2022-2023学年上海市朱家角中学高一上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年上海市朱家角中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、填空题 1已知2Ax x，2By y，则AB _【答案】2【分析】利用集合的概念与集合的交集运算即可求得结果.【详解】因为2Ax x，22By yx x，所以 2AB.故答案为：2.2不等式201xx的解集是_.【答案】（1，2）【分析】根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可.【详解】2200(1)(2)01211xxxxxxx ，故答案为：（1，2）3若函数1yxxa为偶函数，则a_【答案】1【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为 0，从而可得结论【详解】解：函数

2、2(1)()(1)yxxaxa xa 函数(1)()yxxa为偶函数，22(1)(1)xaxaxa xa 10a 1a【点睛】本题考查偶函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题 4若(1)21f xx，则(1)f_.【答案】1【分析】101ff，由此利用(1)21f xx，能求出结果【详解】解：(1)21f xx，第 2 页 共 12 页 1(01)2011ff 故答案为：1【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题 5若函数log110,1ayxaa的图像恒过一定点，则此定点坐标为_【答案】(0,1)【分析】根据对数函数logayx0,1a

3、a恒过定点，再结合整体法即可求解.【详解】当0 x 时，log11log 1 10 1 10,1aayxaa ，所以log110,1ayxaa的图像恒过一定点(0,1)，故答案为：(0,1)6设 f x 是定义在R上的奇函数，当0 x 时，22f xxx，则 1f _.【答案】3【分析】已知0 x 时，解析式 22f xxx，故可求得 f（-1），进而根据函数是奇函数，求得 f（1）=-f（-1）.【详解】f x是奇函数，2112113ff f（1）=-3.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，若函数是奇函数，则 f（-x）=-f（x），若函数是偶函数，则 f（-x）=f（x）.利用函数的奇偶性将

4、待求值转化为已知区间上的函数值求解.7方程2221loglog3xx的解为_.【答案】3x 【解析】根据对数的运算及性质可得：232xx，结合真数位置大于0即可求解.【详解】由2221loglog3xx可得 222log2log3xx，所以232xx，即310 xx，解得：3x 或=1x，因为0 x 且230 x，所以3x，所以方程2221loglog3xx的解为：3x 第 3 页 共 12 页 故答案为：3x.8函数2212xy的值域为_【答案】0,4【分析】先求得22x 的取值范围，再利用指数函数的性质即得.【详解】由于222x ，12xy在R上单调递减，所以222110422x，所以函数

5、2212xy的值域为0,4.故答案为：0,4.9若关于 x 的不等式11xxa 解集非空，则实数 a 的取值范围是 _【答案】2a 【分析】分别讨论不等式在1x、11x、1x 上有解时，a的取值范围，即可得到结果.【详解】当1x时，原不等式可化为 11xxa，即2a，则要使不等式在1x上有解，只需2a 即可；当11x 时，原不等式可化为11xxa ，即2xa，则要使不等式在11x 上有解，则应满足2a 即可；当1x 时，原不等式可化为11xxa，即2a，则要使不等式在1x 上有解，只需2a 即可.综上所述，实数 a的取值范围是2a.故答案为：2a.10已知 234,13,1a xa xf xa

6、xx x是R上的严格增函数，那么实数a的取值范围是_ 【答案】3,32【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于a的不等式，解之即可.第 4 页 共 12 页【详解】因为 234,13,1a xa xf xaxx x是R上的严格增函数，当1x时，34f xa xa在,1上单调递增，所以30a，则3a；当1x时，23f xaxx，当0a 时，3f xx，显然 f x在1,上单调递减，不满足题意；当a0时，23f xaxx开口向下，在1,上必有一段区间单调递减，不满足题意；当0a 时，23f xaxx开口向上，对称轴为32xa，因为 f x在1,上单调递增，所以312a，

7、则32a；同时，当1x 时，因为 f x在R上单调递增，所以213 131 4aaa ，得1a；综上：332a，即3,32a.故答案为：3,32.11 已知函数2()23f xxx，,0 xm的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是_.【答案】2,1【分析】画出函数的图像，对称轴为=1x，函数在对称轴的位置取得最小值 2，令2()233f xxx，可求得0 x，或2x，进而得到参数范围.【详解】函数2()23f xxx的图象是开口朝上，且以直线=1x为对称的抛物线，当=1x时，函数取最小值 2，令2()233f xxx，则0 x，或2x，第 5 页 共 12 页 若函数2()23f xx

