2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年辽宁省沈阳市第二中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1已知集合ln1,AxxxR，集合|2,Bx xxZ，则AB（）A 1,2 B2,1,0,1,2 C0,2 D2 2,【答案】A【分析】先化简集合 A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合 ln1,AxxxRxxe 0，集合|2,2,1,0,1,2Bx xxZ，所以AB 1,2，故选：A 2某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A

2、15 B20 C25 D30【答案】A【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量【详解】由题意得样本容量为775015350 故选：A 3一个袋中装有大小、质地相同的 3 个红球和 3 个黑球，从中随机摸出 3 个球，设事件A“至少有2 个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是（）A都是黑球 B恰好有 1 个黑球 C恰好有 1 个红球 D至少有 2 个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可【详解】解：从装有大小和质地完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 3 个球，在A中，至少有 2 个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误

3、，在B中，至少有 2 个黑球和恰有 1 个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确，在C中，至少有 2 个黑球和恰有 1 个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，第 2 页 共 15 页 在D中，至少有 2 个黑球和至少有 2 个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误 故选：B 4 考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足573002tNN（0N表示碳 14 原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到

4、 5730 年之间，则“_”为（参考数据：22log 31.6,log 52.3）（）A4011 B3438 C2865 D2292【答案】A【分析】利用题目所给的衰变规律计算出t的范围即可.【详解】由题可得573013225t，两边同取以 2 为底的对数，得22231loglog 3log 50.757305t ，所以40115730t，则推测良渚古城存在的时期距今约在 4011 年到 5730 年之间.故选：A.5在下列区间中，函数 43xf xex的零点所在的区间为（）A1,04 B10,4 C1 1,4 2 D1 3,2 4【答案】C【分析】先判断函数 f x在R上单调递增，由1041

5、02ff,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数 43xf xex在R上连续单调递增，且114411221143204411431022feefee ,所以函数的零点在区间1 1,4 2内，故选 C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6设函数 222,1log1,1xxa xf xxx，若函数 f x的最大值为1，则实数a的取值范围为（）第 3 页 共 15 页 A,2 B2,C,1 D,2 【答案】D【解析】先求得1x时2()log(1)f xx 的值域，当1x时，根据二次函数图象与性质可

6、得max()(1)f xf，根据题干条件，列出不等式，即可得答案.【详解】当1x时，2()log(1)f xx 为单调递减函数，所以当 x=1 时，max2()(1)log 21f xf ，当1x时，2(2)xxf xa，为开口向下，对称轴为 x=-1 的抛物线，所以当 x=-1 时，2(2)xxf xa 有最大值(1)1fa，由题意得11a，解得2a，故选：D 7已知函数 231xxkfxx有 4 个零点，则 k的取值范围是（）A1,13 B11,3 C1,12 D11,2【答案】B【分析】将函数零点问题转化为曲线23yxx与直线1ykx的交点问题，如图分析临界直线，可得k的取值范围.【详解

7、】2310 xxkx,即231xxkx，函数1ykx表示恒过点0,1的直线，如图画出函数23yxx，以及1ykx的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点3,0，此时直线的斜率1 01033k，另一个临界值是直线与23yxx 相切时，联立方程得2310 xkx，2340k，解得：1k，或第 4 页 共 15 页 5k ，当1k 时，切点是1,2如图，满足条件，当5k 时，切点是1,4不成立，所以1k，如图，曲线23yxx与直线1ykx有 4 个交点时，k的取值范围是11,3.故选：B 8已知函数 xxf xee，若不等式222180tfmmfme（e是自然对数的底数），对任意的2,4m 恒成立

8、，则整数t的最小值是（）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】先判断函数 f x的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到22101temm，只需要求二次函数2()2101g mmm的最大值，即解得t的范围，再利用对数式比大小即得到整数t的最小值.【详解】由指数函数性质知xye和xye 在 R 上是递增函数，故 xxf xee在 R 上是递增函数.又 xxxxfxeeeef x ，故 f x是奇函数.故不等式222180tfmmfme即转化为：28221tfmefmm，即28221tfmefmm，故28221tmemm，所以22101temm，而2()2101g mmm对称轴为52m，根据二次

9、函数对称性可知对任意的2,4m 上，当2m 时，max()(2)2 4 102129g mg ，故max()29teg m，故ln29t，而3429ee，即3ln294，故整数t的最小值是 4.故选：C.【点睛】本题解题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：数形结合法：画图像，对关键点限制条件；分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.二、多选题 9某篮球运动员 8 场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A中位数为 3 B

