2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高二上学期1月期末数学试题(解析版).pdf

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1、 1 西安市铁一中学 2022-2023 学年上学期期末 高二数学 注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。4.考试结束后，只将答题卡交回。一、选择题：（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知1,0,1a，,1,2bx，且3

2、a b，则向量a与b的夹角为（）A56 B23 C3 D6 2与直线23yx 平行，且与直线34yx交于x轴上的同一点的直线方程是（）A24yx B142yx C823yx D1823yx 3如图，在三棱柱111ABCABC中，点M是底面111A BC的重心，若1AAa，ABb，ACc，则AM（）A1133abc B111333abc C2233abc D222333abc 4已知数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，则2a的值为（）A-4 B-2 C-6 D-8 5若椭圆经过点2,3P，且焦点为12,0F，22,0F，则这个椭圆的离心率等于 A22 B13 C12 D32 2 6已知数

3、列 na是等差数列，若471017aaa，456131477aaaaa，则公差d（）A1 B12 C13 D23 7已知三棱台111ABCA BC的六个顶点都在球 O 的球面上，11110AABBCC，ABC和111A BC分别是边长为3和2 3的正三角形，则球 O 的体积为（）A323 B20 53 C36 D40 103 8下列方程关于xy对称的是（）A221xxy B221x yxy C1xy D221xy 二、选择题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分）9在平面直角坐标系

4、中，已知圆222:2kKxkyk，其中0k，则（）A圆K过定点 B圆K的圆心在定直线上 C圆K与定直线相切 D圆K与定圆相切 10疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对 6 种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这 6 种不同的脐橙（数量均为 1），进行标号为 16，然后将其放人一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为1a，第二次为2a，设12aAa，其中x表示不超过 x的最大整数，则（）A121(5)4P aa B事件16a 与0A互斥 C125()12P

5、aa D事件21a 与0A对立 11裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用na表示裴波那契数列的第n项，则数列 na满足：121aa，21nnnaaa，记111niniaaaa，则下列结论正确的是（）A68a B2233nnnaaan C202020221iiaa D20212202120221iiaaa 3 12棱长为 1 的正方体1111ABC DABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱11AD上一点，且111DQD A，0,1，N为线段AQ的中点，下列命题中正确的是（）A三棱锥ADMN的体

6、积与的取值无关 B当12时，点 Q到直线 AC的距离是3 24 C当14时，0AM QM D当13时，过,A Q M三点的平面截正方体所得截面的周长为4 22 133 三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若向量1,4,1AB，1,2,ACm，且ABAC，则m _ 14双曲线22145xy的右焦点到直线280 xy的距离为_ 15已知向量|2,|2,aba与b的夹角为4，且()baa，则实数的值为_.16已知正项数列 na的前 n 项和为nS，且对于任意*,p qN，有pqp qa aa，若 a2=4，则1a _，6S _全科试题免费下载公众号高中僧课堂 四、解答题

7、：（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设直线l的方程为1520axyaaR.（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点,0AA x，0,BBy，当AOB面积最小时，求AOB的周长及此时的直线方程；（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且 a 也为正整数时，求直线l的方程.182020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关

8、，某学校有 800 名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了 100 名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图.4 （1）求m的值；（2）若成绩在 80 分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；（3）如果抽查的测试平均分超过 75 分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，2AB，BCa，PA 底面ABCD.（1）当a为何值时，BD平面PAC？证明你的结论；（2）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围.20已知等差数列 na的前n项和为nS，且36a，420

9、S.（）求数列 na的通项公式；（）若1a，ka，2kS成等比数列，求正整数k的值.21已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设 A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值.22如图，点3,0B是圆22:316Axy内的一个定点，点P是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C.5 (1)求曲线C的方程；(2)点2,0E，0,1F，直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求ENFM的值.参考答案：1

10、D 根据向量数量积列出方程，求出 x1，利用向量夹角公式计算出答案.23a bx x1，1,1,2b，33cos,21 11 14a ba bab ，又,0,a b，向量a与b的夹角为6 故选：D.2C 先求出直线34yx交于x轴交点4(,0)3P，再设与直线23yx 平行的直线方程2yxm，代入点的坐标得解.设直线34yx交于x轴于P点，令0y，则43x ，4(,0)3P 所求直线与23yx 平行，设2yxm，把4(,0)3P 代入得42()03m 83m 所求直线方程为：823yx 故选：C 本题考查与直线平行的直线方程，属于基础题.6 3A 如图，连接1AM，并延长交11BC于点 D，根

