2022-2023学年四川省叙永第一中学校高二上学期第四学月教学质量检测数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年四川省叙永第一中学校高二上学期第四学月教学质量检测数学（理）试题 一、单选题 1下列推断正确的是（）A若22ab，则ab B若ab，cd，则acbd C若ab，则33ab D若ab，cd，则acbd【答案】C【分析】根据特殊值判断 ABD，结合3yx的单调性判断 C.【详解】对于 A，当1a，0b，满足22ab，但不满足ab，故错误；对于 B，当0ac，1bd 时，满足ab，cd，不满足acbd，故错误；对于 C，由3yx在R上单调递增可知 C 正确；对于 D，当1ac，0b，1d 时，满足ab，cd，但不满足acbd.故选：C.2双曲线221

2、2xy的渐近线方程为（）A22yx B2yx Cyx D2yx 【答案】A【分析】令2202xy，可求出双曲线的渐近线方程【详解】令2202xy，解得：22yx.故选：A.【点睛】此题考查由双曲线方程求其渐近线方程，属于基础题 3某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 53 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（）A7 号学生 B202 号学生 C515 号学生 D813 号学生【答案】D【分析】由等距抽样的性质可得被抽到的学生编号为53 101,1000k且Zk，结合各选项的学生第

3、 2 页 共 17 页 编号即可确定能被抽取到的学生.【详解】由题设，每隔 10 人抽取一个学生，所以被抽到的学生编号为53 101,1000k且Zk，所以，只有 D 选项中 813 号学生可被抽到，此时53 10813k，即76k.故选：D 4若方程225204xyaxya表示圆，则a的取值范围为（）A1,4 B4,1 C,41,D,14,【答案】C【分析】结合2240DEF求得a的取值范围.【详解】依题意2252404aa ，即2540aa，解得4a或1a ，所以a的取值范围是,41,.故选：C 5已知抛物线24xy的焦点为F，若抛物线上一点P到y轴的距离为 2，则PF的值为（）A1 B2

4、 C3 D4【答案】B【分析】求得P点的坐标，由此求得PF.【详解】抛物线24xy的焦点为0,1，准线为1y ，抛物线上一点P到y轴的距离为 2，不妨设2,Pm，则224,1m m，所以2,1P 222PF.同理可得2,Pm时，2PF.故选：B 6 如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号 若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）第 3 页 共 17 页 A132 B143 C146 D136【答案】C【分析】由几何概型公式可知，所求概率为阴影部分面积与矩形面积之比.【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为 1，则阴影部分为半径为 1 的

5、半圆加上半径为 2 的圆的14，再减去一个小正方形，阴影部分面积为13411242，矩形的面积为 6，由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为3112646，故选：C 7焦点为 2,0,2,0，离心率为22的椭圆的标准方程为（）A22162xy B22184xy C22164xy D22182xy【答案】B【分析】设椭圆的方程为22221(0)xyabab，解方程222cca求出椭圆的,a c即得解.【详解】设椭圆的方程为22221(0)xyabab，由题得2,2,2 222ccaca，第 4 页 共 17 页 所以222(2 2)24b.所以椭圆的标准方程为221

6、84xy.故选：B 8已知实数x、y满足22xyxxy，则1yzx的最大值为（）A12 B32 C2 D3【答案】C【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用代数式1yzx的几何意义以及数形结合可求得1yzx的最大值.【详解】作出不等式组22xyxxy所表示的可行域如下图所示：目标函数1yzx的几何意义为可行域内的点,M x y与定点0,1P连线的斜率，由图可知，当点M在可行域内运动时，直线PM的倾斜角均为锐角，联立2xyyx可得11xy，即点 1,1A，当点M与点A重合时，直线PM的倾斜角最大，此时z取最大值，即max1 121z.故选：C.9若两个正实数,x y满足141xy，且不等式234

7、yxmm有解，则实数m的取值范围为（）第 5 页 共 17 页 A41,3 B4,1,3 C4,13 D4,1,3 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.【详解】不等式234yxmm有解，2min3,0,04yxmmxy，且141xy，144422244444yyxyxyxxxyyxyx，当且仅当44xyyx，即2,8xy时取“=，min44yx，故234mm，即1 340mm，解得1m 或4,3m 实数m的取值范围是4,1,3.故选：B.【点睛】关键点睛：利用1的等式，结合基本不等式是解题的关键.10已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的半焦距为c，原点O到