10、众数为 3，6，8 第 5 页 共 15 页 C平均数为 5 D方差为 4.8【答案】BC【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.【详解】对数据 2，6，8，3，3，4，6，8，按照从小到大排序即为2,3,3,4,6,6,8,8，中间两个数字为：4,6，故其中位数是5，故A错误；显然数据3,6,8均出现3次，故众数为3,6,8，则B正确；又其平均数为14023 246 28 2588 ，故C正确；则其方差为：1389 1 944 1 1 94.7588 ，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.10下列所给函数中值域

11、为0,的是（）A 23f xx B 1xf xe C 23log1f xx D 15,01,0 xxf xxx 【答案】AD【解析】A.利用幂函数的性质判断；B.令 1,00,tx，转化为指数函数判断；C.令21 1tx，转化为对数函数判断；D.分0 x 和 0 x 讨论求解判断.【详解】A.因为 23f xx的定义域为|0 x x，因为函数在0,上是减函数且为偶函数，所以其值域是0,，故正确；B.令 1,00,tx，则 10,11,xf xe，故错误；C.令21 1tx，则 23log10,)f xx，故错误；D.当0 x 时，0,f x，当 0 x 时，1,)f x，综上：0,f x，故正

12、确；故选：AD 11下列判断不正确的是（）A函数1()f xx在定义域内是减函数 B2()ln28f xxx的单调减区间为（4，）第 6 页 共 15 页 C已知0,0 xy，且111xy，若23xymm恒成立，则实数 m 的取值范围是（4，1）D已知 314,1log,1aaxa xf xx x在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是1 1,7 3【答案】ABD【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行判断即可.【详解】A：因为(1)1,(1)1ff，显然不符合减函数的性质，所以 A 不正确；B：函数2()ln28f xxx的定义域满足2280420 xxx

13、x 所以定义域为,24,，设 228,24,txxx ，在4，上单调递增，ln0,ytt，单调递增，由复合函数的单调性2()ln28f xxx的单调增区间为（4，），所以 B 不正确.C：因为0,0 xy，所以有11()()2224yxy xxyxyxyx y，当且仅当yxxy时取等号，即当2xy时取等号，要想23xymm恒成立，只需 23441mmm ，故 C 正确；D：当1x时，()314f xaa是减函数，则310a，即13a，当1x 时，()logaf xx是减函数，则01a，又因为 函数 314,1log,1aaxa xf xx x在 R 上是减函数，还需要满足31 1 4log 1

14、aaa 即17a，综上 a 的取值范围是1 1,7 3，故 D 不正确.故选：ABD 12已知函数2,0()2,0 x xf xxx x，使得“方程21()()04fxbf x有 6 个相异实根”成立的充分条件是（）A5,14b B(2,1)b C62,5b D6,15b 【答案】AD【分析】令 tf x.经过分析可得，要使方程21()()04fxbf x有 6 个相异实根，则应满足方程第 7 页 共 15 页 2104tbt有两个不同的解1t、2t，且满足101t，201t.结合12ttb，1 214t t.即可得到121114tttt，构造对勾函数，根据单调性即可得到 154g t，即可得

15、到b的范围，进而得到答案.【详解】令 tf x，方程可化为2104tbt，该方程最多有两个解.当2214 1104bb ，即1b或1b 时，方程有两个不同的解，设为1t、2t，则由韦达定理可得12ttb，1 214t t.当0 x 时，22211f xxxx 在1x 处有最大值 1.作出2,0()2,0 x xf xxx x的图象如下图.由图象可得，当01t 时，yt与函数 yf x有 3 个交点，即方程 f xt有 3 个解.要使方程21()()04fxbf x有 6 个相异实根，则应有101t，201t，且12tt.又12ttb，1 214t t.且121 221ttt t，当且仅当12t

16、t时，等号成立.因为12tt，所以121tt，即1b，所以1b.因为201t，1 214t t，则2114tt，即11014t，所以114t.又101t，所以1114t.所以121114tttt，令 11114g ttt，根据对勾函数的性质可得，当11142t时，函数单调递减；当1112t时，函数单调递增.又 11511444gg，所以1114t时，有 154g t恒成立，即1254tt.所以12514tt，即514b ，则有514b.第 8 页 共 15 页 即“方程21()()04fxbf x有 6 个相异实根”成立的充要条件是514b.所以，“方程21()()04fxbf x有 6 个相

17、异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.故选：AD.三、填空题 13已知lna，3.22b，12log 6c，则用“”连接这三个数应为_.【答案】cba【分析】分别利用函数lnyx、2xy、12logyx的单调性求出 a、b、c的取值范围，进而得出结果.【详解】因为函数lnyx在(0)，上单调递增，且0e，所以lnln1ae，即1a；因为函数2xy 在 R 上单调递增，且-3.210，所以1122log 6log 1=0c，即0c，故cba.故答案为：cba 14已知四个函数：yx；1yx；3yx；12yx.从中任选 2 个，则事件“所选2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为_

