2023届辽宁省阜新市第二中学高三年级1月月考数学试卷(人教2019A版).pdf

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1、 2022-2023 学年 辽宁省阜新市第二中学 高三年级一月月考 数学试卷 总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、单选题（8 题每题 4 分共 32 分）1已知集合20,1Mx xxNx x，则MN（）A1x x B1x x C D|1x x 或0 x 2若复数满足4(2)zii（为虚数单位），则复数的共轭复数的模是 A85 B4 55 C45 D55 3如图，在ABC中，ABc，ACb，若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bc B5233cb C2133bc D2233bc 4 某圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，则该圆台的体积为（）A3 B73

2、C53 D23 5五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（）A60种 B40种 C20种 D10种 6函数()sin()(0)f xx 的周期为，1()2f，()f x在0,3上单调递减，则的一个可能值为 A6 B3 C23 D56 7已知函数 yf x的定义域为,，且函数2yf x的图象关于直线2x 对称，当0,x时，lnsin2f xxfx（其中 fx是 f x的导函数），若log 3af,13log 9bf,13cf，则,a b c的大小关系是 Abac Babc Ccba Dbca 8 已知函数21()

3、2(2)1(0)2f xlnxaxxaa的值域与函数()yf f x的值域相同，则a的取值范围为 A(0，1 B1，)C(0，43 D43，)二、多选题（4 题每题 5 分共 20 分，正确选项未全部选出得 3 分，多选不得分）9如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（）ABM与 ED 平行 BCN 与 BM 成 60角 CCN 与 BE 是异面直线 DDM 与 BN 是异面直线 10已知函数 sin0,0,02fxAxA的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移12个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g x的图象

4、，则下列选项中正确的有（）A sin 23f xx B sin3g xx C43x 是曲线 yg x的对称轴 D直线32yx是曲线 yf x的一条切线 11已知抛物线2:4C xy，其焦点为 F，准线为 l，PQ是过焦点 F的一条弦，点2,2A，则下列说法正确的是（）A焦点 F到准线 l的距离为 2 B焦点1,0F，准线方程:1l x CPAPF的最小值是 3 D以弦 PQ为直径的圆与准线 l相切 12已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，对任意的x，Ry，恒有 2f xyf xyf xfy，则下列说法正确的有（）A 01f B fx必为奇函数 C 00f xf D若 112f，则

5、 2023112nf n 三、填空题（共 20 分）13 已知522axxxx的展开式中的各项系数和为3，则该展开式中的常数项为_.14 已知点Q是圆221xy上任意一点，点(2,2)A，点(6,4)B，点P满足2218PAPB，则PQ的最小值为_.15过点(1,1)与曲线xyex相切的直线方程为_.16 设F1，F2是椭圆C：22xa22yb1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1PF2，若12PF F的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C的方程为_.四、解答题（共 78 分）17在数列 na中，11a，1120nnnnaaaa，数列 nb的前n项和为nS，且21nnabn （

6、1）证明：数列1na是等差数列（5 分）（2）若23ntSt对*nN恒成立，求的取值范围（5 分）18已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足232 coscabA.（1）求角B；（5 分）（2）若1cos4A，求sin(2)AB的值；（5 分）（3）若7c，sin3bA，求b的值.（5 分）19在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又4PAAB，ADCD，120CDA，点N是CD的中点.（1）求证：MN 平面PAB；（6 分）（2）求点N到平面PBC的距离.（6 分）20（本小题满分 10 分，第（1）问 5 分，第（2）问 5

7、 分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占35，采用微信支付的占23，40岁以上采用微信支付的占14（1）请完成下面22列联表：（6 分）40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 未使用微信支付 合计 （2）并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（6 分）参考公式:22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，nabcd .参考数据：20P

8、Kk 0k 6.635 21已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（7 分）（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.（7 分）22已知函数 2e0 xf xxa a(1)当=1a时，求 f x的单调减区间；（7 分）(2)若方程 f xm恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值（8 分）答案及解析：1B【分析】化简集合 M，根据集合交集运算即可求解.【解析】因为2010Mx xxx xx或，1Nx x 所以MN1x x，故选 B【注

9、意】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2B【分析】根据复数的四则运算，化简复数为z4855i，再根据复数模的运算公式，即可求解.【解析】由题意，因为42zii，所以44212zi ii 4 1 248,121 255iiii 所以z 4855i，所以z22484 5555.故选 B.【注意】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念和模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，正确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3A【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.【解析】因为2BDDC，所以有23BDBC，221221()333333ADA

