2023年上海高一下学期数学同步讲义第6讲正余弦函数图像及其性质含详解.pdf

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1、第 6 讲 正余弦函数图像及其性质 知识梳理 1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数xysin，2,0 x的图象中，五个关键点是：)0,0()1,2()0,()1,23()0,2(2、正弦函数Rxxy,sin的图像：把xysin，2,0 x的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到Rxxy,sin的图像，此曲线叫做正弦曲线。由正弦函数图像可知：（1）定义域：R （2）值域：1,1；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin|x，即 1sin1x，也就是说，正弦函数的值域是 1,1亦可由正弦图像直接得出。（3）奇偶性：奇函数 由xxsin)sin

2、(可知：xysin为奇函数，正弦曲线关于原点O对称 （4）单调递增区间：zkkk,22,22；（5）单调递减区间：zkkk,232,22；（6）对称中心：（0,k）；（7）对称轴：2 kx （8）最值：当且仅当,22 kxy取最大值1maxy；当且仅当,232 kxy取最小值1miny。（9）最小正周期：2T 一般地，对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知)0(2,4,2,2,4,kzkk且都是这两个函数的周期 对于一个周期函数)(xf，如果在它所有的周期中存在一个

3、最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2kzkk且都是它的周期，最小正周期是2 注意：1.周期函数定义域Mx，则必有MTx,且若0T，则定义域无上界；0T则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(xf就不为周期函数;3.T往往是多值的（如xysin中,4,2,2,4,都是周期）周期T中最小的正数叫做)(xf的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数Rxxy,cos的图像：（1）定义域：R（2）值域：1,1（3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：kk2,2，Zk（5）单调递减区间：Zkkk,2,2

4、（6）对称中心：（0,2k）（7）对称轴：kx （8）最值：当且仅当,2kx y取最大值1maxy；当且仅当,2 kxy取最小值1miny。（9）最小正周期：2T；例题解析 一、正余弦函数的图像 例 1.画出下列函数在0,2 上的图象（1）1 sinyx （2）cosyx 例 2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合：1(1)sin2x 1(2)cos2x 例 3.定义函数sin,sincos()cos,sincosxxxf xxxx，根据函数的图像与性质填空：(1)该函数的值域为_；(2)当且仅当_时，该函数取得最大值；(3)该函数是以_为最小正周期的周期函数；(4)当且仅

5、当_时，()0f x.例 4.函数,|,|sinxxxy的大致图像是（）例 5（2019上海长宁区高一期末）函数costanyxx（302x且2x）的图像是下列图像中的（）A B C D 例 6（2020上海高一课时练习）图中的曲线对应的函数解析式是（）A|sin|yx Bsin|yx Csin|yx D|sin|yx 例 7（2020上海高一课时练习）函数costanyxx()22x的大致图象是（）A B C D【巩固训练】1用五点作图法作函数1 cosyx 在0,2 上的图象 2已知02,sincosxxx且，则x的取值范围是（）A.0,4 B.5,44 C.5(,2)4 D.50,244

6、 3函数cosyxx 的部分图像是()4 同一坐标系中，函数3cos()(0,2)22xyx的图像和直线12y 的交点个数有_个 二、正余弦函数的定义域值域 AoyxBoyxCoyxDoyx 1、正余弦函数的定义域 例 1（2020上海高一课时练习）函数cossinyxx的定义域为_.例 2.求下列函数的定义域（1）)25lg(2sin2xxy（2）1lgcos()32yx （3）21sin16yxx 例 3.（1）已知f（x）的定义域为0，1），求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域 例 4.求函数lg(sincossincos3)yxxxx的定义域 2、正

