2023届陕西省西安市西工大附高高三上学期期末考试理科数学试题(含解析).pdf

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1、西工大附高 2022-2023 学年高三上学期期末考试 理科数学 一、选择题；本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数52izi，则共轭复数z在复平面对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 设函数 f x满足 fxf x，且 1212,0,x xxx有 12120 xxf xf x，则（）A 231fff B 321fff C 123fff D 132fff 3设集合20,21Ax xxBxx，则 AB A1(0,)2 B1(,1)2 C(0,)D(1,)4“3x”是“不等式220 xx”的 A充分

2、不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D非充分必要条件 5若递增等比数列an的前 n 项和为 Sn，a2=2，S3=7，则公比 q 等于 A2 B12 C2 或12 D无法确定 6设函数()sin 2cos 233f xxx的最小正周期为T，则 f x在0,T上的零点之和为（）A1312 B76 C1112 D56 7一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 A2 B3 C4 D5 8作用在同一物体上的两个力1260N,60NFF，当它们的夹角为120时，则这两个力的合力大小为（）N.A30 B60 C90 D120 9设 f x2x3，g

3、 xf x2，则 g x等于 A 2x 1 B 2x 1 C 2x3 D 2x7 10 从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（）A2256C C B2256C A C22225262C A C A D2256A A 11已知1F，2F是椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点，点M在椭圆E上，1MF与x轴垂直，211sin2MF F，则椭圆E的离心率为 A33 B53 C2 33 D32 12已知数列 na满足24a，1111nnnn nanana（1n 且nN），数列 na的前 n项和为 Sn，则（）A21202080Sa B2120204

4、0Sa C21202080Sa D21202040Sa 二、填空题：本题 5 小题，共 20 分。13欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为cossinixexix，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，2ixe 的最大值为_ 14 在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足cos2cosbAacB，则角B _ 15若点(cos,sin)A关于x轴对称点为(cos(),sin()33B，则的一个取值为_.16曲线 ln1f xxx上某点处的切线与直线:10l xy 垂直，则该切

5、线方程为_ 三、解答题：本题 6 小题，共 70 分。17某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示：（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数；（2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系；（3）甲组高于 70 分的同学中，任意抽取 2 名同学，求恰好有一名同学的得分在80,90)的概率 18已知抛物线C：2206xpyp的焦点为F，点4,Am在抛物线C上，且=5AF.(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为1,2P，求直线的方程 19已知等差数列na中，2516,10aa.（1）

6、求na的通项公式；（2）求na的前n项和nS的最大值.20如图，在四棱锥PABCD，PA 底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，2PAAB.（）求四棱锥PABCD体积；（）证明：/AE平面PFC；（）证明：平面PFC 平面PCD.21 已知数列 na的首项为 1，nS为数列的前n项和，11nnSxS，其中0,xnN2n，（1）求 na的通项公式；（2）证明：函数1()2nnF xS在1,12内有且仅有一个零点（记为nx）且11122nnnxx；22 已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.(1)求抛物线C和

7、圆M的方程；(2)设000,2P xyx 为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点1122,A x yB xy和点3344,Q xyR xy.且123416y y y y，证明：点P在一条定曲线上.23已知函数()|1|1|f xxx，M 为不等式()2f x 的解集.（1）求 M；（2）证明：当,a bM，|1|abab.参考答案 1C 化简，求出z，找到对应的坐标即可.5 2512222iiiziiii 12zi 对应的点的坐标为1,2，在第三象限 故选：C 2C 根据题意，得到函数 f x在0,上单调递增，且为定义在R上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求

8、解.由题意知 1212,0,x xxx，都有 12120 xxf xf x，可得函数 f x在0,上单调递增，又由函数 f x满足 fxf x，可得 f x是定义在R上的偶函数，所以 22ff，所以 12(3)fff，即 12(3)fff，故选：C.3D 利用一元二次不等式的解法化简集合A，由交集的定义可得结果.因为集合20Ax xx|1x x 或0 x，1,2Bx x所以，11,ABx x，故选 D.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.4A 试题分析：解不等式得,则,而

9、时,不成立.故“”是“不等式”的充分不必要条件.所以 A 选项是正确的.考点：解不等式；充要条件.5A 23123227aSaaaaa qq.由22a.得117qq.解得q 2 或12.因为等比数列an为递增数列 所以2q.故选 A.6A 由题意可知7()2sin 212f xx，可得T，再令72()12xkkZ，可得 f x在0,T上的零点，由此即可求出结果.因为7()2sin 22sin 23412f xxx，所以T.令72()12xkkZ，得7224kxkZ，所以 f x在0,T上的零点为724，1924，则所求零点之和为71913242412.故选：A.本题主要考查了函数sinyAx