8、经过两点 0,0cb的直线的距离为12c则椭圆C的离心率为（）A12 B14 C34 D32【答案】D【分析】先求得经过两点 0,0cb的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得223cb，由椭圆的离心率公式计算可得选项.【详解】解：因为经过两点 0,0cb的直线的方程为+0cx bybc，又原点到直线+0cx bybc的距离为12c，所以2212bcccb，整理得223cb，所以2222+4abcb，所以222223344cbabe 又01e，所以32e，故选：D.11 已知在三棱锥PABC中，4PA，2 6BC，3PBPC，PA 平面PBC，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A43

9、 B42 C48 D46【答案】A 第 6 页 共 17 页【分析】利用余弦定理和正弦定理可求得BPC外接圆半径r，由此可得三棱锥的外接球半径2212RrPA，由球的表面积公式可求得结果.【详解】在PBC中，由余弦定理得：22261cos2183PBPCBCBPCPB PC ，22 2sin1 cos3BPCBPC，BPC外接圆半径112 63 32sin222 23BCrBPC，又PA 平面PBC，三棱锥PABC的外接球半径22127434242RrPA，则三棱锥PABC的外接球的表面积2443SR.故选：A.12如图，双曲线2222:1(0,0),xyCabABab是圆225:(2)(1)

10、2Mxy的一条直径，若双曲线C过,A B两点，且离心率为 2，则直线AB的方程为（）A6110 xy B470 xy C350 xy D230 xy【答案】A【分析】结合点差法求得直线AB的方程.【详解】圆225:(2)(1)2Mxy的圆心为2,1，第 7 页 共 17 页 依题意2212,3cbbeaaa，设 1122,A x yB x y，则2222112222221,1xyxyabab，两式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx，即1212121213,62yyyyxxxx，所以直线AB的方程为162,6110yxxy .故选：A 二、填空题 13已知焦点在x轴的双曲线的渐

11、近线为2yx，半焦距为 5，则双曲线的标准方程为_ 【答案】221520 xy 【分析】根据已知条件求得,a b，由此求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知222255,2 5bacabcab，所以双曲线的标准方程为221520 xy.故答案为：221520 xy 14在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为 61，则被污染的数字为_.【答案】2【分析】根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为 61，列方程即可求解.【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为 48-20=28.第 8 页 共 17 页 因为极差与中位数之和

12、为 61，所以中位数为 33.设被污染的数字为 a，则3034332a，解得：a=2.故答案为：2 15如图（俯视图），学校决定投资 12000 元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米 100 元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300 元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到_平方米.【答案】36【分析】设仓库不靠墙的长为 x 米，宽为 y米，且0,0 xy，由题意可列不等式，然后利用基本不等式化简，即可求解【详解】设仓库不靠墙的长为 x

13、米，宽为 y米，且0,0 xy，则由题意可得100()30012000 xyxy，整理得()3120 xyxy，0,0 xy，323,xyxyxyxy 故32120 xyxy，解得06xy，即036xy，当且仅当6xy时等号成立，所以仓库占地面积最大能达到 36 平方米，故答案为：36 16 已知过抛物线24 2yx焦点F的直线与抛物线交于点,3A B AFFB，抛物线的准线l与x轴交于点,C AMl于点M，则四边形AMCF的面积为_.【答案】12 3【分析】设3BFm AFm，,则4ABm 60BAM,则可推出32 2,2CFpm 再求得梯形的高，利用梯形的面积公式，即可求得四边形AMCF的

14、面积.【详解】由题意知抛物线24 2yx，则2 2p ，过 B 作BNl于 N，过 B作BKAM于 K，设BK交 x轴于 H，BNAMCF,第 9 页 共 17 页 设3BFm AFm，则4ABm，|3,|AMm BNm,则|2AKm，故在Rt BKA中，1|,30,602AKABKBAKAB,由于RtRtBKABHF,3AFFB，11|42HFAKm,3|2 22CFpCHHFBNHFm,4 2,|34 23mAMm,3|sin 6032 62MCAFm,又四边形AMCF为直角梯形，则四边形AMCF的面积为 11(|)|(2 24 2)2 612 322SCFAMMC，故答案为：12 3 三

