2022-2023学年浙江省杭州学军中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、 1 杭州学军中学 2022 学年第一学期期末考试 高二数学试卷 命题人：一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线22xy的准线方程为（）A.12x B.=1x C.12y D.1y 【答案】C【解析】【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；【详解】因为抛物线22xy，所以其准线方程为12y .故选：C.2.若直线yxb与圆221xy有公共点，则实数b的取值范围是（）A.1,1 B.0,1 C.0,2 D.2,2【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.【详解】依题意，圆心(0

2、,0)O到直线yxb的距离12bd，解之得22b，所以实数 b 的取值范围是2,2.故选：D 3.已知空间两不同直线 m，n，两不同平面，下列命题正确的是（）A.若m且n，则mn B.若m且mn，则n 2 C.若m且m，则 D.若m不垂直于，且n ，则m不垂直于n【答案】C【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解.【详解】对于 A,若m且n，则mn或者,m n异面，或者,m n相交，故 A错误，对于 B,若m且mn，则n，故 B错误，对于 C，若m且m，则，故 C正确，对于D，若m不垂直于，且n ，则m有可能与n垂直,例如在正方体1111ABCDABC D中，1AC不垂直

3、平面ABCD,BD平面ABCD,但是1ACBD,理由如下：1AA 平面ABCD，BD平面ABCD,所以1,AABD又BDCA，11,CAACC CA AC平面1A AC,所以BD平面1A AC,1AC 平面1A AC,故1ACBD，故 D错误，故选：C 4.直线l的方程为：(2)(31)1ayax，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围为（）A.2a B.23a C.2a D.4a 【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.【详解】若直线l斜率不存在，即12,5alx：不经过第二象限，若直线l斜率存在，即3112,22aalyxaa：，所以31

4、022102aaaa，综上实数a的取值范围为2a，选 C.【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题 5.若 a，b 是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A.过不在 a，b上任一点 P，必可作直线与 a，b 都平行 3 B.过不在 a，b上任一点 P，必可作直线与 a，b 都相交 C.过不在 a，b上任一点 P，必可作直线与 a，b 都垂直 D.过不在 a，b上任一点 P，必可作平面与 a，b 都平行.【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的定义，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.【详解】A；设过 P的直线为l，如果/,/la lb，显然可得/ab，这

5、与 a，b 是异面直线相矛盾，因此本选项不正确；B：在 a任取一点 M，在 b上任取一点 N，直线 MN 上的点才可作一条直线与 a、b 都相交 其它的点不行，因此本选项不正确；C：过P点作/,/ca db，显然,c d确定一个平面，显然存在一条直线n，n，过P 点一定存在直线与n平行，因此本选项正确；D：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；故选：C 6.已知圆221xy与抛物线220ypx p交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）A52 B.25 C.5 22 D.2

6、55【答案】D【解析】【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦AB为抛物线220ypx p的通径，进而有2212pp，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦AB为抛物线220ypx p的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有：2212pp，解得2 55p 故选：D 7.已知菱形 ABCD边长为 1，60BAD，对角线AC与BD交于点 O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若60,120，则折后点 O 到直线AC距离 4 的最值为（）A.最小值为34，最大值为32 B.最小值为34，最大值为34 C.最小值为14，最大值为

7、34 D.最小值为34，最大值为32【答案】B【解析】【分析】首先由二面角的定义可知AOC，60,120，再在AOC中解决点到直线的距离的最值.【详解】,AOBD COBD，AOC，60,120 菱形 ABCD边长为 1，60BAD，32AOCO，点O到AC的距离31cos22dAOC 当60AOC时，d取得最大值333224,当120AOC，d取得最小值313224,故选：B 8.已知椭圆2222:1(0)xyabab内有一定点(1,1)P，过点 P的两条直线1l，2l分别与椭圆交于 A、C 和 B、D两点，且满足APPC，BPPD，若变化时，直线 CD的斜率总为14，则椭圆的离心率为 A.

8、32 B.12 C.22 D.55 5【答案】A【解析】【分析】设出,A B C D四点的坐标，将,A B两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将,C D两点坐标代入椭圆方程并化简，根据14ABCDkk 化简上述两个式子，由此求得22ba的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设11324423,A x yB xyC x yD xy因为 1,1P，且APPC，所以131311xxyy ，同理242411xxyy .将,A B两点坐标代入椭圆方程并化简得22121212120bxxxxayyyy，即2212120ABbxxayyk，同理2234340CDbxxayyk，由 于APPC，BPPD，所 以14A

9、BCDkk，即221212223434104104bxxayybxxayy ，即221212223434104104bxxayybxxayy ，两式相加得221324132404abxxxxyyyy，即22222204ab，所以2214ba，所以233142bea，故选 A.6【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、多选题（每小题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，选错得 0 分，共24 分）9.如图，长方体1111ABCDABC D被平面