10、BBDABBCABBAACABACbc，故选：A 4B【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.【解析】设圆台的母线长为，高为，因为圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，可得()(21)3 2Rrll ，解得2l，所以圆台的高为222()2(2 1)1hlRr，所以圆台的体积为22117()(42 1)1333VRRrrh.故选：B.5C【分析】5 人中只有 2 人拿到自己的外衣，共有25C种情形，另外 3 人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为 1，2，3 的人坐到编号为 1，2，3 的座位，且人和编号不能相同，列举可得，再由分步计数原理求得结果

11、.【解析】先从 5 人中选取 2 人拿到自己的外衣，共2510C 种情况，另外 3 人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为 1，2，3 的人 坐到编号为 1，2，3 的座位，且人和编号不能相同，共有 231，312，两种，由分步计数原理可得共25220C 种情况.故选：C.【注意】本题考查排列组合及简单的计数问题，选择合适的选排方案是解决问题的关键，属基础题.6D【分析】根据三角函数周期性确定 值，再根据1()2f求得的可能值，最后根据单调性确定值【解析】根据周期的公式2|T得=2，则()sin(2)f xx 又因为1()sin(2)sin2f 所以2k6或52k6 （K Z）故()sin(2)

12、6f xx或5()sin(2)6f xx 又因为当()sin(2)6f xx时，在(0,)3x上，即52()66,6x，()f x有增有减 当5()sin(2)6f xx时，在(0,)3x上，即5532(,)662x，()f x单调递减 所以56【注意】根据 值，已知()f x在区间上的单调性求参数的值 7D【分析】求出 fx,可得2f的值，能确定 fx的解析式，分类讨论可确定 fx的符号，可得 f x在0,上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 3 2、的大小关系，结合函数 f x的奇偶性与单调性可得结果.【解析】lnsin2f xxfx，cos2fxfxx，2cos2222

13、ff，2cosfxxx，当2x时，2cos0,0 xfx；当02x时，2,2cos2,0 xfxx，即 f x在0,上递增，2yf x的图象关于2x 对称，2yf x向右平移 2 个单位得到 yf x的图象关于y轴对称，即 yf x为偶函数，13log 922bfff，0log 1log 3log1，1103212，即130log 32，132log 3fff，即bca.故选 D.【注意】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.在比较 1f x，2f x，nf x的大小时，首先应该根据函数 f x的奇偶性与周期性将 1f x，2f x，nf x通过等

14、值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.8D【分析】对函数()f x求导，利用导数求得()f x的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围【解析】解：因为21()2(2)1(0)2f xlnxaxxaa 所以2()(2)(0)fxaxaxx，由于0a，故函数()fx在(0,)上为减函数，又 10f，故当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x时，()0f x，函数()f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，13()(1)21122maxf xfaaaa ，且x时，()f x ，故函数()f x的值域为3(,12a，

15、作出函数()f x的草图如下，由图可知，要使函数()f x的值域与函数()yf f x的值域相同，则需31 12a，解得43a，故选：D【注意】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题 9BD【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知 A 和 C 错误，D 正确，再根据ACN是等边三角形，得出 B 正确.【解析】正方体的直观图如图所示：很显然，BM与 ED不平行，A 错误；连接 AN，AC，易知ACN是等边三角形，CN与 BM 的夹角即为60ANC，B 正确；很显然，CNBE，C 错误

16、；DM与 BN是异面直线，D 正确.故选：BD.10ACD【分析】根据函数图象可确定,A的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断 A;根据三角函数图象的平移变换可得到 g x表达式，判断 B;将43x 代入验证，可判断 C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断 D.【解析】由图象知1A ，272()1212 解得2，将12x 代入 fx中得sin(2)112，则 22(Z)122kk，因为0,2 ,()sin(2)33f xx，A 正确；由于将函数 f x图象向右平移12个单位后，得函数sin2()sin(2)1236yxx的图象，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的

17、 2 倍（纵坐标不变），得到函数16sin(2)sin()26yxx的图象，故()sin()6g xx，B 错误；将43x 代入()sin()6g xx中，4sin()136，43x 是曲线 yg x的对称轴，C正确；2cos 23fxx，令()1fx，即12cos 21,cos 2332xx，可得0 x 时满足1cos 232x，此时 30sin32f，则 sin 23f xx在点3(0,)2处的切线方程为330,22yxyx，D 正确，故选：ACD.11ACD【分析】对 A：由抛物线方程及焦点 F 到准线 l的距离为p即可求解；对 B：由抛物线方程即可求解；对 C：利用抛物线的定义，将抛物