10、的性质的应用，属于基础题.7C 设等差数列 na的公差为d，67235,236ad ad，又数列前六项均为正数，第七项起为负数，2350,2360dd，232356d，又数列是公差为整数的等差数列，4 d，故选 C.8B 用同一起点的向量表示12,F F，由向量加法的平行四边形法则计算 如图，1ABF，2ADF，120BAD，作平行四边形ABCD，则12ACFF，因为ADAB，所以四边形ABCD是菱形，又120BAD，ABC是等边三角形，60ACAB 故选：B 9B f(x)2x3，f(x2)2(x2)32x1，即 g(x)2x1，故选 B.点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解

11、析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是 g(x)f(x2),即在 f(x)2x3 的解析式中,将自变量 x 都用 x-2 来替换,代入求出 f(x2)的解析式,即所求的 g(x)的解析式.10B 分两步进行：先选出两名男选手，再从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对.分两步进行：第一步，选出两名男选手，有25C种方法；第二步，从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有26A种.故有2256C A种.故选：B.11A 在直角21MF F中，由21tanMF F得到 a,b,c 的等量关系，结合222abc计算即可得到离心率.

12、由已知211sin2MF F，得216MF F，则213tan3MF F,又在椭圆中21MbFa,12 2FFc,故212112M3tan 23bFaMF FFFc,即2213222223acaceaccae,解得 e=33,故选 A 本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.12A 由递推关系可得111nnnaaann，由此可化简求出.因为11(1)(1)nnnn nanana（1n 且*nN），同除以1n n，得111nnnaaann，所以12231,122nnnaaaaaann，201919182022112321121420191918220aaaaaaSaaaaa

13、aa，所以2021420aS，即21202080Sa.故选：A.133 由已知得254cosixex，再利用余弦函数的值域即可求解.cossinixexix，222cos2sin(cos2)sin54cosixexixxxx 又cos1,1x，54cos1,3x 即当cos1x 时，2ixe 取得最大值为 3，故答案为：3 143#60 由正弦定理与两角和的正弦公式化简 由题意得coscos2 cosbAaBcB，而sinsin()sincoscossinCABABAB，由正弦定理化简得coscoscbAaB，故1cos2B，(0,)B，得3B 故答案为：3 156（答案不唯一）先求出点(co

14、s,sin)A关于x轴对称的点坐标，与题干中所给的坐标对应相等，对其进行化简即可得到所满足的条件，从而得到的取值 点(cos,sin)A关于x轴对称的点坐标为cos,sin，则由题可知，coscos3，即13coscossin22，13cossin022，sin06，所以，6k；同理sinsin3，即3sin06，所以6k，则6k，则的一个取值可以为6.故答案为：6（答案不唯一）1620 xy 由 1fx可求得切点的横坐标，结合函数 f x的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.ln1f xxx，该函数的定义域为0,，ln1fxx，直线的斜率为1，故所求切线的斜率为，由 l

15、n1 1fxx，可得1x，11f，故切点为1,1，所以，所求切线的方程为11yx，即20 xy.故答案为：20 xy.17（1）68；68；（2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）23.（1）利用茎叶图中的数据直接求两个小组的平均数；（2）利用方差公式直接求解；（3）由茎叶图可知，甲组高于 70 分的同学共 4 名，有 2 名在70,80)，记为12,a a，有 2 名在80,90)，记为12,b b，任取两名同学，利用列举法能求出恰好有一名同学的得分在80,90)的概率 解：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为12,x x，则 11(5660616371728081)688x，21(

16、5862646669717381)688x，所以甲乙两个小组成绩的平均数均为 68，（2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为2212,SS，则 2222211(5668)(6068)(6168)(6368)8S 2222(7168)(7268)(8068)(8168)77.5，2222221(5668)(6268)(6468)(6668)8S 2222(6968)(7168)(7368)(8168)45，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）由茎叶图可知，甲组高于 70 分的同学共 4 名，有 2 名在70,80)，记为12,a a，有 2 名在80,90)，记为12,b b，任取两名同学的基

17、本事件有 6 个：121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ba ba bb b，恰好有一名同学的得分在80,90)的基本事件数共 4 个：11122122(,),(,),(,),(,)a ba ba ba b，所以恰好有一名同学的得分在80,90)的概率为4263，此题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等知识，考查运算能力，属于基础题 18(1)24xy(2)230 xy （1）根据焦半径公式得24522pAFp，求得=2p，即可求解方程；（2）由点差法化为1212124xxxxyy，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程（1）因为点4