11、据重心的定义可得 D 为11BC的中点，1123AMA D，利用空间向量的线性运算即可求解.由题意知，如图，连接1AM，并延长交11BC于点 D，则 D 为11BC的中点，1123AMA D，有111111()2ADABAC，11AMAAAM 1123AAAD 1111121()32AAABAC 111111133AAABAC 1133abc.故选：A.4A 根据递推关系依次求得1a和2a的值.依题意，数列 na的前n项和为nS，当1n 时，11121aSa，解得12a ，当2n 时，221222Saaa，解得24a ，故选 A.本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.5C 根据

12、焦点坐标求出c的值，根据椭圆过的定点2,3P，结合性质222abc得到a的值，再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.7 椭圆焦点为122,0,2,0,2,FFc，设椭圆方程为222221404xyaaa，又椭圆经过点2222232,314Paa，解得216a 或21a，2240,16,4aaa，12cea，故选 C.本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出,a c，从而求出e;构造,a c的齐次式，求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.6D 利用等差数列的下标和性质即

13、可求解.47107317aaaa，7173a 451491177aaaa，97a，公差972973aad 故选：D 7B 分别求出正三棱台111ABCABC的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得：2211OOR，22134OOR，解出R，即可求得球 O的体积.设点2O，1O分别是正111A BC，ABC的中心，球的半径为R，且1O，2O，O三点共线，正三棱台111ABCABC的高为12OO，在等边ABC中，由3AB，由正弦定理可得：1322sin6032ABO A ，得11AO，在等边111A BC中，由112 3AB，由正弦定理可得：11122 32sin6032ABAO ，得122

14、AO，如下图，过点A作12ANAO，则在三角形1A AN中，8 111,10ANAA，所以1210 13ANOO，所以正三棱台111ABCA BC的高为 3，在1RtOO A中，22211OOO AR，即2211OOR，在2RtOO A中，222221OOO AR，即22134OOR，两式解得：5R，所以球 O 的体积为：3420 533VR.故选：B.8B 利用xy、互换位置后方程不变可得答案.对于 A，xy、互换位置后方程为221yyx与221xxy不一样，故错误；对于 B，xy、互换位置后方程为221x yxy与原方程一样，故正确；对于 C，xy、互换位置后方程为1yx与原方程1xy 不

15、一样，故错误；对于 D，xy、互换位置后方程为221yx与原方程221xy不一样，故错误.故选：B.9BC 9 利用反证法可判断 AD 选项；求出圆心所在直线的方程，可判断 B 选项；判断圆K与直线23yx的位置关系，可判断 C 选项.对于 A 选项，圆K的方程可化为2223202kxyk xy，若圆K过定点，则22200302xyxyk，可得00 xyk，矛盾，A 错；对于 B 选项，圆K的圆心坐标为,k k，则圆心在直线yx上，B 对；对于 C 选项，圆心到直线23yx的距离为2233184 3231kkkd 312262kk，故直线23yx与圆K相切，同理可知，直线23yx与圆K也相切，

16、C 对；对于 D 选项，设定圆的圆心为,a b，半径为r，设0k，若定圆与圆K外切，则2222akbkrk，化简得2222322202kabr kabr，由二次函数的性质可知，关于k的二次函数 222232222f kkabr kabr在0k 时的值不可能恒为零，舍去；若定圆与圆K内切，则2222akbkrk，化简可得2222322202kabr kabr，由二次函数的性质可知，关于k的二次函数 222232222g kkabr kabr在0k 时的值不可能恒为零，舍去.同理可知，当0k 时，不存在定圆与圆K相切，D 错.故选：BC.10BCD 根据有放回的随机取两次结果 36 种逐个分析判断

17、即可解决.由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为12a a）：10 11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,共 36 种，若125aa，此时取1,4或2,3 所以1241(5)369P aa，故 A 错误；若16a，则121aAa恒成立，所以与0A互斥，故 B 正确；125432 15()6 612P aa，故 C 正确；因为0A 恒成立.所以0A为0A对立命题，当21a 时，1120aAaa恒成立，故 D 正确，