15、、解答题 17设函数 2442f xxaxa，（1）解关于x的不等式 0f x；（2）若对任意的1,1x，不等式 0f x 恒成立，求a的取值范围；【答案】（1）见解析 （2）1a【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 00aa，和0a 三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得0a 时，解集为2x x 或2xa，0a 时，解集为2x x 0a 时，解集为2x xa或2x；（2）由题意得：222a xx 恒成立 2ax 恒成立 min21x 1.a 试题解析：（1）0a 时，不等式的解集为2x x 或2xa 0a 时，不等式的解集为2x x 第 10 页 共 17 页 0a 时，不等

16、式的解集为2x xa或2x （2）由题意得：222a xx 恒成立，1,1x 23,1x 2ax 恒成立.易知 min21x，a的取值范围为：1.a 182022 年 4 月 16 日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取 2000 名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100 分），根据得分将数据分成 7 组：20,30),30,40),80,90，绘制出如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数；(2)先从得分在60,

17、80的学生中利用分层抽样选出 6 名学生，再从这 6 名学生中选出 2 人参加有关航天知识演讲活动，求选出的 2 人竞赛得分都不低于 70 分的概率.【答案】(1)75(2)25 【分析】（1）在频率分布直方图中，频率最大的那组数据的中间值为众数；（2）确定60,70应抽取 2 人，设为,;70,80A B应抽取 4 人，设为,C D E F，用列举法写出任取 2人的基本事件，并得出竞赛得分都不低于 70 分的基本事件，计数后由概率公式计算概率 第 11 页 共 17 页【详解】（1）由频率分布直方图可得众数为：75，（2）因为60,70,70,80人数之比为1:2，所以60,70应抽取 2

18、人，设为,;70,80A B应抽取 4 人，设为,C D E F，这 6 人中再任选 2 人，共 15 种不同选法，如下：,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF，其中，选出的 2 人竞赛得分都不低于 70 分的个数有 6 种；所以所求事件的概率为62155P.19近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021 年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码 1-7 分别对应 2015-2021年）.经计算得7711259,1178,72.65iiiiiyt y，7721127,

19、126iiiiiyyttyy.(1)用一元线性回归模型拟合 y与 t的关系，求出相关系数 r（精确到 0.01），并说明 y 与 t相关性的强弱；(2)建立 y 关于 t的回归直线方程；(3)若 2023 年该市某家庭总支出为 10 万元，预测 2023 年该家庭的教育支出.附：相关系数12211niiinniiiittyyrttyy；在回归直线方程ybta中，121,niiiniittyybaybttt.【答案】(1)0.88xyr，相关性很强；第 12 页 共 17 页(2)4.519yt；(3)5.95万元.【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；（2）由公式算b，再由717i

20、iyaybtbt算a即可；（3）2023 年对应的年份代码9t，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测 2023 年该家庭的教育支出【详解】（1）由题意得，11 23456747t ，则72222222211424344454647428iitt，故7212 7iitt，故 717722111260.882 727iiixyiiiittyyrttyy，0.880.8，y与 t高度相关，即 y与 t的相关性很强（2）根据题意，得717211264.528iiiiittyybtt，712594.5 4181977iiyaybt，y关于 t的回归直线方程为4.519yt（3）2023 年对应的年

21、份代码9t，当9t 时，4.5 9 1959.5y ，故预测 2023 年该家庭的教育支出为10 59.5%5.95（万元）20如图，四面体ABCD中，,ADCD ADCDADBBDC，E 为AC 的中点 第 13 页 共 17 页 (1)证明：平面BED 平面ACD；(2)设2ABBD，60ACB，点 F在BD上且EFBD，求三棱锥FABC的体积【答案】(1)证明见解析.(2)34.【分析】（1）先证明AC 平面BED，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）由题意求得相关线段的长，求出13 3,28EFBSEFFB根据13FABCEFBVSAC,即可求得答案.【详解】（1）因为,ADC