7、余弦函数的值域与最值 例 1（2020上海浦东新区华师大二附中高一月考）函数cos(),0,223xyx上的值域是_.例 2.（1）函数sin3cos,6 2yxx x 的值域是 .（2）函数3sincos,0,yxx x的值域是 .例 3.已知函数 23sinsincosf xxxx，,2x，求 f x的最大值和最小值 例 4.函数sincos66yxx的最大值、最小值分别为（）A.2，2 B.13,13 C.2,2 D.226,226 例 5.求下列函数的值域：2cossin,4 4yxx x .例 6.求下列函数的值域sincos1 sincosxxyxx 例 7.求函数1 cos3co

8、sxyx的值域 【巩固训练】1求函数的定义域，值域：1)xysinlg 2)xycos2 2函数)sinlg(cosxxy的定义域是_ 3求下列函数的定义域(1)1sintanyxx；(2)2cos25yxx 4函数xxy6cos2sin的最大值为_ 5函数223sin4cos4,33yxxx 的最大值 ，此时x的值是 6函数3cos6sin2)(2xxxf的最大值为 .7求函数3,6,sin2cos872xxxy的值域 8求函数sincossincosyxxxx的最小值 9求函数xxycos3sin1的值域 10若函数2()2sin2 3sinsin2f xxxx能使得不等式2f xm|()

9、|在区间203,上恒成立，则实数m的取值范围是_ 11若动直线xa与函数()sinf xx和()cosg xx的图像分别交于,M N两点，则MN的最大值为 12对于函数()f x，在使()f xM成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数()f x的“下确界”，则函数22()sinsincsccscf xxxxx的“下确界”为_.13要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求出此矩形的面积.14已知函数2()2sin3cos24f xxx，,4 2x（I）求()f x的最大值和最小值；（II）若不等式()2f xm在,4 2x上恒成立，求实数m的取值范围

10、 15求函数(sin2)(cos2)yxx的最大值和最小值 三、正余弦函数的性质 1、正余弦函数的周期性 例 1（2020上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是()Asin 2yx Bcos2xy Csin2cos2yxx D|sin|yx 例 2（2020上海徐汇区高一期末）函数()sinf xx的最小正周期为_.例 3（2020徐汇区上海中学）函数sin(2)yx的最小正周期是_.例 4（2016上海浦东新区高一期末）函数1cos2yx 的最小正周期是_.例 5.求下列函数的周期：43sin21xy；xy216sin5；xxy3cos3cos；例 6.求下列函数的最小正周期（

11、1）136sin2xy；（2）xxxxy22sin23cossincos21；（3）xxy44cossin；（4）2tan)cos1(cosxxxy 例 7.求下列函数的周期：（1）sin2sin(2)3cos2cos(2)3xxyxx；（2）2sin()sin2yxx；（3）cos4sin4cos4sin4xxyxx 例 8.函数xxy24cossin的最小正周期为（）A.4 B.2 C.D.2 例 9.证明函数3cos)(xxg不是周期函数 【巩固训练】1在下列四个函数中，周期为2的偶函数为（）A.2sin 2 cos2yxx B.22cos 2sin 2yxx C.sin2yxx D.2

12、2cossinyxx 2函数44sincosyxx的最小正周期是_ 3求函数|sin|yx的最小正周期.4函数2sinsin2yxx的最小正周期为_ 5函数()2sincos44f xxx的最小正周期为 6已知函数)722sin(21)(axxf的最小正周期为4，则正实数a=7“12a”是函数22cos 2sin 2yaxax的最小正周期为的 ().A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 2、正余弦函数的奇偶性与对称性 例 1（2020上海崇明区高一期末）函数2sin45sinyxx（）A是奇函数但不是偶函数 B是偶函数但不是奇函数 C既是奇函数又

13、是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 例 2（2017上海市大同中学高一期中）函数4sin 23yx的图象关于（）对称 A原点 B直线6x Cy轴 D直线12x 例 3（2019上海市杨浦高级中学高一期末）函数sin 23yx的图像（）A关于点,06对称 B关于点,03对称 C关于直线6x对称 D关于直线3x对称 例 4（2018上海市淞浦中学高一期中）函数22cos1yx是（）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 例 5（2018上海浦东新区）下列函数中，周期是，又是偶函数的是()Ay=sinx By=cosx Cy=sin2x

