2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页 2021-2022 学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题 一、单选题 1已知直线l过点2,1，且倾斜角是2，则直线l的方程是（）.A10 xy B12yx C20 x D10y 【答案】C【分析】根据直线l过点2,1，且倾斜角是2，可求得直线l的方程.【详解】由于直线l过点2,1，且倾斜角是2，则直线l的方程为2x，即20 x.故选：C.【点睛】本题考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.2在空间直角坐标系中，已知(1,0,3)A，(4,2,1)B，则AB（）A15 B29 C34 D149【答案】B【分析】求出AB，进而可得AB.【详解】依题

2、意得3,2,4AB，所以22232429AB .故选：B.3已知1,1,0a，1,0,2b ，且a与kab互相垂直，则k的值为.A12 B12 C1 D1【答案】B【分析】先得到kab的坐标，再结合向量垂直关系，可得0akab，进而求解即可.【详解】由题，1,1,01,0,21,2kabkkk，因为a与kab互相垂直，所以0akab，即111020kk ，解得12k .第 2 页 共 20 页 故选：B 4设直线l的方程为cos30yx R，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A0,B,4 2 C30,44 D 3,44【答案】C【分析】求出直线l的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果.【

3、详解】直线l的方程可化为cos3yx，所以，tancos1,1，因为0，因此，直线l的倾斜角的取值范围是30,44.故选：C.5已知空间四点1,0,1A，0,0,1B，2,2,2C，0,0,3D，则cos,AB CD（）A23 B23 C13 D13【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可.【详解】由题意得，(10 0)(221)ABCD，所以2221(2)(2)13ABCD，1(2)0(2)0 12AB CD ，所以22cos=1 33AB CDABCDAB CD，故选：A 6如图，在三棱锥 S ABC中，点 E，F分别是 SA，BC 的中点，点 G

4、在棱 EF上，且满足12EGGF，若SAa，SBb，SCc，则SG（）第 3 页 共 20 页 A111326abc B111362abc C111632abc D111366abc【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得1133SGSEEGSEEFSESFSE 2121 13333 2SESFSESBSC 111362 113626SASBSacCb.故选：D 7已知在平行六面体1111ABCDABC D中，向量AB，AD，1AA两两的夹角均为60，且1AB，2AD，13AA，则1AC（）A5 B6 C4 D8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【详

5、解】如图，平行六面体1111ABCDABC D中，向量AB、AD、1AA两两的夹角均为60，且1AB，2AD，13AA，11ACABBCCC 2211ACABBCCC 222111222ABBCCCAB BCAB CCBC CC 1492 1 2 cos602 1 3 cos602 2 3 cos60 25.15AC，故选：A.第 4 页 共 20 页 8已知直线:210l kxyk 与两坐标轴分别交于,A B两点，如果AOB的面积为4，那么满足要求的直线l的条数是（）.A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】按照0k、0k 分类，求出截距后列方程即可得解.【详解】当0k 时，直线:10l y

6、 ，不合题意；当0k 时，若0 x，则21yk，若0y，则12xk，所以111121 244422AOBSkkkk，所以1448kk或1448kk，解得12k或32 22k或32 22k；所以满足要求的直线l的条数是 3.故选：C.二、多选题 9给出下列命题正确的是（）A空间中所有的单位向量都相等 B长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C若,a b满足ab，且,a b同向，则ab D对于任意向量,a b，必有abab【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于 A：向量相等需要满足两个条件：第 5 页 共 20 页 长度相等且方向相同，缺一不可，故 A 错；对于 B：根据相

7、反向量的定义可知 B 正确；对于 C：向量是矢量不能比较大小，故 C 错；对于 D：根据三角形三边关系知abab正确；故选：BD.10已知直线12:10,:(2)330lxmylmxy，则下列说法正确的是 A若12ll/，则 m=-1 或 m=3 B若12ll/，则 m=3 C若12ll，则12m D若12ll，则12m 【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断【详解】直线12ll/，则3(2)0m m，解得3m 或1m ，但1m 时，两直线方程分别为10 xy，3330 xy即30 xy，两直线重合，只有3m 时两直线平行，A 错，B 正确；12ll，则230mm，12m，

