数学建模-传染病模型学习教案.pptx

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1、会计学1数学数学(shxu)建模建模-传染病模型传染病模型第一页，共8页。模型模型(mxng)2 记记t时刻的病人数与易感染人数（时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别）分别(fnbi)为为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的假。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，设及（竞争项）统计筹算律，其中：其中：解得：解得：（3.17）可得：可得：（3.16）统计结果显示，统计结果显示，(3.17)(3.17)预报结果比预报结果比(3.15)(3.15)更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病

2、曲线，并称为传染病曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传染为此传染病的流行高峰。病的流行高峰。令：令：得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。模型模型(mxng)2(mxng)2仍有不足之处，仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型且当时间趋与无穷时，模型(mxng)(mxng)预测最终所有人都得预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。为了使模型更精确，为了使模型更精确，有必要再将人群细有必要再将人群细分，建立多房室系分，建立多房室系统统第2页/共8页第二页，共8页。infectivereco

3、veredsusceptiblekl（3.18）l 称为传染病恢复系数 求解求解(qi ji)(qi ji)过程如下：过程如下：对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得：解得：解得：记：记：则：则：将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数时刻的三类人数(rn sh)为为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型：模型模型(mxng)3第3页/共8页第三页，共8页。infectiverecovereds

4、usceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得：从而解得：从而解得：积分得：积分得：（3.19）不难验证，当 t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成：其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。，此疾病在该地区根本流行不起来。如果如果 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在i(t)增加

5、增加(zngji)的同时，伴随地有的同时，伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时，i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失。开始减小，直至此疾病在该地区消失。鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作用，被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阀值。的阀值。的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人。的所有人。图3-14 第4页/共8页第四页，共8页。综上所述，模型综上所述，模型3 3指出指出(zh ch)(zh ch)了传染病的以下特征：了传染病的以下特征：（1 1）当当人人群群中中有有人人得得了

6、了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传传，仅当易受感染仅当易受感染(gnrn)(gnrn)的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。（2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，相相反反(xingfn)(xingfn)，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。模型检验：模型检验：医疗机构一般依据医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数来统计疾病的波及人数，从广义上理

7、，从广义上理解，解，r(t)为为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。并无影响。及：及：注意到：注意到：可得可得：（3.20）第5页/共8页第五页，共8页。通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：积分得：积分得：其中：其中：这里双曲正切函数这里双曲正切函数 ：而：而：对对r(t)求导求导：（3.21）第6页/共8页第六

8、页，共8页。曲线曲线 在医学上被称为疾病传染曲线。在医学上被称为疾病传染曲线。图图3-14（a）给出了（）给出了（3.21）式曲线）式曲线(qxin)的图形，可用医疗的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线(qxin)。图3-14（a）图图3-14（b）记录了）记录了1905年下半年至年下半年至1906年上半年印度孟买瘟年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡疫大流行期间每周死亡(swng)人数，不难看出两者有较好人数，不难看出两者有较好的一致性。的一致性。第7页/共8页第七页，共8页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第8页/共8页第八页，共8页。