14、Dy=cos2x 例 6.判断下列函数的奇偶性：（1）xxycossin；（2）xxysin2；（3）2lg(sin1 sin)yxx 例 7.（1）函数sin(2)yx的图像关于y轴对称，则=_ （2）函数5cos(2)yx为奇函数，则 例 8.（1）函数3sin(2)3yx的对称轴方程是 （2）若函数sin 2cos2yxax的图像关于3x对称，则a 【巩固训练】1函数()1sin1sinf xxx的奇偶性为 2函数3sin 26yx图像的一条离直线10 x 最近的对称轴方程是 32sincos 2yxxxx是 函数 4若函数1)2sin(3)(xxf，则)(xf是（）A周期为 1 的奇函

15、数 B周期为 2 的偶函数 C周期为 1 的非奇非偶函数 D周期为 2 的非奇非偶函数 5判断下列函数的奇偶性（1）1 sincos()1 sincosxxf xxx （2）44()sincoscos2f xxxx 3、正余弦函数的单调性 例 1（2020上海高一课时练习）已知函数sinyx与cosyx，在下列区间内同为单调递增函数的是()A0,2 B,2 C3,2 D3,22 例 2（2020上海崇明区高一期末）已知函数 sin 23fxx在区间0,a（其中0a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A02a B012a C*,12akkN D*22,12kakkN 例 3（2020华东师范大

16、学第三附属中学高一期末）函数cos 24yx的单调递减区间是_.例 4（2020上海市控江中学高一期中）5sin 24fxx的单调减区间是_.例 5（2019上海市奉贤中学高一期末）函数cos2yx的单调增区间是_.例 6（2020上海高一课时练习）函数sin6yx的递减区间是_.例 7.求列函数的单调增区间（1）cos2yx （2）2sin()4yx （3）12sin()243xy （4）|sin()|4yx.例 8.求函数121()log cos()34f xx的单调递增区间.例 9.已知函数()2cos(sincos)1f xxxxxR，（）求函数()f x的最小正周期；（）求函数()f

17、 x在区间 384，上的最小值和最大值 例 10.已知函数2()12sin2sincos888f xxxx 求：（I）函数()f x的最小正周期；（II）函数()f x的单调增区间 例 11.已知函数2()cos12f xx，1()1sin22g xx （1）设0 xx是函数()yf x图象的一条对称轴，求0()g x的值（2）求函数()()()h xf xg x的单调递增区间 【巩固训练】1求下列函数的单调递增区间：（1）xy24sin3；（2）42cos2xy；（3）xysin；（4）Rxxxxxxf,cos3cossin2sin22 2函数xysin2的单调增区间是（）A)(22,22Z

18、kkk B)(232,22Zkkk C)(2,2Zkkk D)(2,2Zkkk 3函数2sinxy的单调递减区间是（）A)(4,4Zkkk B)(43,4Zkkk C)(4,4Zkkk D)(34,4Zkkk 4设函数 2sin2cos1468xfxx（1）求 f x的最小正周期；（2）若函数 yg x与 yf x的图像关于直线1x 对称，求当40,3x时，yg x的最大值 反思总结 三角函数是高中重要知识点，亦是高考中考查的热点内容，本章学习过程中学生应理解正弦、余弦函数的概念以及会用“五点法”作图；掌握其奇偶性、单调性、值域及最值；其中对三角函数图像的直观反映是学生研究三角函数及其性质的重

19、要工具，对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。第 6 讲 正余弦函数图像及其性质 知识梳理 1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数xysin，2,0 x的图象中，五个关键点是：)0,0()1,2()0,()1,23()0,2(2、正弦函数Rxxy,sin的图像：把xysin，2,0 x的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到Rxxy,sin的图像，此曲线叫做正弦曲线。由正弦函数图像可知：（1）定义域：R （2）值域：1,1；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin|x，即 1sin1x，也就是说，正弦函数的值域是