8、C 错，D 正确 故选：BD【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形 11设动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上，记11D PD B当APC为钝角时，则实数可能的取值是（）A12 B23 C13 D1【答案】AB【分析】首先以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC，再解不等式即可得到答案.【详解】以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：第 6 页 共 20 页 设正方体的边长为1，则1,0,0A

9、，1,1,0B，0,1,0C，10,0,1D，11,0,1D A，10,1,1DC，11,1,1D B，所以11,D PD B.又因为 11,1,0,11,1PAPDD A ，11,0,1,1,1,1PCPDDC ，因为APC为钝角，所以0PA PC，即 2111=1 310，解得113.故选：AB【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题.12已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点F是棱1BB的中点，点P在四边形11BCC B内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（）A若P在线段1BC上，则三棱锥1PAD F的体积为定值 B若P在线段1BC上，则DP与1AD所成角的取

10、值范围为,4 2 第 7 页 共 20 页 C若/PD平面1AD F，则点P的轨迹的长度为2 D若APPC，则1AP与平面11BCC B所成角正切值的最大值为512【答案】ACD【分析】A.如图，当P在线段1BC上时，当P到平面1AFD的距离不变，又底面1AFD的面积是定值，所以三棱锥1PAD F的体积为定值，所以该选项正确；B.如图，分析得DP与1AD所成角的取值范围为,3 2，所以该命题错误；C.如图，,M N分别是1,CC CB中点，点P的轨迹是线段MN2，所以该选项正确；D.点P的轨迹为以BC中点O为圆心，以 1 为半径的半圆，15BO,所以1PB的最小值为51,所以1AP与平面11B

11、CC B所成角正切值的最大值为251251.所以该选项正确.【详解】A.如图，因为11/,BCAD AD 平面1,AFD1BC 平面1,AFD所以1/BC平面1,AFD所以当P在线段1BC上时，当P到平面1AFD的距离不变，又底面1AFD的面积是定值，所以三棱锥1PAD F的体积为定值，所以该选项正确；B.如图，因为11/,BCAD所以DP与1AD所成角就是DP与1BC所成的角（锐角或直角），当点P在1,B C时，由于1BDC是等边三角形，所以这个角为3，当1DPBC时，这个角为2，由图得DP与1AD所成角的取值范围为,3 2，所以该命题错误；第 8 页 共 20 页 C.如图，,M N分别是

12、1,CC CB中点，点P的轨迹是线段MN,由于/DMAF,AF 平面1AFD,DM 平面1AFD,所以/DM平面1AFD，同理可得/MN平面1AFD，又,DM MN 平面DMN,DMMNM,所以平面/DMN平面1AFD，所以/DP平面1AFD，22112MN，所以点P的轨迹的长度为2，所以该选项正确；D.如图，由题得1AP与平面11BCC B所成角为11APB,1112tanAPBPB,即求1PB的最小值，因为,PCAP PCAB,APABA AP AB平面ABP,所以PC 平面ABP,所以PCBP,所以点P的轨迹为以BC中点O为圆心，以 1 为半径的半圆，15BO,所以1PB的最小值为51,

13、所以1AP与平面11BCC B所成角正切值的最大值为251251.所以该选项正确.第 9 页 共 20 页 故选：ACD 三、填空题 13已知正四棱锥PABCD的所有棱长都为 2，则此四棱锥体积为_【答案】4 23【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积.【详解】设底面正方形两条对角线相交于 O 点，由题可得,PO底面 ABCD.在 Rt AOP 中,AO=2 AC=2 2,AP=2,PO=22422APAO.故13P ABCDABCDVSPO=4 23 故答案为4 23【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不

14、规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；第 10 页 共 20 页（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.14过两点222,3A mm，23,2Bmmm的直线l的倾斜角为o45，则 m=_【答案】-2【分析】根据斜率公式以及斜率的定义即可解出【详解】222323131221

15、12123mmmmmmmmmmmm 故答案为：-2 15已知两点(3 4)A ，(3 2)B，过点()10，P的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是_.【答案】,11,【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围【详解】解：点(3,4)A，(3,2)B，过点(1,0)P的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率PBk k或PAk k，PA的斜率为4013 1 ，PB的斜率为2013 1，直线l的斜率1k或1k，即,11,k ，故答案为：,11,第 11 页 共 20 页 16正方体1111ABCDABC D的棱上到直线1A B与1CC的距离相等的点有 4