8、x在,0m上的最大值为 3，最小值为 2，则2,1m，故答案为：2,1.二、解答题 12已知函数 2,42,x xaf xxaxa xa，若存在实数m，使得关于x的方程 f xm有四个不同的实根，求实数a的取值范围.【答案】1 2,4 3【分析】通过分析可得直线ym与函数|yx，xa的图象和242yxaxa，xa的图象的交点都是两个，分别讨论直线ym与函数|yx，xa的图象有两交点时 m的范围和直线ym与二次函数的图象有两交点时 m 的范围，最后再根据图象列出关于 a的不等式组即可求出 a 的范围.【详解】要使方程 f xm有四个不同的实根，则需使直线ym与 yf x的图象有四个不同的交点因为

9、直线ym与|yx的图象及直线ym与二次函数的图象的交点都是最多为两个，所以直线ym与函数|yx，xa的图象和242yxaxa，xa的图象的交点都是两个（1）若存在实数m，使直线ym与|yx，xa的图象有两个交点，则需0a，此时0ma；（2）因为242yxaxa，xa的图象的顶点的纵坐标为24 2(4)4aa，所以要使直线ym与 242yxaxa，xa的图象有两个交点，只需 224 2(4)234aamaa 综上，因为直线ym与 yf x的图象有四个不同的交点，如图所示，第 6 页 共 12 页 所以2202304 2(4)4aaaaaa，解得 1243a，即实数a的取值范围为1 2,4 3【点

10、睛】本题考查方程的根的问题，属难题.函数零点与方程的根的几种等价形式：函数 yf xg x的零点函数 yf xg x的图象与x轴的交点的横坐标方程 0f xg x的根函数 yf x与函数 yg x的图象的交点的横坐标 13若不等式220 x的解集为A，函数 22xxxg的定义域为集合B，求,A B及AB 【答案】04Axx；2Bx x 或1x；2ABx x 或0 x 【分析】解绝对值不等式可求得集合A；由偶次根式被开方数大于等于零可构造不等式求得集合B；根据并集定义可求得AB.【详解】由220 x得：22x，即222x，解得：04x，04Axx；由220 xx得：210 xx，解得：2x 或1

11、x，2Bx x 或1x；2ABx x 或0 x.14已知幂函数 12121kkf xkkx 在0,上是严格增函数 (1)求实数k的值，并写出相应函数 f x的解析式；(2)写出函数 f x的基本性质，并作出它的图像【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义，可以求得1k 或2，由0,上是严格增函数验证可得答案；（2）根据函数的表达式，可以写出函数的基本性质，并画出草图.第 7 页 共 12 页【详解】（1）因为函数 12121kkf xkkx 为幂函数,所以211kk 即220kk，解得1k 或2，当1k 时，12f xxx，在0,上是严格增函数 当2k 时，1441f

12、 xxx，在0,上是严格减函数，不适合题，所以1k，此时 f xx；（2）由（1）知，f xx，其定义域为0,，其值域为0,，在0,上单调递增，非奇非偶函数，图像如图所示，15设0,a 函数 112xf xa（1）判断函数 f x在 R 上的单调性，并证明.（2）设 g xf x fx，若对任意1,1x,2g xf恒成立，求 a的取值范围.【答案】（1）f x在R上递减，证明见解析；（2）302a.【分析】（1）f x在R上递减，利用函数单调性的定义，证明函数的单调性.（2）求得 g x的最小值，结合对任意1,1x，2g xf恒成立列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】（1）当0a 时，

13、f x在R上递减，证明如下：任取12xx，12f xf x2112221212xxxxaaa，由于12xx，所以21220 xx，所以 12f xf x0，故 f x在R上递减.（2）依题意 111212xxg xaa211,11212xxxaa.令12,22xtt，所以1ytt 在1,12上递减，在1,2上递增，且12t 和2t 时，函数值y都为52，而1t 时，函数值2y，所以152,2ytt .而0a，所以221521122xxaaaa，故第 8 页 共 12 页 22115112122xxg xaaaa.依题意对任意1,1x,1 241g xfa恒成立，所以21511412aaa，即2

14、51412aaa，2302aa，解得302a.故 a的取值范围是302a.【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16已知函数2()21f xxax.（1）若对任意的实数x都有(1)(1)fxfx成立，求实数a的值；（2）若()f x在区间1,)上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当 1,1x 时，求函数()f x的最大值.【答案】（1）1；（2）1a；（3）答案见解析【分析】（1）根据条件确定对称轴，再根据对称轴得结果；（2）根据单调性确定对称轴位置关系，列不等式解得结果；（3）根据对称轴与定义区

