数据的曲线拟合学习教案.pptx

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1、数据数据(shj)的曲线拟合的曲线拟合第一页，共27页。1、问题(wnt)2人口预测问题(wnt)。3下面给出的美国1900到到2000年的人口数。4我们的目标是预测未来的人口数。t 1900 1910 1920 1930 1940 1950y 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150697 t 1960 1970 1980 1990 2000y 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422无论是插值问题还是曲线拟合问题，总是巳知一个函数在若干点处的信息（如实测数据），希望(xwng)构造近似函数，用得到的插值或逼近函

2、数给出被逼近函数在其他点处的值（如无法实测的点），或了解函数的整体情况。第1页/共27页第二页，共27页。学会用Matlab软件，来完成对数据的拟合和插值的方法。三、预备知识1、设ax0 x1 xn b,已知有n1个节点(xj,yj),j0，1，n其中xj互不相同，这些节点（xj,yj）可以看成是由某个函数y=f(x)产生(chnshng)的。插值方法是构造一个相对简单的函数y=g(x)，使g通过全部节点,即g(xj)yj j=0,1,2,n，用g(x)作为函数f(x)的近似。插值函数近似的点在插值节点之间，则称为内插；否则称为外推。人口的预测问题(wnt)如果用插值或拟合的方法，则显然是外推

3、。二、实验(shyn)目的拟合方法的求解思路有别于插值，以多项式拟合为例说明之。对于给定的数据（xj,yj），j0，1，n，选取适当阶数的多项式g(x),使g(x)尽可能接近这些数据。第2页/共27页第三页，共27页。这可以通过求解下面(xi mian)的最小化问题来实现：设解为，则 g(x)=用Matlab可以很容易地作插值和拟合，这既使读者避开了繁琐的原理性说明，也能了解插值和拟合的意义，并且可以自如(zr)地使用这种数学技术来解决实际问题。当然，如果有兴趣，也可以了解相关的“数值计算”内容。就是所需的近似(jn s)函数。2、本实验中所用Matlab命令提示：yi=interp1(x1,

4、y1,xi,linear)；%一元插值函数 interpl,其中x1,y1为节点，命令对应函数yi=g(xi)；zi=interp1(x1,y1,xi,cubic)：%三次多项式插值；第3页/共27页第四页，共27页。p=polyfit(x1,y1,n)：%多项式拟合函数polyfit(),p,s=polyfit(x1,y1,n)：x1,y1为节点(ji din),n为多项式阶 数，矩阵s为生成预测值 的误差估计；y=polyval(p,x)：%多项式曲线求值函数polyval,y,DELTA=polyval(p,x,s)前者为返回对x在系数p的 多项式的值，后者为输出s 得出误差估计YDEL

5、TA；第4页/共27页第五页，共27页。所用函数：nlinfit()%带有待定常数的自定义函数 调用格式：beta,r,J=nlinfit(x,y,fun,beta0)（说明：beta返回函数fun中的待定常数；r表示残 差；J表示雅可比矩阵；x,y为数据；fun自定 义函数；beta0待定常数初值。）四、实验内容(nirng)与要求1、就给出的美国1900到到2000年的人口数，拟合出多项式和向自定义函数拟合，并预测2010年美国的人口数。t 1900 1910 1920 1930 1940 1950y 75,995 91,972 105,711 123,203 131,669 150,69

6、7t 1960 1970 1980 1990 2000y 179,323 203,212 226,505 249,633 281,422第5页/共27页第六页，共27页。2、X 取 1，2，20，y=x+3sin(x),分别用 6 阶、10 阶曲线进行逼近。3、下表为某保险公司100个赔款样本的赔款状况，求出：（1）画直方图、散点图；（2）若分布适 合对数正态分布模型,求参数(cnsh),;(3)画对数 正态分布密度图形。赔款(pi kun)额（元）赔款(pi kun)次数 0400 2 400800 24 8001200 32 12001600 21 16002000 10 20002400

7、 6 24002800 3 28003200 1 32003600 1 3600以上 0 总数(zngsh)100第6页/共27页第七页，共27页。五、思考(sko)与练习1、已知数据见下表，求xi=0.025时的yi的值。X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Y 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2 并求：x=0.2500、0.3500、0.4500时y的函数值。2、某保险公司1990年1996年的保费收入如下表，试预 测该公司在1997年、1998年的保费收入。年度(nind)1990 1991 199

8、2 1993 1994 1995 1996保费收入(shur)(万元)104 162 188 264 320 400 442 3、某保险公司1990年发生的7821件家财险赔案的分组统计情况，试计算平均赔款额及赔款额的方差；并画出散点图。第7页/共27页第八页，共27页。某保险公司1990年家财险索赔(su pi)分布情况 索赔(su pi)额（元）频数 050 1728 50100 1346 100200 1869 200400 1822 400800 907 800以上(yshng)149 合计 7821六、操作提示1.计算过程：第8页/共27页第九页，共27页。(1)一阶拟合：t=190