16、 个，其中 3 个点分别为E，F，1D，如图所示，则直线1AC与平面1EFD所成角的正弦值为_.【答案】4 7839【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，代入公式即可.【详解】正方体1111ABCDABC D的棱上到直线1A B与1CC的距离相等的点分别E，F，1D，其中点E为BC的中点，F为11BC的四等分点（靠近1B）.以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设4AB.现证明F为11BC的四等分点（靠近1B）：如图所示，连接1AB交1A B于O,连接OF,则有1FC为点F到1CC的距离，11114 22 222OBAB 第 12 页 共 20

17、 页 由1111111FBABABABABFBB，可得1AB 平面1FOB，所以1ABFO，所以FO为点F到直线1A B的距离，设1FCFOt，则有 22211OBFBFO，即2222 24tt，解得：3t，即F为11BC的四等分点（靠近1B）.则2,4,0E，3,4,4F，10,0,4D，4,0,0A，10,4,4C，1,0,4EF，13,4,0D F,14,4,4AC ，设平面1EFD的法向量,nx y z，则100n EFn D F，即40340 xzxy，取4x，解得4,3,1n，设直线1AC与平面1EFD所成的角为，则直线1AC与平面1EFD所成角的正弦值为：14 78sincos,

18、39n AC.故答案为：4 7839.第 13 页 共 20 页 四、解答题 17（1）求经过点1,3P 和点3,2Q的直线的方程；（2）求经过点1,3P 且倾斜角为34的直线方程.【答案】（1）4110 xy；（2）20 xy.【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】解：（1）直线PQ的斜率为321134PQk ，因此，直线PQ的方程为3314yx，即4110 xy；（2）由题意可知，所求直线的斜率为3tan14，故所求直线方程为31yx ，即20 xy.18已知直线l的方程为260 xy（）直线1l与l垂直，且过点（1，-3），求直线1l的方程；（）

19、直线2l与l平行，且直线2l与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线2l的方程【答案】（1）250 xy（2）直线2l的方程为：240 xy或240 xy【详解】试题分析：（1）由直线1l与l垂直，可设直线1l的方程为：20 xyc，将点1,3 代入方程解得5c，从而可得直线1l的方程；(2)由直线2l与l平行，可设直线2l的方程20 xyc，由直线2l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得4c 可得直线2l的方程.试题解析：（1）设直线1l的方程为：20 xyc 直线1l过点（1，-3），2 130c 解得5c 直线1l的方程为：250 xy(2)设直线2l的方程为：20 xyc 令0 x

20、，得2cy ；令0y，得xc 则1422csc，得4c 第 14 页 共 20 页 直线2l的方程为：240 xy或240 xy 19如图，在四棱锥 P-ABCD 中，2PDAD，PDDA，PDDC，底面 ABCD 为正方形，M，N分别为 AD，PD的中点.(1)求证：PA平面 MNC；(2)求直线 PB与平面 MNC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)16.【分析】(1)利用中位线定理证明 PAMN，然后由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MNC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）M，N分

21、别为AD，PD的中点，PAMN，又PA 平面MNC，MN平面MNC，故 PA平面MNC；（2）由题可知 DA、DC、DP 两两垂直，故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：第 15 页 共 20 页 设24PDAD，则(2B，2，0)，(0C，2，0)，(0P，0，4)，(1M，0，0)，(0N，0，2)，(2,2,4),(0,2,2),(1,0,2)PBNCMN，设平面MNC的法向量为(,)nx y z，则20220n MNxzn NCyz ，令1y，则1z，2x，故(2,1,1)n，|21|cos,|6|441641 1PB nPB nPBn，故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为

22、16.20如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB，12AA，点 E为1CC中点，点 F为1BD中点.(1)求证：EFBD；第 16 页 共 20 页(2)求点 F到平面 BDE 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，证明出0EF DB，即可证得结论成立；（2）计算出平面BDE的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面BDE的距离.【详解】（1）解：在正四棱柱1111ABCDABC D中，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则