18、故选：BCD 11ABD 利用递推公式逐项计算可得6a的值，可判断 A 选项；推导出212nnnaaa，21nnnaaa，两式相加可判断 B 选项；推导出12nnnaaa，利用裂项相消法可判断 C选项；推导出21112nnnnnaa aaa，利用裂项相消法可判断 D 选项.对于 A 选项，3122aaa，4233aaa，5345aaa，6458aaa，A 对；对于 B 选项，当3n时，21112nnnnnnnnaaaaaaaa，12nnnaaa，可得21nnnaaa，得223nnnaaa，B 对；对于 C 选项，对任意的Nn，21nnnaaa，则12nnnaaa，因此，202023342021

19、20222022220221iiaaaaaaaaaa ，C 错；对于 D 选项，2112112nnnnnnnnaaaaa aaa，因此，20212211223233420202021202120221iiaaa aa aa aa aaaaa 21122021202220212022202120221 1aa aaaaaaa ，D 对.故选：ABD.12ABD 根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确 11 定正确答案.对选项 A：由A DMNNADMVV，因为N到平面ABCD的距离为定值12，且ADM的面积为定值14，所以三棱锥ADMN的体积跟的取值无关，

20、所以 A 正确；对选项 B：当12时，Q是11AD的中点，22215131,2,22222AQACQC，592144cos510222QAC，所以QAC为锐角，所以13sin11010QAC,所以点 Q 到直线 AC的距离是533 2sin2410AQQAC，所以 B 正确.对选项 C：当14时，134AQ，可得212AM，2221192511616AQAAAQ，取11,AD AD的中点分别为,N E，连接,EN EM，则222EMMNEN，在直角三角形MEQ中，222222112112416QMEMEQ，则22222212921616AMQMAQ，所以0AM QM不成立，所以 C 不正确 1

21、2 对选项 D：当13时，取11113D HDC，连接HC，则11/HQ AC，又11/AC AC，所以/HQ AC，所以,A M C H Q共面，即过,A Q M三点的正方体的截面为ACHQ，由413193AQCH，则ACHQ是等腰梯形，且111233QHAC，所以平面截正方体所得截面的周长为244 22 13221393l，所以 D 正确；故选：ABD 137 根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.依题意可得1 80AB ACm ，则7m 故答案为：7.145 先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.由已知，22543cab，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到

22、直线280 xy的距离为22|3208|55512.故答案为：5 152 13 根据()baa可得()0baa，再根据平面向量的数量积公式求解即可 由()baa可得()0baa，即20a ba，2cos,0aba ba，代入可得2 240，化简得2 故答案为：2 平面向量的垂直：若向量ab，则0a b 16 2 126 根据已知条件，对 p，q 的依次取特值，求出数列的前 6 项，即可得到结果 解：正项数列 na的前n项和为nS，且对于任意*,p qN，有pqp qa aa，2a4，当1pq时，1 124a aa，所以12a，当12pq，时，123a aa，所以38a，当22pq，时，224a

23、 aa，所以416a，当32pq，时，325a aa，所以532a，当33pq，时，336a aa，所以664a，所以6248 163264126S；故答案为：2；126 本题考查数列的递推关系，数列的求和，属基础题，难度较易.17（1）证明见解析；（2）周长为102 13；直线方程为32120 xy；（3）390 xy.（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；（2）先求 A,B 坐标且确定a的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定a的值，最后求周长以及直线方程；（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定a的值，再求直线方程.解：(1)由1

24、520axya 得250a xxy，则2050 xxy，解得23xy，所以不论a为何值，直线l必过一定点2,3P；(2)由1520axya 得，当0 x 时，52Bya，当0y 时，521Aaxa，14 又由5205201BAyaaxa，得1a ，1191941+122 4112122212152521AOBaaaSaaaa，当且仅当9411aa，即12a 时，取等号.4,0A，0,6B，AOB的周长为224646102 13OAOBAB；直线方程为32120 xy.(3)直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即5 2a，521aa均为正整数，而 a 也为正整数，5232211aaaa 所以直线

25、l的方程为390 xy.本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.18（1）0.016m；（2）320 人；（3）能通过测试.（1）本题可根据频率分布直方图中数据得出结果；（2）本题可根据图中数据得出成绩在 80 分及以上的频率为0.4，然后与总人数相乘即可得出结果；（2）本题可设抽查的平均成绩为x，然后根据图中数据计算出x，即可得出结果.（1）由频率分布直方图性质可得：0.0040.0060.0200.0240.030101m，解得0.016m.（2）由频率分布直方图得，成绩在 80 分及以上的频率