9、0:10:2000;y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422;n=1;p=polyfit(t,y,n)ti=linspace(1900,2000,100);%绘图(hu t)的t轴数据 z=polyval(p,ti);%多项式在数据点处值 plot(t,y,o,ti,z,k:,t,y,b)legend(原始数据,一阶曲线)ti=2010;yi=interp1(t,y,ti,spoline)第9页/共27页第十页，共27页。三阶拟合(n h)：t=1900:1

10、0:2000;y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422;n=3;p=polyfit(t,y,n)ti=linspace(1900,2000,100);%绘图的t轴数据z=polyval(p,ti);%多项式在数据点处的值plot(t,y,o,ti,z,k:,t,y,b)legend(原始数据,三阶曲线)ti=2010;yi=interp1(t,y,ti,spoline)自定义函数拟合(n h)：首先定义非线性函数的M文件：fff1.m第10页/共27页第十一

11、页，共27页。function yy=model(beta0,x)a=beta0(1);b=beta0(2);yy=a+exp(b*x);程序(chngx)如下：x=1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000;y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422;beta0=0.30 0.02;betafit=nlinfit(x,y,fff1,beta0)plot(x,y,r-*)第11页/共27页第十二

12、页，共27页。(2)六阶多项式：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,6)xi=linspace(1,20,100);z=polyval(p,xi);%多项式求值函数(hnsh)plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)legend(原始数据，6阶曲线)第12页/共27页第十三页，共27页。十阶多项式：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,10)xi=linspace(1,20,100);z=polyval(p,xi);%多项式求值函数(hnsh)plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)legend(原始数据，10阶

13、曲线)第13页/共27页第十四页，共27页。(3)画直方图：x=0:400:3600;y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1;bar3(x,y)%三维直方图 散点图：x=0:400:3600;y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1;plot(x,y,r-*)求均值(jn zh)与方差：第14页/共27页第十五页，共27页。赔款(pi kun)额（元）组中值 赔款(pi kun)次数 赔款(pi kun)频率 0400 200 2 0.02 400800 600 24 0.24 8001200 1000 32 0.32 12001600 1400 21 0.21 1600

14、2000 1800 10 0.10 20002400 2200 6 0.06 24002800 2600 3 0.03 28003200 3000 1 0.01 32003600 3400 1 0.01 3600以上(yshng)0 总数(zngsh)100 1.00第15页/共27页第十六页，共27页。均值(jn zh)：X=200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400;P=0.02 0.24 0.32 0.21 0.10 0.06 0.03 0.01 0.01;EX=X*P%方差(fn ch)：DX=DX=X.2*P-EX2%DX=EX2-(EX)2

15、对数正态分布的均值：对数(du sh)正态分布的方差：=log(1216)-1/2*2 2=log(1+362944/(12162)第16页/共27页第十七页，共27页。代入对数正态分布密度(md)可画图：x=200:400:3600;y=1./sqrt(2.*3.14*0.22*x.2).*exp(-(log(x)-7).2 /(2.*0.22);plot(x,y,r-*)title(对数正态分布密度(md)函数曲线图)xlabel(x=200:400:3600)（4）x=0:0.1:1;y=0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2;yi0=interp

16、1(x,y,0.025,linear)xi=0:0.02:1;第17页/共27页第十八页，共27页。yi=interp1(x,y,xi,linear);%线性插值zi=interp1(x,y,xi,spline);%三次(sn c)样条插值wi=interp1(x,y,xi,cubic);%三次(sn c)多项式插值plot(x,y,o,xi,yi,r+,xi,zi,g*,xi,wi,k.-)legend(原始点,线性点,三次(sn c)样条,三次(sn c)多项式)xi=0.2500 0.3500 0.4500;yi=interp1(x,y,xi,spline)第18页/共27页第十九页，共

17、27页。计算结果：（1）一阶拟合(n h)：p=0.0203 -37.8395 yi=3.3360（亿人）此时多项式为：y=0.0203x-37.8395第19页/共27页第二十页，共27页。三阶拟合(n h)：p=0.0000 -0.0005 0.8025-425.8736yi=3.3360（亿人）此时多项式：y=0.0000 x3-0.0005x3+0.8025x-425.8736第20页/共27页第二十一页，共27页。betafit=-13.07840.0014即：a=-13.0784,b=0.0014,拟合(n h)函数为：-13.0784+exp(0.0014x)。第21页/共27页

18、第二十二页，共27页。（2）六阶多项式：p=Columns 1 through 6 0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472-9.7295 Column 7 11.3304第22页/共27页第二十三页，共27页。注：可用不同阶的多项式来拟合(n h)数据但也不是阶数越高拟合(n h)的越好。十阶多项式：p=Columns 1 through 6 0.0000-0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 Columns 7 through 11 11.2360 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671 第23页/共27页第二十四页，共27页。（3）直方图：散点图：第24页/共27页第二十五页，共27页。EX=1216DX=362944=6.99362=0.2195 对数(du sh)正态分布图：第25页/共27页第二十六页，共27页。（4）yi0=0.3500yi=1.2401 1.4654 1.8859第26页/共27页第二十七页，共27页。