10、 BCFE截成两个几何体，其中 E，F 分别在11AB和11DC上，且11EFBC，则以下结论正确的是（）A.EFBC B.AD平面BCFE C.几何体11AAEBDDFC为棱台 D.几何体11BB ECC F为棱柱【答案】ABD【解析】【分析】A由长方体的性质及线线平行的推论判断；B 根据线面平行的判定判断；C、D 根据棱台、棱柱的定义判断正误.【详解】由11/BCBC及11/EFBC，得/EFBC，则 A正确；由/ADBC，BC平面BCFE，AD 平面BCFE，得/AD平面BCFE，则 B 正确；以两个平行的平面1AAEB和1DD FC为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形 7 的

11、公共边都平行，符合棱柱的定义，则 C 错误（由于11,AA DD CF BE延长后不交于一点，则几何体11AAEBDDFC不为棱台）；以两个平行的平面1BB E和1CC F为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则 D正确，故选：ABD 10.已知曲线C：221mxny，下列结论正确的是（）A.若0mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上 B.若0mn，则C是双曲线，其焦点在x轴上 C.若0m，0n，则C是两条直线 D.若mn，则C是圆【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.【详解】A：当0mn时，222211

12、11xymxnymn，由11000mnmnmnmnnm，所以C是椭圆，其焦点在y轴上，因此本选项不正确；B：当0mn时，22221111xymxnymn，由1100mnmnmnmnnm，所以C是双曲线，其焦点在x轴上，因此本选项正确；C：当0m，0n 时，22211nmxnynyyn ，所以C是两条直线，因此本选项正确；D：若0mn，显然221mxny不成立，所以C没有轨迹，因此本选项不正确；故选：BC 11.若OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）A.的取值范围是0,B.,OA AB BC能构成空间的一个基底 8 C.“3OPOAOBOC”是“P，A，B，C四点共面”

13、必要不充分条件 D.0OAOBOCBC【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的夹角的定义判断 A；利用空间向量的基底的性质判断 B；利用共面向量定理判断 C；利用向量数量积公式判断 D.【详解】解：因为OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，对于 A，由向量所成角的定义得0,，故正确；对于 B，因为,OA AB BC不共面，所以,OA AB BC能构成空间的一个基底，故正确；对于 C，因为3OPOAOBOC，3-1-1=1，所以 P，A，B，C四点共面；当 P，A，B，C 四点共面时，不一定有3OPOAOBOC成立，所以“3OPOAOBOC”是“P，A，B，C四点共面”的充分不

14、必要条件，故错误；对于 D，()OAOBOCBCOAOBOCOCOB=22OA OCOA OBOB OCOBOCOB OC=221 1 cos1 1 cos1 10OA OCOA OBOBOC ，故正确.故选：ABD.12.如图，过双曲线222:1(0)yC xbb右支上一点 P 作双曲线的切线 l分别交两渐近线于 A、B 两点，交 x轴于点 D，12,F F分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.2min|21ABb 9 B.OAPOBPSS C.AOBSb D.若存在点 P，使121cos4FPF，且122FDDF，则双曲线 C的离心率2e【答案】BCD【解析】【

15、分析】联立切线方程与渐近线方程，求出,A B的坐标，即可得2202(1)1ABbx，由0 x的取值范围即可得min|2ABb，从而可判断 A，由中点坐标公式可判断P是,A B的中点，由此可判断 BC，由余弦定理结合122FDDF可判断 D.【详解】先求双曲线2221yxb上一点00(,)P xy的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由2221yxb，得222yb xb，所以2222b xyb xb，则在00(,)P xy的切线斜率220022200b xb xyyb xb，所以在点00(,)P xy处的切线方程为：20000()b xyyxxy 又有2200

16、21yxb，化简即可得切线方程为：0021y yx xb.不失一般性，设00(,)P xy是双曲线在第一象限的一点，11(,)A x y是切线与渐近线在第一象限的交点，22(,)B xy是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是ybx=，联立：0021y yx xbybx，解得：20000(,)bbAbxybxy，联立：0021y yx xbybx，解得：20000(,)bbBbxybxy，则222200000000()()bbbbABbxybxybxybxy2202(1)1bx，10 又因为01x，所以AB 22(1)12bb，即min|2ABb，A 错误；由22000000000

17、0,22bbbbbxybxybxybxyxy，可知00(,)P xy是,A B的中点，所以OAPOBPSS，B正确；易知点D坐标为01(,0)x，则221200000111()22AOBADOBDObbSSSODyybxbxybxy，当点00(,)P xy在顶点(1,0)时，仍然满足AOBSb，C 正确；因为1201(,0),(,0),(,0)FcF cDx，所以101(,0)FDcx，201(,0)DFcx，因为122FDDF，则00112()ccxx，解得03cx，即03xc，代入220021yxb，得222029bybc，所以222222212223999()6bbPFcbcbcccc