20、1,1亦可由正弦图像直接得出。（3）奇偶性：奇函数 由xxsin)sin(可知：xysin为奇函数，正弦曲线关于原点O对称 （4）单调递增区间：zkkk,22,22；（5）单调递减区间：zkkk,232,22；（6）对称中心：（0,k）；（7）对称轴：2 kx （8）最值：当且仅当,22 kxy取最大值1maxy；当且仅当,232 kxy取最小值1miny。（9）最小正周期：2T 一般地，对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知)0(2,4,2,2,4,kzkk且都是

21、这两个函数的周期 对于一个周期函数)(xf，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2kzkk且都是它的周期，最小正周期是2 注意：1.周期函数定义域Mx，则必有MTx,且若0T，则定义域无上界；0T则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(xf就不为周期函数;3.T往往是多值的（如xysin中,4,2,2,4,都是周期）周期T中最小的正数叫做)(xf的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数Rxxy,cos的图像：（1）定义域：R（2）值域：1,1（3）奇偶性：偶函数

22、（4）单调递增区间：kk2,2，Zk（5）单调递减区间：Zkkk,2,2（6）对称中心：（0,2k）（7）对称轴：kx （8）最值：当且仅当,2kx y取最大值1maxy；当且仅当,2 kxy取最小值1miny。（10）最小正周期：2T；例题解析 一、正余弦函数的图像 例 1.画出下列函数在0,2 上的图象（1）1 sinyx （2）cosyx 【难度】【答案】如图【解析】(1)第一步列表（见下表）第二步：描点、作图（见右上图）(2)第一步列表（见下表）第二步：描点、作图（见右上图）例 2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合：1(1)sin2x 1(2)cos2x 【难度】

23、【答案】（1）52,2,66kkkZ；（2）52,2,33kkkZ【解析】（1）作出正弦函数sin,0,2 yxx的图像：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：52,2,66kkkZ（2）作出余弦函数cos,0,2 yxx的图像：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：52,2,33kkkZ 例 3.定义函数sin,sincos()cos,sincosxxxf xxxx，根据函数的图像与性质填空：(1)该函数的值域为_；(2)当且仅当_时，该函数取得最大值；(3)该函数是以_为最小正周期的周期函数；(4)当且仅当_时，()0f x.【难度】【答 案】(1)2 1,2;(2)2,4xkkZ;(3)

24、2;(4)22()2kxkkZ 例 4.函数,|,|sinxxxy的大致图像是（）【难度】【答案】C 分析：观察四个图像，A、D 图像关于原点对称，是奇函数；B 图像关于y轴对称，是偶函数；C 图像非奇非偶函数。那么该函数的大致图像便迎刃而解 例 5（2019上海长宁区高一期末）函数costanyxx（302x且2x）的图像是下列图像中的（）A B C D【答案】C【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3sin,0,22costansin,.2xxxyxxxx或.由此判断出正确的选项为 C.故选 C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的

25、求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.例 6（2020上海高一课时练习）图中的曲线对应的函数解析式是（）A|sin|yx Bsin|yx Csin|yx D|sin|yx 【答案】C【解析】当 x0,所以 y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以 y=sin|x|.例 7（2020上海高一课时练习）函数costanyxx()22x的大致图象是（）A B C D【答案】C【分析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状【详解】由题意得sin,02sin,02xxycosx tanxxx，所以其图象的大体形状如选项 C 所示 故选 C【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的