18、线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对 D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【解析】解：对 B：由抛物线2:4C xy，可得0,1F，准线 :1l y ，故选项 B 错误；对 A：由抛物线2:4C xy，可得24p，即2p，所以焦点 F到准线 l的距离为2p，故选项 A 正确；对 C：过点 P 作PPl，垂足为P，由抛物线的定义可得PFPP，所以PAPFPAPP 3d（d为点2,2A到准线l的距离），当且仅当A、P、P三点共线时等号成立，所以PAPF的最小值是 3，故选项 C 正确；对 D：过点 P、Q分别作PPl，QQl，垂足分

19、别为P、Q，设弦 PQ 的中点为 M，则弦 PQ为直径的圆的圆心为 M，过点 M 作MMl，垂足为M，则MM为直角梯形PP Q Q 的中位线，12MMPPQQ，又根据抛物线的定义有PPPF，QQQF，所以1122MMPFQFPQ，所以以弦 PQ 为直径的圆与准线 l相切，故选项 D 正确；故选：ACD.12BCD【分析】赋值法求 0f的值，判断 A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断 B；赋值法结合换元法判断 C;利用赋值法求得(),Nf n n的值有周期性，即可求得 20231nf n的值，判断 D.【解析】对于 A，令0 xy，则由 2f xyf xyf xfy可得 22020ff，

20、故(0)0f或 01f，故 A 错误；对于 B,当(0)0f时，令0y，则 200f xf xf xf，则()0f x ，故()0fx，函数fx既是奇函数又是偶函数；当 01f时，令0 x，则 2fyfyfy，所以 fyf y，f x为偶函数，则fx为奇函数；综合以上可知fx必为奇函数，B 正确；对于 C，令xy，则 2202fxffx，故 200fxf。由于xR,令2,Rtx t,即 00f tf，即有 00f xf，故 C 正确；对于 D，若 112f，令1,0 xy，则 11210ffff，则(0)1f，故令1xy，则 22021fff，即 1121,222ff ，令2,1xy，则 31

21、221ffff，即 113,(3)122ff ，令3,1xy，则 42231ffff，即 1141,(4)22ff ，令4,1xy，则 53241ffff，即 1151,(5)22ff ，令5,1xy，则 64251ffff，即 116,(6)122ff，令6,1xy，则 75261ffff，即 1171,(7)22ff，由此可得(),Nf n n的值有周期性，且 6 个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，故 202311337 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)2nf nfffffff，故 D 正确，故选：BCD【注意】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以

22、及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定(),Nf n n的周期性.13120【分析】522axxxx的展开式中各项系数的和为3，令1x，求出a，再求出522axxxx展开式中的常数项即可.【解析】522axxxx的展开式中，各项系数的和为3，令1x，213a ，1a，5555121222222axxxxx xxxxxxxxx 其中52xx的展开式中x的项为22352C xx，即40 x，52xx的展开式中1x的项为33252C xx，即80 x，5221xxxx展开式中的常数项为16040120.故答案为：120.142【分析】根据题意易求

23、出点P的轨迹为圆，轨迹方程为22434xy，再根据两圆的位置关系即可求出PQ的最小值【解析】设,P x y，由2218PAPB可得，2222226418xyxy，化简得，22434xy，所以点P的轨迹为圆，圆心坐标为4,3，点 Q 在圆221xy上，两圆的圆心距为224352 1，所以两圆相离，故PQ的最小值为52 12 故答案为：2 1521yx.【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点1,1，再求出切点坐标，从而得切线方程.【解析】设切点坐标为000,exxx，由xyex得e1xy，切线方程为0000e1exxyxxx，切线过点1,1，00001e11exxxx ，即00e0 xx，

24、00 x，即所求切线方程为21yx.故答案为：21yx.【注意】本题考查导数的几何意义求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程 16221259xy【分析】由题意可知12PF F为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解【解析】PF1PF2，12PF F为直角三角形，又知12PF F的面积为 9，12|PF1|PF2|9，得|PF1|PF2|18.在 Rt12PF F中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2，即 4a

25、2364c2，a2c29，即 b29，又知 b0，b3，12PF F的周长为 18，2a2c18，即 ac9，又知 a2c29，ac1.由得 a5，c4，所求的椭圆方程为221259xy.故答案为：221259xy 17（1）见解析（2）1 5,2 3【分析】（1）根据已知可变形为111nnaa常数；（2）首先求数列 nb的通项公式，然后利用裂项相消法求111221nSn，若满足23ntSt对*nN恒成立，需满足 min23ntS，maxntS，求的取值范围.【解析】（1）证明：因为1120nnnnaaaa，所以112nnnnaaaa，则1112nnaa 又111a，故数列1na是以 1 为首

26、项，2 为公差的等差数列（2）由（1）可知121nna，则121nan 因为21nnabn，所以111121212 2121nbnnnn，所以1111111111112335572121221nSnnn 易知nS单调递增，则11132nSS 所以1233t，且12t，解得1523t 故的取值范围为1 5,2 3【注意】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1nnaa的正负判断单调性，然后求最值.18（1）6.（2）3 5716.（3）19【解析】（1）由正弦定理化边