18、【答案】13【详解】由四个函数yx；1yx；3yx；12yx，从中任选2个函数，共有246C 种，其中“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”共有、，共有2种，所以“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为2163P.15函数22()loglog(2)f xxx的最小值为_【答案】14 第 9 页 共 15 页【详解】试题分析：2222222111log2 log1logloglog224f xxxxxx 所以，当21log2x ，即22x 时，fx取得最小值14.所以答案应填：14.【解析】1、对数的运算；2、二次函数的最值.16设函数 f x的定义域为 D，若函数 f x满足条件：存

19、在,a bD，使 f x在,a b上的值域是2,2 ab，则称 f x为“双倍函数”，若函数2()log2xf xt为“双倍函数”则实数 t的取值范围是_【答案】104t 【分析】根据题设条件可得2log22xtx的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得20sts 在0,上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.【详解】因为2,xst xD为增函数，设此函数的值域为E，则0,E，而2logys在E上为增函数，故2()log2xf xt为D上的增函数，由2()log2xf xt为“双倍函数”，故()22f aaf bb，故,a b为方程2log22xtx的两个不同的解，故222xxt

20、 即方程2022xxt 有两个不同的解,a b，设2xs，则20sts 在0,上有两个不同的正数解，故2000102140ta ，解得104t.故答案为：104t.四、解答题 第 10 页 共 15 页 17已知223:1;:5402pq xmxmx(1)若 p为真命题，求此不等式的解集；(2)若 p是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围【答案】(1)(2,5x(2)5,24m 【分析】（1）根据分式不等式的求解方法，可得答案；（2）根据充分条件的集合表示形式，利用分类讨论，根据含参二次不等式，可得答案.【详解】（1）已知 P为真命题，由312x，502xx，可得25020 xxx，所以2

21、5x所以不等式的解集为(2,5x.（2）因为 p是 q的充分条件，所以p对应的集合是q所对应集合的子集 q：04522mmxx，可得0)4)(mxmx 当0m时，q：4mxm；因为p对应的集合是q所对应集合的子集，所以245mm，可得524m 当0m 时，q：0 x，所以不符合题意；当0m 时，q：4mxm；因为p对应的集合是q所对应集合的子集，所以425mm，无解 所以 m的取值范围为5,24m 18(1)先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 A：两个骰子点数相同，事件 B：点数之和小于 7.求P AB，P AB；(2)某培训机构在假期招收了 A，B两个数学补习班，A班 10

22、 人，B 班 30 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为 130 分，方差为 115，B班的平均成绩为 110 分，方差为 215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差【答案】(1)1()12P AB，1()2P AB；(2)平均分为 115，方差为 265.【分析】（1）求出试验的样本空间，写出各个事件包含的基本事件，根据古典概型公式即可求出；第 11 页 共 15 页（2）根据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.【详解】（1）抛掷一枚骰子有 6 种等可能的

23、结果，第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字m表示第一枚骰子出现的点数是m，数字n表示第一枚骰子出现的点数是n，则数组,m n表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间,|,1,2,3,4,5,6m nm n，其中共有 36 个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.因为 1,1,2,2,3,3AB，所以3n AB，所以 31()3612n ABP ABn；因为 1,1,1,2,1,3,1,4,AB 1,5,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,5,1,4,4,5,5,6,6，所以18n

24、 AB，所以 181()362n ABP ABn.（2）A班学生成绩用1,2,3,10ix i 来表示，B 班学生成绩用1,2,3,30jyj 来表示.设 A 班平均成绩为x，方差为xS；B 班平均成绩为y，方差为yS.则130 x，115xS，110y，215yS.全体学生的平均成绩为1030130 10110 3011510301030 xyz，全体学生的方差103022111()()40zijijSxzyz 103022111()()40ijijxxxzyyyz.由101011()100iiiixxxx，可得1010112()20iiiixxxzxzxx.同理可得，3030112()20

25、iijjyyyzyzyy.因此，10103030222211111()()()()40zijiijjSxxxzyyyz 22110()30()40 xySxzSyz221101151301153021511011526540.第 12 页 共 15 页 所以，全体学生的平均分为 115，全体学生成绩的方差为 265.19已知函数 f(x)2x 的定义域是0,3，设 g(x)f(2x)f(x2)，(1)求 g(x)的解析式及定义域；(2)求函数 g(x)的最大值和最小值【答案】（1）g(x)22x2x2，x|0 x1（2）最小值4；最大值3.【详解】（1）f(x)2x 的定义域是0,3，设 g(