23、0,0,0D、1,1,0B、10,0,2D、0,1,1E、1 1,12 2F，所以，11,022EF，1,1,0DB，则11022EF DB，因此，EFBD.（2）解：设平面BDE的法向量为,nx y z，0,1,1DE，则00n DBxyn DEyz，取1x 可得1,1,1n，所以，点F到平面BDE的距离为1333EF ndn.21如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC是等边三角形，ABBC，PAPB 第 17 页 共 20 页 （1）证明：平面PAC 平面ABC；（2）若2ACAB，点M在棱PC上，且二面角MABC的大小为45，求PMPC【答案】（1）证明见解析；（2）13PMPC【分析】（

24、1）设AC的中点为O，得POAC，利用已知条件可证明POA POBPOC，可得POOB，进而可证PO面ABC，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）作ODAC于点O，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设PMPC，求出平面MAB的一个法向量m，ABC的一个法向量0,0,1n，由题意知：2cos45cos,2m nm nmn，求得的值即可求解.【详解】（1）设AC的中点为O，连接PO，BO，在等边PAC中，可得POAC，在RtABC中，有OAOBOC，又因为PAPBPC，所以POAPOBPOC，所以90POBPOA，即POOB，又因为POAC，ACOBO，所以PO面ABC，又因为P

25、O面PAC，所以平面PAC 平面ABC；第 18 页 共 20 页（2）若2ACAB，点M在棱PC上，且二面角MABC的大小为45，求PMPC 不妨设4PA，在RtABC中，1cos2ABCABAC，所以60CAB，在底面ABC内作ODAC于点O，则,OD OC OP两两垂直，以点O为原点，以OD所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图：则0,2,0A，3,1,0B，0,2,0C，0,0,2 3P，所以3,1,0AB，0,4,0AC，0,2,2 3AP，0,2,2 3PC，设0,2,2 3PMPC01，则0,22,2 32 3AMAPPM，设平面

26、MAB的一个法向量为,mx y z，所以30222 32 30m ABxym AMyz，令1x可得33y，1z ，所以1,33,1m，平面ABC的一个法向量0,0,1n，所以22212cos45cos,21331m nm nmn，整理可得：231030，即3130，所以13或3（舍）所以13PMPC，所以13PMPC.22如图，三棱柱111ABCABC的侧面11BBC C是菱形，1ABBABC （1）求证：1B C 平面1ABC；第 19 页 共 20 页（2）若112BBBC，1ABAC，且二面角1BABC为直二面角，求三棱锥11CABB的体积【答案】（1）证明见详解；（2）22.【分析】（

27、1）记1BC与1BC的交点为O，连接AO；根据题中条件，得到11BCBC；再证1ABBABC，得到1ACAB，推出1AOBC；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）过点O作OPAB于点P，连接1PB、PC，根据线面垂直的判定定理，先证AB平面1PBC；得到1BPC即为二面角1BABC的平面角，再证AO 平面11BB C C，结合题中条件，求出AO，根据1111CABBA C BBVV，即可求出三棱锥的体积.【详解】（1）记1BC与1BC的交点为O，连接AO；因为侧面11BBC C是菱形，所以O为1BC的中点，1BBBC，11BCBC；由1ABBABC，1BBBC，BABA可得，1AB

28、BABC，因此1ACAB，即1ACB为等腰三角形，所以1AOBC；因为1BCAOO，1BC 平面1ABC，AO 平面1ABC，所以1B C 平面1ABC；（2）过点O作OPAB于点P，连接1PB、PC，因为AB平面1ABC，由（1）可知1BCAB；因为1BCPOO，1B C 平面1PBC，PO平面1PBC，所以AB平面1PBC；因为PC 平面1PBC，1PB 平面1PBC，所以ABPC，1ABPB，则1BPC即为二面角1BABC的平面角，所以190B PC；因为1ABBABC，1BBBC，BPBP，所以1PBBPBC，因此1PBPC；所以145CPOB PO，又因为112BBBC，所以1OPO

29、C，12PB，则22112PBB BB P，第 20 页 共 20 页 22OBBCOC3，因为1ABAC，所以1AOBC，又1AOBC，11BCBCO，1B C 平面11BBC C，1BC 平面11BBC C，所以AO 平面11BB C C，因此16tantan3322OPAOOBABOOBPBOPB，所以三棱锥11CABB的体积为1111111111 11622 3 133 2622CABBA C BBC BBVVSOABC OB OA.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系时，可根据判定定理以及性质定理，结合题中条件直接进行证明；也可根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，得出所需直线的方向向量、平面的法向量，由空间位置的向量表示，即可证明结论成立.