18、2222299(1)6(1)16ccccc，222222222223999()6bbPFcbcbcccc 2222299(1)6(1)4ccccc，所以2222212121212164451cos22 4 244PFPFFFccFPFPFPF，所以24c，2c，所以离心率2cea，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点00(,)P xy的切线方程，并联立渐近线方程，求得,A B的坐标，判断出P是AB中点.三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.以 A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是_ 11【答案】340 x

19、y.【解析】【详解】试题分析：解：因为 A（1，3），B（-5，1），所以 AB 的中点坐标（-2，2），直线AB 的斜率为：3-11=1 53，所以 AB 的中垂线的斜率为：-3，所以以 A（1，3），B（-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是 y-2=-3（x+2），即 3x+y+4=0故答案为 3x+y+4=0 考点：直线方程 点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力 14.若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为_.【答案】2【解析】【分析】根据圆面积公式算出底面半径 r1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线 l 的方程，解之即可得到该圆锥

20、的母线长【详解】解：圆锥的底面积为，圆锥的底面半径为r，满足2r，解得1r 又圆锥的侧面积为2，设圆锥的母线长为l，可得2rl，12l ，解之得2l 故答案为：2【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题 15.已知P是抛物线2yx上的动点，记点P到直线l：40 xy的距离为d，则d的最小值为_【答案】15 28#1528【解析】【分析】作直线l：40 xy的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可【详解】设直线直线l：40 xy的平行线为yxb且与抛物线2yx相切，联立2yxbyx，整理得20yyb，则140b ，得

21、14b，则d的最小值为221415 24811d 12 故答案为：15 28 16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，2 3AB，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_.【答案】2,4 【解析】【分析】设BDC的中心为 O1，球 O的半径为 R，连接1OO,O1D，OD，O1E，OE，可得R23+（3R）2，解得 R2，过点 E作圆 O的截面，当截面与 OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解【详解】如图：设BDC的中心为 O1，球 O 的

22、半径为 R，连接1OO,O1D，OD，O1E，OE，则0123sin6033O D，AO12213.ADDO RtOO1D中，R23+（3R）2，解得 R2，BD3BE，DE2 在DEO1中，O1E34232 cos300.22112OEO EOO 过点 E作圆 O的截面，当截面与 OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 22222.，最小面积为 2 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 4 故答案为2，4【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要 13 确定何时取最值，属于中档题 四、解答题（本大题共 5 小题，共 58 分.解答应写出文字说

23、明、证明过程或演算步骤）17.等差数列 na的前n项和为nS，已知52a ，324S ，求（1）数列 na通项公式；（2）na的前n项和nS的最小值.【答案】（1）212nan（2）-30【解析】【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，（2）根据（1）表达出nS，利用二次函数性质求出nS的最小值.【小问 1 详解】由已知得11423324adad ，解得1102ad，所以11212naandn.【小问 2 详解】22111112111224nn nSnadnnn.当5n 或 6 时，nS有最小值-30.18.已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AA B B为正方形.2ABBC，E，

24、F分别为AC 和1CC的中点，11BFA B.（1）求四棱锥11EBBC F的体积；14（2）是否存在点 D在直线11AB上，使得异面直线 BF，DE 的距离为 1?若存在，求出此时线段 DE 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）存在，5DE 或3 52【解析】【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与BF，ED均垂直的向量，进而利用异面直线 BF，DE的距离为 1建立等式求出 a.【小问 1 详解】侧面11AA B B为正方形，111ABBB，又11BFA B，且1BBBFB，1,BB BF 面11BBC C，1

25、1AB 平面11BBC C，又11/ABAB，AB平面11BB C C，取 BC中点 G，则/EGAB，EG 平面11BB C C.1 1111111111 22 1 13232E BB C FVC FBBBC EG .【小问 2 详解】以B为原点，分别以 BA，BC，1BB所在直线建立空间直角坐标系，如图，15 则0,0,0B，1,1,0E，0,2,1F，设,0,2D a，则0,2,1BF，1,1,2EDa，1,1,0BE.设与BF，ED均垂直的向量为,nx y z，则00BF nED n，即20(1)20yzaxyz，取5,1,21naa，异面直线 BF，DE 的距离25112551BE

26、nadna，解得1a 或72.2155EDa或3 52.故存在点 D在直线11AB上，使得异面直线 BF，DE 的距离为 1，且此时5ED 或3 52.19.1F，2F分别为椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C上的一点，满足12OEOFOE，且12EF F的周长为232.（1）求椭圆 C 的方程；（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，BMN是以 B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求BMN的面积.【答案】（1）2214xy（2）6425或3215【解析】【分析】（1）利用题目条件建立ac、的方程组，进而求出椭圆 C 的方程；（2

