2022-2023学年天津市天津一中高二年级1月期末考试数学解析版.pdf

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1、 1 天津一中 2023 年高二年级 1 月期末考试数学 本试卷分为第卷（选择题）、第卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟.第卷为第 1 页，第卷为第 2 页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第卷 一、选择题：（每小题 3 分，共 30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线1l：2yx，2l：ykx，若12/ll，则实数k（）A.2 B.1 C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线1l：2yx，2l：ykx，因为12/ll，所以1k 故选：D【点睛】本题主要考查

2、两直线的位置关系，属于基础题.2.若圆22240 xyxym截直线30 xy所得弦长为2，则实数m的值为（）A.1 B.2 C.4 D.31【答案】C【解析】【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为1,2,半径为55rm m,再求出圆心到直线距离,根据弦长为2222rd,即可求得m.【详 解】由 题,由 圆 的 一 般 方 程22240 xyxym可 得 圆 的 标 准 方 程 为22125xym,则圆心为1,2,半径为55rm m,2 所以圆心到直线距离为1232 22d,则弦长为2222rd,即581m,所以4m,故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用

3、,考查圆的一般方程与标准方程的转化.3.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 na满足10a，11,nnnannaan n为奇数为偶数，则45aa（）A.12 B.20 C.28 D.30【答案】B【解析】【分析】根据递推关系求得2345,a a a a，进而可得答案.【详解】由已知得 211 12aa ，2324aa，433 18aa，54412aa，458 1220aa 故选：B.4.与椭圆229436xy有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（）A.22143xy B.2216yx

4、 C.2216xy D.22185xy【答案】B【解析】【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出c的值，由已知条件可得出b的值，由此可得 3 出a的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆229436xy可化为标准方程22149xy，可知椭圆22149xy的焦点在y轴上，焦点坐标为0,5，故可设所求椭圆方程222210yxabab，则5c.又22b，即1b，所以2226abc，故所求椭圆的标准方程为2216yx.故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.5.已知1F、2F分别为双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，1221

5、:2:3:4FFF MFM，则双曲线E的渐近线方程为（）A.2yx B.12yx C.3yx D.33y 【答案】C【解析】【分析】由1221:|:2:3:4FFF MFM，可得1 22F Fc，23F Mc，14FMc，根据双曲线的定义求得2ca，进而得到3ba，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，1F、2F分别为双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，且满足1221:|:2:3:4FFF MFM，可得1 22F Fc，23F Mc，14FMc，由双曲线的定义可知21243aF MFMccc，即2ca，又由223bcaa，所以双曲线的渐近线方程为3yx.故选：C.4【点

6、睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出,a c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)6.已知等差数列 na，nS是其前n项和，若101010Sa，则（）A.52a B.52a C.518S D.520S 【答案】D【解析】【分析】设数列 na的公差为d，由等差数列的通项公式和前n项和公式列关于1a和d的方程，解方程求出1a和d，再计算5a和5S即可得正确选项.【详解】设数列 na的公差为d，由题意可得1110 910102910adad，解得

7、182ad，所以5148420aad ，515 4558102202Sad ，故选项 D 正确，故选：D.7.设nS是等比数列 na的前n项和，若34S，4566aaa，则96SS（）A.32 B.1910 C.53 D.196【答案】B【解析】【分析】设等比数列 na的公比为q，求得3q的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列 na的公比为q，若1q，则456133aaaaS，矛盾.5 所以，1q，故33341345631111aqa qqaaaq Sqq，则332q，所以，63113631151112aqaqSqSqq，9311369311191114aqaqSqqSq

8、q，因此，9363192194510SSSS.故选：B.8.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，130S，140S，则当 S 取得最小值时，n 的值为（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等差数列前 n 项和公式可知70a，780aa，即80a，从而可确定当 S 取最小值时 n 的值.【详解】因为11371371313 213022aaaSa，故70a.同理11478714814140722aaaaaaS，故780aa，所以870,0aa，即当7n 时，nS取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前 n 项和的应用，属于基础题.9.已知抛物线2

9、:8C xy的焦点为F，为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|4AF，则|PAPO的最小值为（）A.4 2 B.2 13 C.3 13 D.4 6【答案】B【解析】6【分析】求出A点坐标，作O关于准线的对称点M，利用连点之间相对最短得出|AM为|PAPO的最小值【详解】解：抛物线的准线方程为=2y，|4AF，A到准线的距离为 4，故A点纵坐标为 2，把2y 代入抛物线方程可得4x 不妨设A在第一象限，则(4,2)A，点O关于准线=2y的对称点为4(0,)M，连接AM，则|POPM，于是|PAPOPAPMAM 故|PAPO的最小值为22|462 13AM 故选：B【点睛】