18、,Am在抛物线C上，所以245222ppAFmp 又因为06p，解得=2p，故抛物线C的标准方程为24xy；（2）设1122,M x yN x y，则 211222=4=4xyxy，所以2212124xxyy，化为1212124xxxxyy 又因为MN的中点为1,2P，所以122xx，则 121212yyxx，故直线的斜率为12，所以直线的方程为1212yx 整理得230 xy 19（1）220nan；（2）90.（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式；（2）利用公式求出前n项和，利用二次函数图象求得最大值 解：（1）等差数列na中，25

19、16,10aa，1116410adad，解得118a，2d ，na的通项公式18(1)2220nann （2）118a，2d ，na的前n项和2(1)119822nnn nSnn 当9n 或10时，前n项和nS的最大值 90.20（）83；（）证明见解析；（）证明见解析.（）利用锥体的体积公式即得；（）取PC中点G，由题可得四边形AEGF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即得；（）由CDAE，AEPD得AE平面PCD，由/AEFG及面面垂直的判定定理即得.（）设四棱锥PABCD体积为PABCDV，正方形ABCD的面积为ABCDS，则211822333P ABCDABCDVSPA（）取PC中

20、点G，连结,EG FG，因为E、F分别为PD、AB的中点，所以111/,/,222EGCD EGCD AFCD AFCD，所以/,EGAF EGAF，所以四边形AEGF为平行四边形，所以/AEFG 又AE 平面PFC，FG 平面PFC，所以/AE平面PFC；（）PA 底面正方形ABCD，CD平面ABCD，CDPA，又CDAD，PAADA，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD平面PAD，AE 平面PAD，所以CDAE又AEPD，,CDPDD CD平面PCD，PD 平面PCD，所以AE平面PCD 由（）知/AEFG，所以FG 平面PCD，而FG 平面PFC，所以平面PFC 平面PCD 21

21、（1）1nnax（2）证明见解析（1）采用作差法即可求解；（2）由21()212nnnF xSxxx，求得nF（1）0，1()02nF再由导数判断出函数()nF x在1(2，1)内单调递增，得到()nF x在1(2，1)内有且仅有一个零点nx，由)0(nnF x，得到11122nnnxx；（1）11nnSxS，-11nnSxS，-得1nnaxa，又当1n 时，2121111,1aaaxaaxa，故数列 na为等比数列，首项为 1，公比为x，1nnax；（2）21()212nnnF xSxxx，可得 11210nFnn ，1211()111112()1()()22012222212nnnnF ，

22、()nF x在1(2，1)内至少存在一个零点，又1()120nnFxxnx，()nF x在1(2，1)内单调递增，()nF x在1(2，1)内有且仅有一个零点nx，nx是()nF x的一个零点，()0nnF x，即11201nnnxx，故11122nnnxx；本题考查函数零点存在定理的应用，等比数列的前n项和，利用导数研究函数的单调性，数学转化与化归等思想方法，属于中档题 22(1)抛物线C的方程为24yx，圆M的方程为2211xy(2)证明见解析 （1）根据抛物线的焦点F到准线的距离可得p的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆M的方程；（2）根据直线与圆相切，切线与抛物

23、线相交联立，结合韦达定理，即可得00,xy所满足的方程.（1）解：由题设得2p，所以抛物线C的方程为24yx.因此，抛物线的焦点为1,0F，即圆M的圆心为1,0M 由圆M与y轴相切，所以圆M半径为，所以圆M的方程为2211xy.（2）证明：由于000,2P xyx，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则00 x.故设过点P且与圆M相切的切线方程为00yyk xx，即000kxyykx.依题意得00211kykxk，整理得220000022110 xxkyxky；设直线,PA PQ的斜率分别为12,k k12,k k，则12,k k是方程的两个实根，故001200212yxkkxx，201200

24、12ykkxx，由00204kxyykxyx得200440kyyykx，因为点1122,A x yB xy，3344,Q xyR xy 则0101214 yk xy yk，0203424 yk xy yk 由，三式得：220120001 201002012341 21 21616ykkx yx k kyk xyk xy y y yk kk k 002000201200002200201200211616216161612yxyx yykkx yxxxxyk kxx，即22200000000022111y xxyxx yxy，则22222222220000000000002221y xy xy

25、xx yyx yx，即22001xy，所以点P在圆221xy.23（1）1,1M （2）证明见解析（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式（2）用分析法证明（1）2,1()112,112,1x xf xxxxx x ，1x时，22x，()2f x 无解，同样1x时，22x，()2f x 无解，只有11x 时，()2f x 满足不等式()2f x，1,1M ；（2）要证|1|abab，只需证22(1)()abab，即证222210a bab，即证22110ab，因为,1,1a b，所以2210,10ab ，则22110ab，原不等式成立.本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解