22、DADBBDC，BDBD,所以ADBCDB，所以ABBC，又因为 E 是AC中点，所以BEAC，又因为ADDC，所以DEAC，,DEBEE DE BE平面BED,所以AC 平面BED，又因为AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.（2）点 F 在BD上且EFBD,因为2ABBD，60ACB，所以2BCAC，3BE,而90ADC，所以 1212ADCDDEAC，则222DBDEBE,所以DEBEDEBEBDEF，第 14 页 共 17 页 133=22EF，因为AC 平面BED，所以 13FABCEFBVSAC,因为EFBD，所以33=3=42BF,故13 3,28EFBSEFFB 所以13

23、332384FABCV.21已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点P在抛物线上，当以Fx为始边，FP为终边的角60 xFP时，4PF.(1)求C的方程(2)过点F的直线交C于,A B两点，以AB为直径的圆D平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交C于点N，求AMB的面积与AMN的面积的比值【答案】(1)24yx(2)4 【分析】（1）过点P作PFl，垂足为F，过点F作FEPF，垂足为E，根据抛物线的定义，得到24PFPEEFp，求得2p，即可求得抛物线的方程；（2）设直线AB的方程为1xty，联立方程组求得124yyt，得到21242xxt，由抛物线的定义得到244ABt，根据12M

24、DAB，求得1m ，设00(,)N xy，得到20 xt，进而求得2AMDAMNSS，因为D为AB的中点，求得4AMBAMNSS，即可求解.【详解】（1）解：由题意，抛物线2:2(0)C ypx p，可得其准线方程:2pl x ，如图所示，过点P作PFl，垂足为F，过点F作FEPF，垂足为E，因为60 xFP时，4PF，可得cos602PEPF，又由抛物线的定义，可得24PFPEEFp，解得2p，所以抛物线的方程为24yx.第 15 页 共 17 页 （2）解：由抛物线24yx，可得(1,0)F，设1122(,),(,)A x yB xy，因为直线AB的直线过点(1,0)F，设直线AB的方程为

25、1(0)xtyt 联立方程组214xtyyx，整理得2440yty，可得212(4)160,4tyyt ，则21212(1)(1)42xxtytyt，因为D为AB的中点，所以2(21,2)Dtt，由抛物线的定义得212244ABxxt，设圆D与直线:l xm相切于点M，因为DM交C于点N，所以0m 且DMl，所以12MDAB，即22121(44)2tmt，解得1m ，设00(,)N xy，则02yt，且20(2)4tx，可得20 xt，因为2221(1)2tt ，所以点N为DM的中点，所以2AMDAMNSS，又因为D为AB的中点，可得2AMBAMDSS，所以4AMBAMNSS，即AMB的面积与

26、AMN的面积的比值为4.第 16 页 共 17 页 22已知椭圆2222:1(0)xyabab和双曲线2212xy的焦距相同，且椭圆经过点13,2P (1)求椭圆的标准方程；(2)如图 1，椭圆的长轴两个端点为12,A A，垂直于x轴的直线xm与椭圆相交于,C D两点（D在C的上方），记1212,A DA Ckk kk，求证：12kk为定值，并求129kk的最小值；(3)如图 2，已知过2,03G的动直线与椭圆相交于,M N两点，求证：直线12,AM A N的交点在一条定直线上运动【答案】(1)2214xy(2)证明见解析；3(3)证明见解析 【分析】（1）根据已知得到方程组，解方程组即得解；

27、（2）不妨设11,D x y，则11,C xy，求出12kk的值即得解，再利用基本不等式求解；（3）不妨设直线22332:,.3MNlxmy M xyN xy求出直线212:22yAMyxx，直线323:22yA N yxx，化简3232222124xxxxy y 即得解.【详解】（1）解：椭圆和双曲线的焦距相同，2223cab 将13,2P代入椭圆方程：222213xyaa可得42425360aa 24a或294a（舍），故所求椭圆方程为：221.4xy（2）解：如图 1，不妨设11,D x y，则11,C xy 111211,22yykkxx，易知21,0kk，第 17 页 共 17 页 22111222111414444xykkxx 121 292 93kkk k，当且仅当129kk，即1213,62kk时等号成立（3）解：不妨设直线22332:,.3MNlxmy M xyN xy联立222344xmyxy可得 222322320129412320.943294mmymyyymy ym 1222A Mykx，可知直线212:22yAMyxx 同理可得：可知直线323:22yA N yxx 2114A NA Nkk 可知：33332124yxxy 3232323232238822222133,824mymyxxxxxxy yy yy y 218224xx ，解得6x.