10、本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题 10.已知 F 是双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点，过点 F 的直线 l与双曲线 C的一条渐近线垂直，垂足为 A，且直线 l与双曲线 C的左支交于点 B，若3 FAAB，则双曲线 C 的离心率为（）A.2 B.53 C.54 D.43【答案】B【解析】【分析】设C的左焦点为1F，连接1FB，过1F作1FDFB于D，根据已知及双曲线性质 7 有1FD为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及,a b c关系得到,a c关系，即可得离心率.【详解】设C的左焦点为1F，连接1FB，过1F作1FDFB于D，易知1/F D OA，所以OA为OAF的中位

11、线，又图中双曲线的渐近线方程为0bxay 则22bcFAbab，323,b BDbABFA，则D为线段FB的中点，所以1BFF为等腰三角形，即112BFFFc 又1|4,|422FBb FBbac，即2cab，222caca，得53ca.故选：B.第卷 二、填空题：（每小题 6 分，共 24分）.11.圆C的圆心为(21),-，且圆C与直线3450 xy相切，则圆C的方程为_.【答案】22(2)(1)1xy【解析】【分析】先求圆心到直线:3450lxy的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程【详解】圆C的圆心为(2,1)，与直线:3450lxy相切，8 圆心到直线的距离等于半径，即

12、223 2415134rd ，圆C的方程为22(2)(1)1xy 故答案为：22(2)(1)1xy【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题 12.若抛物线2ymx准线与直线1x 间的距离为 3，则抛物线的方程为_.【答案】216yx 或28yx【解析】【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2ymx的准线为4mx ，则134m，解得16m或8m，故抛物线的方程为216yx 或28yx.故答案为：216yx 或28yx.13.等比数列 na中，5a，21a是方程21150 xx的两根，则71913a aa的值为_.【答案】5【解析】【分析】由韦达

13、定理可得5215215,11a aaa，易知521,0a a，再由等比数列的性质有271913521a aaa a，结合等比数列通项公式判断13a的符号，进而求目标式的值.【详解】由题设知：5215215,11a aaa，又 na为等比数列，521,0a a，且2719135215a aaa a，而81350aa q，135a，故71913a aa5.9 故答案：5 14.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线l与椭圆 C交于 A，B 两点，且线段AB的中点为(2,1)M，则直线 l的斜率为_；【答案】12【解析】【分析】由椭圆离心率和,a b c关系可得,a b关系，再

14、由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】由题意可得22312cbeaa，整理可得2ab，设 1122,A x yB x y，则2222112222221,1xyxyabab，两式相减可得 12121212220 xxxxyyyyab，AB的中点为(2,1)M，12124,2xxyy，则直线斜率212122121211(2)42yyxxbkxxayy .故答案为：12.15.已知各项为正数的数列 na的前n项和为nS，且11a，211nnSSa2,nnN，则数列 na的通项公式为_.【答案】21nan【解析】【分析】先由题干求出 nS是以1为首项，公差为1的等差数列，并且求得2

15、nSn，进而写出数列 na的通项公式.10【详解】解：0na，0nS，当2n时，由211nnSSa，可得11nnSSa，即11nnSS.nS是以1为首项，公差为1的等差数列.111nSnn .2nSn.当2n时，221121nnnaSSnnn.当1n 时，上式成立.故数列 na的通项公式为21nan.故答案为：21nan.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.16.已知等差数列 na中，39a，517a，记数列1na的前 n 项和为nS，若2110nnmSS对任意的*Nn都成立，则实数 m 的取值范围为_.【答案】28,9【解析】【分

16、析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列 na的通项公式，令21nnnbSS，通过计算1nnbb的正负确定 nb的单调性，进而求出 nb的最大项，则可求出实数 m 的取值范围.【详解】设等差数列 na的公差为d，则315129417aadaad，解得114ad，则等差数列 na的通项公式为43nan，11 则数列1na的通项公式为1143nan，令21nnnbSS，则 11231212322111nnnnnnnnnaaabbSSSS 11140310898541898541nnnnnnn 即1nnbb，即 nb为递减数列，nb的最大项为131321111149545bSSaa，141045m