26、绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题【巩固训练】1用五点作图法作函数1 cosyx 在0,2 上的图象【难度】【答案】如图【解析】(1)第一步列表（见下表）第二步：描点、作图（见右上图）2已知02,sincosxxx且，则x的取值范围是（）A.0,4 B.5,44 C.5(,2)4 D.50,244【难度】【答案】D 3函数cosyxx 的部分图像是()【难度】AoyxBoyxCoyxDoyx【答案】D 4 同一坐标系中，函数3cos()(0,2)22xyx的图像和直线12y 的交点个数有_个【难度】【答案】两个，分别为5,33 二、正余弦函数的定义域值域 1、正余弦函数的定义域 例

27、 1（2020上海高一课时练习）函数cossinyxx的定义域为_.【答案】2,2,2kkkZ【分析】根据不等式组cos0sin0 xx，结合各象限角和轴线角三角函数值的符号即可得解.【详解】由题可得cos0sin0 xx，根据各象限三角函数值的符号可得，x的终边位于第二象限或者y轴的非负半轴，x轴的非正半轴，即2,2,2xkkkZ.故答案为：2,2,2kkkZ【点睛】此题考查求函数定义域，关键在于准确求解三角函数相关不等式，注意定义域的书写形式.例 2.求下列函数的定义域（1）)25lg(2sin2xxy（2）1lgcos()32yx （3）21sin16yxx【难度】【答案】（1）33(5

28、,0,2222 （2）(2,2)3xkk （3）(4,0,x 【解析】（1）由2sin20250 xx得：255kxkx，结合数轴得：所求函数的定义域为：33(5,0,2222.（2）1cos()32x (2,2)3xkk.（3）因sin0 x 且216x，则(4,0,x.例 3.（1）已知f（x）的定义域为0，1），求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域【难度】【答案】见解析 分析：求函数的定义域：（1）要使 0cosx1，（2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx以它的值充当角 解：（1）0cosx12k2x2k+2，且x2k（kZ）所求函数的定义

29、域为xx2k2，2k+2且x2k，kZ （2）由 sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）又1cosx1，0cosx1 故所求定义域为xx（2k2，2k+2），kZ 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线 例 4.求函数lg(sincossincos3)yxxxx的定义域【难度】【答案】R【解析】解：令 sincostxx，则2,2t，21sincos2txx1 1,2 2 sincossincos3xxxx0 恒成立，所以函数的定义域为R.2、正余弦函数的值域与最值 例 1（2020上海浦东新区华师大二附中高一月考）函数cos(),0,223

30、xyx上的值域是_.【答案】1,12【分析】当0,2x时，2,2333x，结合cosx的性质即可得到答案.【详解】当0,2x时，2,2333x，则1cos(),1232x，函数 cos(),0,223xyx上的值域是1,12.故答案为：1,12【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.例 2.（1）函数sin3cos,6 2yxx x 的值域是 .（2）函数3sincos,0,yxx x的值域是 .【难度】【答案】（1）2,1y（2）1,2y 【解析】解：（1）sin3cos=2sin()3yxxx，由,6 2x ，,32 6x 故1sin()1,)32x，2

31、,1y。（2）3sincos=2sin()6yxxx，由0,x，2,663x 故1sin(),162x，1,2y。注：此类题型主要利用辅助角公式及三角函数的有界性来进行求解 例 3.已知函数 23sinsincosf xxxx，,2x，求 f x的最大值和最小值【难度】【答案】()f x的最大值为3；()f x 最小值为312。【解析】解：313()(1 cos2)sin2sin(2)2232f xxxx.因为,2x，所以,2 52333x.当2233x，即2x 时，()f x的最大值为3；当3232x，即1112x 时，()f x的最小值为312。例 4.函数sincos66yxx的最大值、

32、最小值分别为（）A.2，2 B.13,13 C.2,2 D.226,226【难度】【答案】D 例 5.求下列函数的值域：2cossin,4 4yxx x .【难度】【答案】12 5,24y【解析】解：22cossinsinsin1yxxxx，令sin xt，由,4 4x ，22,22t，则22151()24yttt ，当12t，即6x时，max54f.当22t，即4x 时，min122f.所以12 5,24y.注：此类题型主要利用二次函数的知识以及三角函数的有界性综合考虑 例 6.求下列函数的值域sincos1 sincosxxyxx 【难度】【答案】方法依次是（1）先降幂，再用辅助角公式，最

