第17页/共25页第十七页，共25页。求解(qi ji)方法之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)2.求解S(x)的思路及求解1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系2）求出中间节点上的一阶导数值

8、第18页/共25页第十八页，共25页。1)首先确定(qudng)S(x)与二阶导数值的关系由于(yuy)S(x)在区间xj,xj+1上是三次多项式，故S(x)在xj,xj+1上是线性函数(hnsh)，可表示为对S(x)积分两次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1,可定出积分常数，于是得 第19页/共25页第十九页，共25页。2)求出内部(nib)节点上的一阶导数值只有利用(lyng)一阶导数连续的条件对S(x)求导得第21页/共25页第二十一页，共25页。由此可得类似地可求出S(x)在区间(q jin)xj-1,xj上的表达式，从而得利用(lyng)第22页/共25页第二十二页，共25页。注意：(1)教材只重点介绍了三弯矩方程，上课时带领学生看书比较！(2)要求学生下去(xi q)总结，写出两种构造方法的思路。第23页/共25页第二十三页，共25页。作业：1.写出构造(guzo)三次样条插值函数的两种方法的思路。第24页/共25页第二十四页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共25页。