17、，289m 故答案为：28,9 三、解答题：（本题共 4 小题，共 46 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若数列 na的前 n项和为nS，且*231NnnSan，等差数列 nb满足113ba，324ba.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）设3nnnbca，求数列 nc的前 n项和nT.【答案】（1）13nna；21nbn（2）223nnnT【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS得到数列 na是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列 na，再代入数列 nb满足的等式可得 nb的通项公式；（2）利用错位相减法可求和.12【小问 1 详解】*231NnnSan，又112

18、312nnSan，两式相减得1233nnnaaa，即13nnaa，故数列 na是以 3为公比的等比数列，又当1n 时，1112231Saa，得11a，13nna，1133ba，324347ba，等差数列 nb的公差为31423 12bb，21nbn【小问 2 详解】由（1）可得213nnnc，231357212133333nnnnnT，234113572121333333nnnnnT 上两式相减得2311111123222211214243321333333333313nnnnnnnnnT，223nnnT 18.已知数列 na，nb，满足111ab，113 1nnbbn，且*1Nnnnbaan

19、n.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记*1211Nnnnnbcnn aa，求证：12313ncccc 13【答案】（1）1312nna，13nnbn；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；（2）利用裂项相消得到12312 113 231nncccc，即可证明12313ncccc【小问 1 详解】根据113 1nnbbn可得113nnbnbn，所以121121nnnnnbbbbbbbb 11231121nnnnn 13nn，当1n 时，011 31b ，成立，所以13nnbn，113nnnaa，所以 112211nnnnnaaaaaaaa 21033

20、31nn 13113 1n 1312n，当1n 时，013112a，成立，所以1312nna.【小问 2 详解】由（1）可得 14 1111134 321133131313131 311122nnnnnnnnnncn，所以1231223121111113 313131313131nnncccc 12 113 231n，因为11112312n，所以123211323ncccc.19.已知椭圆 C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点A 在椭圆 C 上，12AF，1260F AF，过2F与坐标轴不垂直的直线 l与椭圆 C交于P，Q两点，N 为线段 PQ的中点.（

21、1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点10,8M，且MNPQ，求直线 l 的方程.【答案】（1）22143xy（2）3230 xy或210 xy 【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出 a，b，c；(2)设直线 l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点 N 的坐标，再利用MNPQ，求出直线 l 的斜率.【小问 1 详解】122122,22,2AFAFaAFaFFc，在12AF F中，222121212122cosFFAFAFAFAFF AF，即22242222 222 cos60caa ，12cea，解得：2440,2aaa，1,3cb，15 椭圆 C的方程为：22143

22、xy；【小问 2 详解】由题意设 l的方程为：1yk x0k，1122,P x yQ x y，联立方程221431xyyk x，得222212104333kkkxx，221212122222863,21343443kkkxxyyk xxkkkk，22243,3434kkNkk，22222134243834432034MNkkkkkkkk，MNPQ，1MNkk，即224243132kkkk，化简得：23210kkk，12310,22kkk，直线 l的方程为3230 xy或者210 xy；综上，椭圆 C 的方程为：22143xy，直线 l的方程为3230 xy或者210 xy .20.已知数列 n

23、a中，11a，22a，*24Nnnaan，数列 na的前 n 项和为nS.（1）求数列 na的通项公式；16（2）若215nnbSn，求数列 nb的前 n项和nT；（3）在（2）的条件下，设124nnnnnbcb b，求证：11482nknknc.【答案】（1）21,22,nnnann为奇数为偶数（2）41nn（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得数列 na的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列 na的通项公式；（2）先分组求和求得2nS，再利用裂项相消法求得nT；（3）先求出nc的通项公式，再根据232nnnc以及错位相减法求得232nn的前n项和，再通过比较大小可证明结论.

24、【小问 1 详解】由*24Nnnaan得数列 na的奇数项为公差为 4的等差数列，偶数项也为公差为4 的等差数列，当n为奇数时，1114212nnan 当n偶数时，214222nnan 21,22,nnnann为奇数为偶数【小问 2 详解】由（1）得 21321242nnnSaaaaaa 17 211424422n nn nnnnn 2111 11414144nbnnnnnn 11141111114223nnTnnn【小问 3 详解】由（2）124344nnnnnnn nbcb b 则3434223222nnnnn ncnnn，令231579212322222nnnnM，则234115792123222222nnnnM，两式相减得：2341111111522222332372722212222222222212nnnnnnnnM 2772nnM 12772nknknc，又114273108710222nnnnnn，14278722nnnn，11482nknknc