33、后化为一般三角函数式（考察重点）；（2）化为二次函数；（3）化为对勾函数、二次函数、一次函数或分式函数 解：(1)sincos2sin()2,1 1,24txxx 令21sin cos2txx 21121212,1)(1,1222ttyt值域是 注：注意函数的定义域，注意sin,cos1xx 例 7.求函数1 cos3cosxyx的值域【难度】【答案】1,0【解析】解：1 cos3cosxyxyxy31cos1yyx131cos，即1131yy，所以解得函数1 cos3cosxyx的值域是 1,0 【巩固训练】1求函数的定义域，值域：1)xysinlg 2)xycos2【难度】【答案】（1）定

34、义域kk2,2，值域为0,(；（2）定义域为R，值域为2,21 2函数)sinlg(cosxxy的定义域是_【难度】【答案】)24,243(kk 3求下列函数的定义域(1)1sintanyxx；(2)2cos25yxx【难度】【答案】见解析 解：等价转化为求一个不等式组的解(1)sin0tan0,()2xxxkkZ(2,2),()2xkkxkkZ(2)2cos0250 xx2,2,()22 5,5xkkkZx 33 5,.,522 22x 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能 4

35、函数xxy6cos2sin的最大值为_【难度】【答案】234【解析】23131sin()cos()cos(ssin)cossin2262224yxxxco xxxx 31313cos2sin2cos(2)444264xxx，由三角函数有界性得maxy234 5函数223sin4cos4,33yxxx 的最大值 ，此时x的值是 【难度】【答案】max154y，23x【解析】222213sin4cos43cos4cos13(cos)33yxxxxx 又211,cos3322xx，结合函数解析式，当且仅当1cos2x 时，max154y 6函数3cos6sin2)(2xxxf的最大值为 .【难度】【

36、答案】9【解析】222319()2sin6cos32cos6cos52(cos)22f xxxxxx 又1cos1x，结合函数解析式，当且仅当cos1x 时，max9y 7求函数3,6,sin2cos872xxxy的值域【难度】【答案】3 1,2y 【解析】解：278cos2sinyxx=2278cos2(1cos)2(cos2)3xxx,6 3x ，1cos,12x，3 1,2y 8求函数sincossincosyxxxx的最小值【难度】【答案】1【解析】解：设sincos,xxt2,2,t 则21sin cos2xxt，所以()yf t211,2(1)t(2,2)t，当12,2t 时，y有

37、最小值1.9求函数xxycos3sin1的值域【难度】【答案】方法有两种：（1）利用斜率定义；（2）分母乘到 y 这边来，运用辅助角公式，利用三角函数的有界性解题答案是43,0 10若函数2()2sin2 3sinsin2f xxxx能使得不等式2f xm|()|在区间203,上恒成立，则实数m的取值范围是_ 【难度】【答案】(1,2 11若动直线xa与函数()sinf xx和()cosg xx的图像分别交于,M N两点，则MN的最大值为 【难度】【答案】|sincos|2|sin()|24MNaaa，所以，最大值为2.12对于函数()f x，在使()f xM成立的所有常数M中，我们把M的最大

38、值称为函数()f x的“下确界”，则函数22()sinsincsccscf xxxxx的“下确界”为_.【难度】【答案】0 13要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求出此矩形的面积.【难度】【答案】矩形面积的最大值为 1，4【解析】设COB，则(0,)2 矩形ABCD的长为2cos，宽为sin.从而2cossinsin2ABCDS，(0,)2(0,)2，2(0,)，则sin 2(0,1 因此，矩形面积的最大值为 1，此时 4.即 做角045COB，过射线OC与半圆相交与点C，过点C做边AB的垂线，交点为B，过点C做边AB的平行线，交半圆与点D，过点D做