26、x)f(2x)f(x2)，因为 f(x)的定义域是0,3，所以023023xx，解之得 0 x1 于是 g(x)的定义域为x|0 x1 （2）设 22()24 2224xxxg x x0,1,即2x1,2，当2x=2 即 x=1 时，g(x)取得最小值-4；当2x=1 即 x=0 时，g(x)取得最大值-3 20为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组40,50，第2组50,60，第3组60,70，第4组70,80，第5组80,90，第6组90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组

27、中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀良好一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.【答案】(1)66.8(2)73 第 13 页 共 15 页(3)57 【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；（2）首先确定第65百分位数位于70,80，设其为x，由0.56700.030.65x可求得结果；（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个

28、数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知平均数45 0.0155 0.02665 0.0275 0.0385 0.00895 0.0061066.8x.（2）成绩在40,70的频率为0.010.0260.02100.56，成绩在40,80的频率为0.560.03 100.86，第65百分位数位于70,80，设其为x，则0.56700.030.65x，解得：73x，第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：50 0.008 104人，可记为,A B C D；第6组的人数为：500.006103人，可记为,a b c；则从中任取2人，有,A B，,A C，,A D，

29、,A a，,A b，,A c，,B C，,B D，,B a，,B b，,B c，,C D，,C a，,C b，,C c，,D a，,D b，,D c，,a b，,a c，,b c，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：,A a，,A b，,A c，,B a，,B b，,B c，,C a，,C b，,C c，,D a，,D b，,D c，,a b，,a c，,b c，共15种情况；至少1人成绩优秀的概率155217p.21已知函数 223mmfxxmZ为偶函数，且 35ff（1）求m的值，并确定 fx的解析式；（2）若 log2ag xf xx(0a 且1a)，求 g x在2,3上值域【答

30、案】（1）1m，2f xx；（2）当1a 时，函数 g x的值域为,log 3a，当01a时，g x的值域为log 3,a.第 14 页 共 15 页【详解】试题分析：（1）因为 35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm，解得312m，因为mZ，所以0m 或1m，验证后可知1m，2f xx；（2）由（1）知 2log2ag xxx，函数22yxx在2,3上单调递增，故按1a，01a两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为 35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm，解得312m，因为mZ，所以0m 或1m，当0m 时，3f xx它不是偶函数；当1m 时，2f xx是偶

31、函数；所以1m，2f xx；（2）由（1）知 2log2ag xxx，设22,2,3txx x，则0,3t，此时 g x在2,3上的值域，就是函数log,0,3ayt t的值域；当1a 时，logayt在区间0 3,上是增函数，所以,log 3ay；当01a时，logayt在区间0 3,上是减函数，所以log 3,ay；所以当1a 时，函数 g x的值域为,log 3a，当01a时，g x的值域为log 3,a 【解析】幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意 35ff，可以判断函数在0,上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零

32、，由此可以判断出m可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.22设函数 142xxfxmmR，2ln1g xxx （1）若函数 f x有零点，求实数 m 的取值范围；（2）判断函数 g x的奇偶性，并说明理由；（3）若存在不相等的实数 a，b同时满足方程 0f af b和 0g ag b，求实数 m 的取值范围【答案】（1）0,第 15 页 共 15 页（2）奇函数，理由见解析（3）1,2【分析】(1)换元利用2xt 分析函数的零点问题即可.(2)先判断定义域关于原点对称,再计算 gxg x即可证明

33、为奇函数.(3)由(2)知 g x为奇函数且 0g ag b,故可推导出ab,再根据 0f af b代入 f x换元求解即可.【详解】(1)令2(0)xtt,则函数 12422(2)xxf xmtmtt tm,又函数 f x有零点 令 0f x 则因为0t,故20tm,故0m(2)2ln1g xxx 为奇函数.由 2ln1g xxx 定义域210 xx 恒成立.且 22ln1ln1gxg xxxxx 2222ln1ln1ln1ln10 xxxxxx .即 0gxg x 故 2ln1g xxx 为奇函数.(3)因为 2ln1g xxx 为奇函数,且 21ln1g xxx 在(0,)上为减函数,故 g x为在R上单调递减的奇函数.又 0g ag b,故 ,g ag bgbba 又 0f af b则4224220aaaamm,即44222)(aaaam 所以44222aaaam.令22aan,则222222aaaan,又当22aa时0a 不满足ab,故222aan 又24422222aaaanmnnn在2+，上单调递增.故22212nn 即121,2mm【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.