26、为0.240.160.4，故估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数为：8000.4320（人）.（3）设抽查的平均成绩为x，则0.04450.06550.2650.3750.24850.169576.2x（分），因为76.275，所以该学校通过了测试.19（1）2a，证明见详解；（2）4,)a（1）要证BD平面PAC，只需证BD垂直于平面PAC内的两条相交直线，由题意可知BDPA，则只需证明BDAC，只有当四边形ABCD为正方形时满足.（2）由题意可知DMPA，若存在点M，使PMDM，则DM平面PAM，即DMAM，则M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，即半径rAB，求解 15 即可.

27、（1）当2a 时，四边形ABCD为正方形，则BDAC.因为PA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又ACPAA，AC平面PAC，PA 平面PAC 所以BD平面PAC.故当2a 时，BD平面PAC.（2）设M是符合条件的BC边上的点.因为PA 平面ABCD，DM平面ABCD 所以DMPA，又PMDM，PAPMP，PA 平面PAM，PM 平面PAM 所以DM平面PAM，因为AM 平面PAM，所以DMAM.因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点.则半径2ADrAB，即4a.所以4,)a.本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数，属于难题.20（）2nan（）6（）根据等差数列的通

28、项公式以及求和公式得出数列 na的通项公式；（）求出2kS，再由等比数列的性质求出k.（）11264 34202adad，解得12,2ad 22(1)2nann（）22(2)(224)(2)(3)562kkkSkkkk，2kak 1a，ka，2kS成等比数列 22(2)256kkk，即(6)(1)0kk 解得6,1kk（舍）21(1)2214xy(2)见解析.16（1）根据离心率与短轴端点到焦点的距离联立，可求得,a b c的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）分为直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为ykxm，与椭圆方程联立消元，然后再根据OAOB，利用韦达定理可得m与k

29、的关系，进而可知原点O到直线AB的距离为定值.（1）由题意知，32cea，2a，又222abc，所以2a，3c，1b 所以椭圆C的方程为2214xy.（2）当直线AB的斜率不存在时，易知直线OA的方程为yx.代入2214xy得245x，2 55x 所以，原点O到直线AB的距离为2 55.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，11A x y，22B xy，.由2214xyykxm得222148440kxkmxm 则2222284 144416 140kmkmkm，122814kmxxk，21224414mx xk 则2212122414mky ykxmkxmk，由OAOB得0OA

30、OB，17 即2212122544014mkx xy yk，即22415mk，所以原点O到直线AB的距离为22 551mdk 综上，原点O到直线AB的距离为定值2 55.22(1)2214xy(2)4ENFM （1）根据垂直平分线可判断点Q轨迹满足椭圆的定义，故根据定义法求解曲线方程.（2）设出直线QE的方程，然后根据根与系数的关系求得点Q的坐标.由点F，N，Q共线可得点N的横坐标Nx，可得直线QE与y轴的交点纵坐标为My，由此可得4221NENxk，112MFMyk，计算后可得结果.（1）由题意得点Q在BP的垂直平分线上，所以QBQP，42 3QAQBQAQPAPAB.点Q的轨迹是以,A B

31、为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)xyabab,则2a，3c，1b.所以曲线C的方程为2214xy.（2）由题设知直线QE的斜率存在.设直线QE的方程为2yk x，由22214yk xxy消去y整理得 22221 4161640kxk xk，设11,Q x y，22,E x y，则21 2216414kx xk，18 又22x，所以2128214kxk，所以222824,1414kkQkk，因为点F，N，Q共线，故FNFQkk，即2224111 4821 4Nkkkxk，所以222 218221144Nkkxkkk，又直线QE与y轴的交点纵坐标为2Myk，所以4221NENxk，112MFMyk，所以4ENFM.（1）定义法求轨迹方程的步骤：分析题意，判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；设出曲线的标准方程，并根据题意求出方程中的参数；求出轨迹方程，并判断是否有特殊点需要去掉（或补上）（2）由于解析几何中涉及到较多的运算，因此在解题时要注意运算的准确性和运算的技巧，学会运用“设而不求”、“整体代换”等方法.