39、边AB的垂线，交点为A，矩形ABCD即为所得.14已知函数2()2sin3cos24f xxx，,4 2x（I）求()f x的最大值和最小值；（II）若不等式()2f xm在,4 2x上恒成立，求实数m的取值范围【难度】【解析】（）()1 cos23cos21 sin23cos22f xxxxx ODCBA12sin 23x 又,4 2x，22633x，即212sin 233x，maxmin()3,()2f xf x（）()2()2()2f xmf xmf x，,4 2x max()2mf x且min()2mf x 14m，即m的取值范围是(1,4)15求函数(sin2)(cos2)yxx的最

40、大值和最小值【难度】【答案】见解析 解：原函数可化为：sincos2(sincos)4yxxxx，令sincos(|2)xxt t，则21sin cos2txx，2211324(2)222tytt 22,2t ，且 函 数 在2,2上 为 减 函 数，当2t 时，即2()4xkkZ时，min92 22y；当2t 时，即32()4xkkZ时，max92 22y 三、正余弦函数的性质 1、正余弦函数的周期性 例 1（2020上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是()Asin 2yx Bcos2xy Csin2cos2yxx D|sin|yx【答案】D【分析】根据三角函数的周期公式可排

41、除选项 B；根据函数的奇偶性可排除 A，C；即可得答案.【详解】函数sin 2yx的最小正周期为22，且为奇函数，所以 A 不正确；函数cos2xy 的最小正周期为2412，所以 B 不正确；函数sin2cos22sin 24yxxx，所以最小正周期为22，非奇非偶函数，所以 C 不正确；函数|sin|yx的最小正周期为1，且为偶函数，故 D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题.例 2（2020上海徐汇区高一期末）函数()sinf xx的最小正周期为_.【答案】2【分析】利用sinyAxb的最小正周期为2，即可得出结论【详解】解：函数()sinf xx的最

42、小正周期为：22.故答案为:2.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了sinyAxb的最小正周期为2，属于容易题 例 3（2020徐汇区上海中学）函数sin(2)yx的最小正周期是_.【答案】2【分析】直接利用sin()yAx最小正周期为2T求解.【详解】函数sin(2)yx的最小正周期是22T.故答案为：2【点睛】本题主要考查三角函数的周期，还考查了运算求解的能力，属于基础题.例 4（2016上海浦东新区高一期末）函数1cos2yx 的最小正周期是_.【答案】；【分析】利用余弦函数的最小正周期公式2T即可求解.【详解】因为函数1cos2yx，2 所以222T，故答案为：【点睛】本题考查

43、了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题.例 5.求下列函数的周期：43sin21xy；xy216sin5；xxy3cos3cos；【难度】【答案】（1）32；（2）4（3）例 6.求下列函数的最小正周期（1）136sin2xy；（2）xxxxy22sin23cossincos21；（3）xxy44cossin；（4）2tan)cos1(cosxxxy【难度】【答案】（1）32；（2）（3）（4）2 例 7.求下列函数的周期：（1）sin2sin(2)3cos2cos(2)3xxyxx；（2）2sin()sin2yxx；（3）cos4sin4cos4sin4xxyxx 【

44、难度】【答案】见解析 解：（1）133sin(2)sin2sin2cos2622tan(2)6133cos(2)cos2cos2sin2622xxxxyxxxxx，周期2T（2）2sincossin 2yxxx ，故周期T（3）1tan4tan(4)1tan44xyxx，故周期4T 例 8.函数xxy24cossin的最小正周期为（）A.4 B.2 C.D.2【难度】【答案】C 例 9.证明函数3cos)(xxg不是周期函数【难度】【答案】反证法【巩固训练】1在下列四个函数中，周期为2的偶函数为（）A.2sin 2 cos2yxx B.22cos 2sin 2yxx C.sin2yxx D.2

