2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题 一、单选题 1在数列 na中，732,1aa，若1na为等差数列，则5a（）A43 B32 C23 D34【答案】A【分析】利用等差中项求解即可【详解】解：由1na为等差数列得53721113122aaa，解得543a.故选：A 2已知空间向量2,3,4a，4,bm n，,Rm n，若/a b，则mn（）A2 B2 C14 D14【答案】C【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量2,3,4a，4,bm n，,Rm n，如果/a b，则ab=，所以2434mn ，解得1268mn ，所

2、以6(8)14mn，故选：C.3两个正数3+5与35的等比中项为（）A2 B2 C2 D12【答案】C【解析】根据等比中项的定义，即求出结果 第 2 页 共 12 页【详解】设它们等比中项为G，则2(35)(35)4G，所以2G 故选：C【点睛】本题主要考查等比中项公式的应用，属于基础题 4在双曲线中，虚轴长为 6，且双曲线与椭圆221616xy有公共焦点，则双曲线的方程是（）A22196xy B22169xy C22196yx D22169yx【答案】B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为 6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆221616xy的标准方程为

3、22116xy；易得椭圆焦点坐标为15,0，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且15c，由双曲线虚轴长为 6 可知3b，所以2226acb；所以，双曲线的标准方程为22169xy.故选：B.5已知抛物线220yx的焦点F与双曲线222210,0 xyabab的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为（）A2214116xy B2214125xy C221916xy D221169xy【答案】C【分析】由题易得(5,0)F，知5c，双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为byxa，又由点F到双曲线的渐近线的距离为 4，得4b，即可解决.【详解】由题知，抛物

4、线220yx开口向右，10p，所以焦点为(5,0)F，因为焦点F与双曲线222210,0 xyabab的一个焦点重合，所以5c，且双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为byxa，即0bxay，第 3 页 共 12 页 因为点F到双曲线的渐近线的距离为 4，即224bcbba，所以4,3ba，所以双曲线的方程为221916xy，故选：C 6在等差数列 na中，若681072aaa，则10122aa的值为（）A6 B16 C24 D60【答案】C【分析】根据等差数列下标和的性质即可求8a的值,根据通项公式计算即可得出结果.【详解】由等差数列的性质：68108837224aaaaa,而 101211182

5、2911724aaadadada.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查计算能力，属于简单题.7在数列 na中，113a，111*nnanNa，则前 2022 项和的值为（）A112 B6836 C3373 D3373【答案】C【分析】根据题意得到该数列周期，根据2022674 3进行转化即可求和.【详解】因为111*nnanNa，所以113a，22a ，332a，413a，52a ，所以该数列的周期是 3，又因为12316aaa，2022674 3，所以2022133767463S .故选：C 8如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABC是等边三角形，1AAAB，D，E，F分别是

6、棱1AA，1BB，BC的中点，则异面直线DF与1C E所成角的余弦值是（）第 4 页 共 12 页 A510 B55 C1510 D155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线DF与1C E所成角的余弦值.【详解】设1,O O分别是11,AC AC的中点，连接111,OO OB O B，则11/OOAA，由于ABC是等边三角形，所以OBAC，根据直三棱柱的性质可知，平面11ACC A 平面ABC，且交线为AC，OB平面ABC，所以OB 平面11ACC A，由于1OO 平面11ACC A，所以1OBOO.根据根据直三棱柱的性质可知，1AA 平面ABC，所以1OO 平面ABC

7、，,AC OB 平面ABC，所以11,OOAC OOOB，由此以O为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，设12ABACBCAA，则13 10,1,1,0,0,1,2,3,0,122DFCE，所以13 3,1,3,1,122DFC E，设异面直线DF与1C E所成角为，则1115cos1025DF C EDFC E.故选：A 第 5 页 共 12 页 9唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221

8、xy，若将军从2,0A出发，河岸线所在直线方程40 xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A10 B2 51 C2 5 D101【答案】B【分析】利用点关于直线对称点的求解方法可求得点A关于直线4xy的对称点4,2A，将问题转化为点A和圆上的点连线的最小值的求解，利用点A和圆心之间的距离减圆的半径可得结果.【详解】设点A关于直线4xy的对称点为,A a b，则AAbka2，AA的中点为2,22ab，122422baab，解得：4a，2b，要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，即为点A和圆上的点连线的最小值，从点A到军营最短总路程为点A和

9、圆心之间的距离减圆的半径，“将军饮马”的最短总路程为41612 51.故选：B.第 6 页 共 12 页 10已知点A是抛物线24yx与双曲线222103xybb的一个交点，若抛物线的焦点为F，且4AF，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A2 6 B4 C2 3 D2【答案】A【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程【详解】解：抛物线24yx的焦点为F，且4AF，可得1,0F，则3,2 3A，点A是抛物线24yx与双曲线222103xybb一个交点，3a，可得291213b，解得：6b，则渐近线方程为：2yx，不妨令3,2 3A，则点A到这两条渐近线的距离之

10、和为：3 22 33 22 32 633d.故选：A【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 二、填空题 11若抛物线2xay经过点2,1，则其准线方程是_.【答案】1y 【分析】把已知点坐标代入求得a后可得准线方程【详解】由抛物线2xay经过点2,1，则4a，即4a，又抛物线的焦点在y轴负半轴，故准线方程为1y 故答案为：1y 12已知倾斜角为的直线 l经过抛物线24yx的焦点F交抛物线于 A、B 两点，并且4AFBF，则sin_ 第 7 页 共 12 页【答案】45#0.8【分析】根据抛物线的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可.【详解】若角为锐角，如图，设 A、B 两