27、为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B；（2）由二倍角公式求得sin2,cos2AA后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a，再由余弦定理求得b【解析】（1）232 coscabA，由正弦定理得，2sin3sin2sincosCABA 2(sincoscossin)3sin2sincosAB+ABABA，即2sincos3sinABA.sin0A，3cos2B 又0B，6B（2）由已知得，215sin1 cos4AA 15sin 22sincos8AAA，27cos22cos18AA 3 57sin(2)sin(2)sin2coscos2sin66616ABAAA=.（

28、3）由正弦定理sinsinabAB，得sinsinbAaB.由（1）知，6B，2 3a 由余弦定理得，2222cos19bacacB.19b 【注意】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换 19（1）证明见解析；（2）4 2121.【分析】（1）先证明M为AC的中点，从而/MN AD，由条件可得PAAD，可证90BAD，即BAAD，得到AD 平面PAB，从而得证.(2)设N到平面PBC的距离为,由NPBCP BNCVV根据等体积法可得答案.【

29、解析】（1）证明：在正ABC中，ABBC 设O为AC的中点，由ADCD，则DOAC 在正三角形ABC中，有BOAC 在平面ABCD上，由BOAC，DOAC，则,B O D三点共线 即O与M重合，即M为AC的中点 点N是CD的中点，/MN AD PA 平面ABCD，AD 平面ABCD PAAD 120CDA，30DAC 60BAC，90BAD，即BAAD PAABA，AD 平面PAB，MN 平面PAB （2）解：设N到平面PBC的距离为 在Rt PAB中，4PAAB，4 2PB 在RtPAC中，4PAAC，4 2PC 在PBC中，4 2PB，4 2PC，4BC 设H为BC的中点,由PBPC4 2

30、,则PHBC 则223242 7PHPBBH 112 744 722PBCSBCPH，又在ADC中，4AC，120CDA，ADCD，4 33CD 由（1）可知，60,30BCAACD,则90BCD,即BCCD 111114 34 342222233BNCBDCSSBCCD 由NPBCP BNCVV，且4PA 114 34 74333h，解得4 2121h 点N到平面PBC的距离为4 2121 20（1）详见解析；（2）有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”.【解析】试题分析：（1）由40岁以下的有3100605人，使用微信支付的有260403人，40岁以上使用微信支付有140104人

31、，即可完成2 2列联表；（2）根据2 2列联表求得观测值2K与参考值对比即可求得答案.试题解析：（1）由已知可得，40岁以下的有200 90%180 3100605人，使用微信支付的有18060120 260403人，40岁以上使用微信支付的有180 75%135 140104人所以2 2 2 2列联表为：40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计 60 40 100 （2）由列联表中的数据计算可得2K的观测值为22180 80 555 40k13.333120 60 135 45 210040 3020 105060 40 50 50

32、3k，由于5010.8283 13.33310.828，所以有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”【方法注意】本题主要考查及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式22n adbcKabadacbd计算2K的值；(3)查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21(1)5;(2)存在【解析】试题分析：(1)已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据2ba即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于 x 轴可得到一个结论.再讨论直线不

33、垂直于 x 轴,由的面积恒为 8,则转化为1212OABSOC yy.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为和2,2yx yx.所以222,2,5bcacaaa,从而双曲线 E 的离心率5e.(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为222214xyaa.设直线与 x 轴相交于点 C.当lx轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,4OCa ABa,又因为OAB的面积为 8,所以118,48,222OC ABaaa.此时双曲线 E 的方程为221416xy.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy.以

34、下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线 E：221416xy也满足条件.设直线的方程为ykxm,依题意,得 k2 或 k+11m fa，根据 f xm恰有一个负根可得1 1mfa，构造函数 e1xg xx，求导可知 g x在1,上单调递减，由此可得241 1efa，结合0a 可确定24e+1 1eaaaaf aaaa，作出 f x在0,的大致图象如下图所示，若 f xm恰好有一个正根，则+1 1m fa；又 f xm恰好有一个负根，且当,1 11 1,xaaa 时，1 1f xfa；当,0 xa 时，+11afxf；1 1mfa 令 e1xg xx，1x，则=e 0afaa，满足+11+11fafa，又0a，24+11 efa，即24em；综上所述：实数m的最大值为24e.【注意】关键点注意：本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是能够将问题转化为 f x与ym交点的问题，利用导数确定函数的大致图象，采用数形结合的方式，将问题转化为m与函数极值之间的大小关系的问题.