45、2cossinyxx 【难度】【答案】B 2函数44sincosyxx的最小正周期是_【难度】【答案】4422222sincos(sincos)2sincosyxxxxxx 211cos431sin 21(1 cos4)2444xxx ,故最小正周期为 2T.3求函数|sin|yx的最小正周期.【难度】【答案】由图得，最小正周期为 4函数2sinsin2yxx的最小正周期为_【难度】【答案】【解析】2111sinsin2(1 cos2)sin2(sin2cos2)222yxxxxxx 512sin(2),222xT 5函数()2sincos44f xxx的最小正周期为 【难度】【答案】【解析】

46、2sin()cos()sin2()sin(2)cos24442yxxxxx 22T 6已知函数)722sin(21)(axxf的最小正周期为4，则正实数a=【难度】【答案】14a 【解析】由242a 得，14a 7“12a”是函数22cos 2sin 2yaxax的最小正周期为的 ().A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件【难度】【答案】A 2、正余弦函数的奇偶性与对称性 例 1（2020上海崇明区高一期末）函数2sin45sinyxx（）A是奇函数但不是偶函数 B是偶函数但不是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数【答案】B

47、【分析】将函数化简，利用奇偶性的定义，判断出正确选项.【详解】函数2sin45sinyxx 222sincossincos22xxxx，coscosfxxxf x ，函数2sin45sinyxx 是偶函数.故选:B.【点睛】本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题.例 2（2017上海市大同中学高一期中）函数4sin 23yx的图象关于（）对称 A原点 B直线6x Cy轴 D直线12x【答案】D【分析】根据正弦函数性质，令232xk，求解x，结合kZ，可得对称轴.【详解】解：函数4sin 23yx,令232xk，得1212xk，kZ，当0k 时，可得图象关于12x对称 故选：D【点睛

48、】本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴：232xk是关键，考查赋值法的应用，属于基础题 例 3（2019上海市杨浦高级中学高一期末）函数sin 23yx的图像（）A关于点,06对称 B关于点,03对称 C关于直线6x对称 D关于直线3x对称【答案】B【分析】根据sinyx关于点,0,()kkZ对称,sinyx关于直线()2xkkZ对称来解题.【详解】解：令2()3xkkZ,得126xk,所以对称点为1,026k.当1k,为,03,故 B 正确；令2()32xkkZ,则对称轴为212kx,因此直线6x和3x均不是函数的对称轴.故选 B【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据sin

49、yx关于点,0,()kkZ对称,关于直线()2xkkZ对称.例 4（2018上海市淞浦中学高一期中）函数22cos1yx是（）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数【答案】B【分析】利用二倍角余弦公式化简，从而可判断函数的周期性与奇偶性.【详解】22cos1cos2yxx 函数22cos1yx是最小正周期为的偶函数，故选：B【点睛】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查二倍角余弦公式，属于基础题.例 5（2018上海浦东新区）下列函数中，周期是，又是偶函数的是()Ay=sinx By=cosx Cy=sin2x Dy=cos2x【答案

50、】D【详解】A,B 两项的周期均为，所以排除，C 项为奇函数，D 为偶函数且周期是，所以选 D 例 6.判断下列函数的奇偶性：（1）xxycossin；（2）xxysin2；（3）2lg(sin1 sin)yxx【难度】【答案】（1）奇；（2）奇；（3）奇函数 例 7.（1）函数sin(2)yx的图像关于y轴对称，则=_ （2）函数5cos(2)yx为奇函数，则 【难度】【答案】（1）,2kkZ.（2）,2kkZ 例 8.（1）函数3sin(2)3yx的对称轴方程是 （2）若函数sin 2cos2yxax的图像关于3x对称，则a 【难度】【答案】（1）1212xk，kZ （2）33a 【巩固训