11、点在准线上的射影分别为 C、D 过 B 作BMAC于.M则有ACAF，BDBF 设44AFBFm，则3.5AMm ABm由勾股定理可知：22534BMmmm 则4sinsin5BMMABAB 若角为钝角，由对称性可知4sin5，故答案为：45 13在1和100之间插入n个正数，使这2n个数成等比数列，则插入的这n个正数的积为_.【答案】10n【分析】结合等比数列的性质直接求解即可.【详解】由题意得，等比数列由2n项，且121,100naa.根据等比数列性质有22212212.10nnnna aaa a，所以插入的这n个正数的积为10n.故答案为:10n 14已知直线1yx与圆C：22230 x

12、yy交于A、B两点，则ABC的面积为_.【答案】2【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.【详解】由圆 C方程：22230 xyy可得：2214xy；即圆心 C 的坐标为（0，-1），半径 r=2；第 8 页 共 12 页 联立方程22114yxxy得交点0,1,2,1AB，如下图：可知BCx轴，ABC是以C为直角的直角三角形，211222ABCSBCACr，故答案为：2.15在正方体1111ABCDABC D中，点O为线段BD的中点设点P在线段1(BB P不与B重合）上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的最大值是_【答案】23【分

13、析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算直线与平面成角正弦值sin，根据sin的表达式判断最大值即可【详解】解：如图建系，不妨设正方体的棱长2AB，1(0A,0,2)，(2B,0,0)，(0D,2,0)，1(2A B,0,2)，(2BD ,2,0)，设平面1ABD的法向量为,mx y z，所以102202200AB mxzzxxyyxBD m，令1x，所以1,1,1m，又(1O,1,0)，设(2P,0,)t，则(0t,2，所以(1OP,1,)t，第 9 页 共 12 页 故2212sin323231m OPtm OPtt，当2t 时，等号成立，所以sin的最大值是23.故答案为：23

14、 16已知正项等比数列 na，其前n项和为nT，满足11a，27T 若不等式2log112nnTnn对一切正整数n恒成立，则实数的取值范围为_【答案】1【分析】根据题意，求出等比数列 na的通项公式，进而得到该等比数列的前n项和nT，把不等式2log112nnTnn整理成221nnn，根据10n ，分离参数，可得221nnn对一切正整数n成立，然后研究22()1nng nn的最小值，即可得到答案.【详解】因为11a，37T，设等比数列公比为q，可得2q，所以122112nnnT 不等式2log112nnTnn化为221nnn，所以221nnn对一切正整数n成立，2213142441321311

15、111nnnnnnnnnn，当且仅当411nn，即1n 时等号成立，所以1 故答案为：1 三、解答题 17已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，上顶点为B，离心率为53，且过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线:l ykxm与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若458MP BFm，求直线l的方程.【答案】(1)22194xy 第 10 页 共 12 页(2)510944yx 【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出,M P B F的坐标，再根据直线与椭圆相切求出,m k之

16、间的关系式，代入458MP BFm可求得,k m,进而求出直线方程.【详解】（1）,0F c，则过F的垂线为xc，联立椭圆方程得：22222222221,cyb cbybyabaa 弦长=282,3ba又53cea，联立222abc解之得：3,2,5abc 所以，椭圆的标准方程为22194xy（2）由（1）知250,2,5,0,0,(0)25BFNPBFkkNmm，52:,025NPlyxmPm 将直线与椭圆联立222214936094xyxkxmykxm 整理得：22294189360kxkmxm 相切22222184 949360,94.kmkmmk 代入22294189360kxkmxm

17、解得：9Mkxm 299,kkMmmm 22995,2,5kkBFMPmmmm 222999 518525458kkkkmMP BFmmmmmm 解之：51095109,:4444kml yx 第 11 页 共 12 页 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 18已知数列 na中，11a，22a，*24()nnaanN，数列 na的前 n 项和为 Sn.(1)求 na的通项公式；(2)已知215nnbSn，124

18、nnnnnbcb b（i）求数列 nb前 n项和 Tn；（ii）证明：当2n时，111346822nknnknnc.【答案】(1)21,22,nnnann为奇数为偶数(2)（i）Tn4(1)nn；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知得出数列 na的奇数项构成的数列是首项为 1，公差为 4 的等差数列，偶数项构成的数列是首项为 2，公差为 4 的等差数列.分别求出通项公式，合并可得na的通项公式；（2）（i）2nS由奇数项和偶数项分别求和可得，从而得出nb，由裂项相消法求得和nT；（ii）求出nc，由不等式的性质放缩为111222nnnnnc（1n 时等号成立），2n时，对这n个不等式求和，

19、对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立 【详解】（1）由题意可知，数列 na的奇数项构成的数列是首项为 1，公差为 4 的等差数列，偶数项构成的数列是首项为 2，公差为 4 的等差数列.当 n为奇数时，2114(1)4321nkaakkn；当 n为偶数时，224(1)4222nkaakkn 第 12 页 共 12 页 21,22,nnnann为奇数为偶数（2）（i）21321242()()nnnSaaaaaa12122()2(2)nnaanaan24nn，2111 11()444(1)41nbnnn nnn，12nnTbbb111111(1)42231nn

20、11(1)41n4(1)nn；（ii）124nnnnnbcb b，112(3)44nnnnnnbn ncb b，则2211(1)(2)44nnnnnc；111222nnnnnc（1n 时等号成立）当2n时，111111222nnnkkkkkkkkc 设1122nnkkkS，1112nnkkkT 11123422122nnknkknS 213422222nnnS 12111(1)121112422334122222221()2nnnnnnnnnS 1482nnnS；11111111112 114281222212nnnnnnkkknkkkkknTS 1141382 12)22(6nnnnn 综上，当2n时，111346822nknnknnc.