27、）联立直线与椭圆表示出MN、的横坐标,进而表示出BMBN、，利用等角三角形求出 k的值，从而求出BMN的面积.【小问 1 详解】设0,Bb，由112OEOFOB，得1,2Ecb.点 E在椭圆 C 上，22114ca，即32ca.16 12EF F的周长为232，22232ac，即32ac.联立解得2a，3c，1b.椭圆C的方程为2214xy.【小问 2 详解】不妨设 M，N分别在 y轴左、右侧，设BM：10ykxk，则BN：11yxk.由221,44,ykxxy消去y得221480kxkx.点M的横坐标2814Mkxk.以1k代 k 得点N的横坐标284Nkxk.2228111 4MkBMkx

28、kk，22218114NBNxkkk.BMBN，22228811144kkkkk.即324410kkk.解得11k，2352k，3352k.BMN的面积222232 1124kSBNk.当1k 时，6425S；当352k时，3215S.20.如图，在四棱锥PABCD中，1,90,1,2ADBCADCPABBCCDADE为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.17 （1）在直线PA上找一点M，使得直线/MC平面PBE，并求AMAP的值；（2）若直线CD到平面PBE的距离为2 55，求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.【答案】（1）2（2）2 65【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标

29、系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得AMAP的值；（2）先由直线CD到平面PBE的距离为2 55求得PA的长度，再利用平面PBE与平面PBC法向量的夹角公式去求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.【小问 1 详解】在四棱锥PABCD中，90PAB，异面直线PA与CD所成的角为90.即,PAAB PACD,又ABCD、为两相交直线，则PA 平面ABCD 取 PD中点 F，连接 EF，又AEDE，则/PA EF，则EF平面ABCD 又四边形ABCD中，1,90,12ADBCADCBCCDAD，AEDE 则BEAD，则三直线BEADEF、两两互相垂直 以 E 为原点，分别以 ED、EB、E

30、F所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图：18 设(0)PAh h，则(0,0,0)E，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)D，(1,0,)Ph，(1,1,)PBh,(1,0,)PEh 设平面 PBE 的一个法向量为111(,)nx y z，则00PE nPB n，即1111100 xhzxyhz，令11z，则110 xhy，则(,0,1)nh 设(1,0,)Mt，则(2,1,)MCt 由直线/MC平面PBE，可得MCn，即0MC n 则200ht ，解之得2th，则2AMh，又PAh，则22AMhAPh【小问 2 详解】由直线CD到平面PBE的距离为

31、2 55，得点 C到平面PBE的距离为2 55，又(1,0,0)CB ，(,0,1)nh为平面 PBE 的一个法向量 则255CB nn，即22551hh，解之得2h，则(1,0,2)P，(2,0,1)n，(1,1,2)PB 设平面PBC的一个法向量为222(,)mx y z，又(1,0,0)CB 则00CB mPB m，即2222020 xxyz，令21z，则2202xy，则(0,2,1)m 设平面PBE与平面PBC夹角为 则2222222 00 2 1 11coscos5201021m nmnmn ，又02，则212 6sin1 cos1255 21.已知点2,0A，104,33B在双曲线

32、 E：222210,0 xyabab上（1）求双曲线 E的方程；（2）直线 l与双曲线 E 交于 M，N两个不同的点（异于 A，B），过 M 作 x 轴的垂线分别交直线 AB，直线 AN于点 P，Q，当MP PQ时，证明：直线 l过定点 19【答案】（1）2214xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,a b的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,m k的关系，进而可得直线过定点.【小问 1 详解】由题知，222224111014133aab，得21b，所以双曲线 E方程为2214x

33、y【小问 2 详解】由题意知，当 lx 轴时，Q与N重合，由MP PQ可知：P是MQ的中点，显然不符合题意，故 l的斜率存在，设 l的方程为ykxm，联立2214ykxmxy，消去 y得222148440kxkmxm，则 22222264161 1 4161 40k mmkmk，即221 4mk，且2140k，设11,M x y，22,N xy，122814kmxxk，21 22441 4mx xk，AB 方程为124yx，令1xx，得112,4xP x，AN 方程为2222yyxx，令1xx得11222,2xQxyx，由MP PQ，得111222222xxyyx，即12121222yyxx，即 12211212122242kxmxkxmxx xxx，20 即121214422480k x xkmxxm，将122814kmxxk，21 22441 4mx xk代入得 即22416161680mkmkkm，所以2220mkmk，得22mk或2mk，当22mk，此时由0，得58k，符合题意；当2mk，此时直线 l经过点 A，与题意不符，舍去所以 l的方程为22ykxk，即22yk x，所以 l过定点2,2