15、间位置关系分类讨论函数最值，即得结果.【详解】（1）由题意知函数2()21f xxax的对称轴为1x，即1a （2）函数2()21f xxax的图像的对称轴为直线xa;()yf x在区间1,)上为单调递增函数，得1a （3）函数图像开口向上，对称轴xa，当a0时，1x 时，函数取得最大值为：max()22f xa 当0a 时，=1x时，函数取得最大值为：max()22f xa 当0a 时，1x 或1 时，函数取得最大值为：2maxf x【点睛】本题考查二次函数对称性、单调性以及最值，考查综合分析求解能力，属中档题.17已知函数 2f xxb，2g xxbxc（b，Rc），对任意xR恒有 f x

16、g x成立(1)记 g xh xf x，若函数 h x为奇函数，分别求出 b，c满足的条件；(2)证明：当0 x 时，2g xxc成立；(3)若对满足条件的任意实数 b，c，不等式 22g cg bM cb恒成立，求实数 M的最小值 第 9 页 共 12 页【答案】(1)0b，1c (2)证明见解析(3)32 【分析】（1）计算2440bc，根据奇函数的定义域得到答案.（2）计算 221xcg xcb xc c，确定20cb，根据单调性得到答案.（3）考虑22cb和22cb两种情况，得到111Mcb，根据1cb或1cb 得到答案.【详解】（1）f xg x，即22 xbxbxc恒成立，故220

17、 xbxcb，2224440bcbbc，22g xxbxch xf xxb，函数定义域为,22bb，函数为奇函数，故0b，此时 22xch xx，22xchxh xx ，满足条件.440c ，故1c.（2）2440bc，故21 14bc ，且2212144bbcb ，当2b 时取等号，故20cb，222222110 xcg xxcxcxbxccb xc cc c，即当0 x 时，2g xxc成立.（3）当22cb时，2c，2b ，2220g cg bcbcb或8，不等式恒成立；当22cb时，故 222222221111g cg bcbcbcbbMccbcbcbcbb ，1cb或1cb，故131

18、21cb，故32M.综上所述：M的最小值为32 三、单选题 18已知函数 111xf xxx，则 f x为（）第 10 页 共 12 页 A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数【答案】D【分析】求出函数定义域后可判断其奇偶性.【详解】因 111xf xxx，则101xx，得 f x定义域为：1,1.因 f x定义域不关于原点对称，则 f x既不是奇函数又不是偶函数.故选：D 19 设函数 f x是定义在R上的奇函数，且在,0上是严格减函数，20f，则 0 x f x的解集为（）A,22,B2 2,C 2,00,2 D ,22,0 【答案】B【分析】根据及函数性质

19、可确定 f x在0,上是严格减函数，且 200ff；利用单调性可判断出 0f x 和 0f x 的解集，分别讨论0 x、0 x 和0 x 的情况，综合三种情况即可得到结果.【详解】f x为定义在R上的奇函数，在,0上是严格减函数，20f，fx在0,上是严格减函数，220ff，00f；当,20,2x 时，0f x；当 2,02,x 时，0f x；由 0 x f x知：当0 x 时，0f x，0,2x；当0 x 时，0f x，2,0 x ；当0 x 时，不等式恒成立；综上所述：不等式 0 x f x的解集为2 2,.故选：B.20函数 f x是定义在R上的奇函数，对任意两个正数1x、212xxx都

20、有 2112x f xx f x，记 122af，1bf，133cf，则a、b、c之间的大小关系为（）Aabc Bbac Ccba Dacb【答案】B 第 11 页 共 12 页【分析】构造函数 f xg xx，推导出函数 yg x为偶函数，且在0,上单调递减，可得出 2ag，1bg，3cg，进而可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为函数 yf x是R上的奇函数，当0 x 时，令 f xg xx，则 fxf xf xgxg xxxx，所以，函数 yg x为偶函数，对任意两个正数1x、212xxx都有 2112x f xx f x，则 1212f xf xxx，即 12g xg x，所以，函数

21、 yg x在0,上单调递减，1222afg，11bfg，13333cfgg，且3210，123ggg，因此，bac.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，构造函数 f xg xx是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21给定实数 x，定义 x为不大于 x 的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A 0 xx B 1xx C令 f xxx，对任意实数x，1f xf x恒成立 D令 f xxx，对任意实数 x，fxf x恒成立【答案】D【分析】利用 x为不大于x的最大整数，结合函数性质求解【详解】解：在 A 中，x为不大于x的最大整数，0 xx，故 A 正确；在 B 中，x为不大于x的最大整数，1xx，故 B 正确；在 C 中，x为不大于x的最大整数，()f xxx，对任意实数x，11111f xxxxxxxf x 恒成立，故 C 正确；在 D 中，x为不大于x的最大整数，f xxx，(3.2)3.2 3.23.240.8f ，(3.2)3.23.23.230.2f，对任意实数x，fxf x不成立，故 D 错误 第 12 页 共 12 页 故选：D