2023届吉林省长春市第五中学高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2023 届吉林省长春市第五中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合1|,|1Ax yxBy yx，则AB（）A|0 x x B0 x x 且1x C|1x x D|0 x x 【答案】D【分析】根据函数定义域和值域求出,A B，从而求出交集.【详解】由函数定义域可得：0Ax x，由值域可得|0By y，故0ABx x.故选：D 2若复数 z 满足34i1 i z（i 为虚数单位），则复数 z的虚部是（）A5 B52 C52 D5【答案】C【分析】整理izab的形式，由定义即可得到答案.【详解】由题，2234i345，因为34i1 i z，所以5 1 i55

2、5i1 i1 i 1 i22z，所以z的虚部为52，故选：C 3已知a，b满足2,2a，2b，且a，b的夹角为34，则ab（）A2 5 B2 C4 D2 3【答案】B【分析】先求出a b的值，将ab平方转化为数量积计算.【详解】2,2a，所以2 2a，3cos44a ba b，22284824ababa b，所以ab2.第 2 页 共 21 页 故选：B 4函数 log(0af xx a，且1)a 与函数 21g xaxax在同一坐标系中的图像可能是（）A B C D【答案】B【分析】21g xaxax过原点，排除 AC；当01a时，g x开口向下，排除 D，得到答案.【详解】21g xaxa

3、x过原点，排除 AC；当01a时，logaf xx单调递减，g x开口向下，排除 D.故选：B 5一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg20.3010，lg30.4771，结果精确到0.1h）A2.3小时 B3.5小时 C5.6小时 D8.8小时【答案】A【分析】根据已知关系式可得不等式50025001 20%1500 x，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这

4、种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则50025001 20%1500 x，整理可得：0.20.80.6x，0.80.8log0.6log0.2x，0.8lg0.6lg6 1lg2lg3 1log0.62.3lg0.8lg8 13lg2 1，0.8lg0.2lg2 1log0.27.2lg0.83lg2 1，2.37.2x，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.第 3 页 共 21 页 故选：A.6甲乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得 3 分，摸出其他颜色小球得 0分，下列

5、说法中正确的是（）A小明得 6 分的概率为56 B小明得分低于 6 分的概率为56 C小明得分不少于 3 分的概率为56 D小明恰好得 3 分的概率为56【答案】B【分析】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件A，从乙盒中摸出一个红球为事件B，由条件得到 13P A，12P B，则 23P A，12P B，再根据相互独立事件的乘法公式逐一求解即可.【详解】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件A，从乙盒中摸出一个红球为事件B，由题意得：13P A，12P B，则 213P AP A，112P BP B.对于 A 选项，小明得 6 分的概率 1111236PP ABP A P B，所以 A 选项错误；对于

6、B 选项，小明得分低于 6 分的概率21151166PP ，所以 B 选项正确；对于 C 选项，小明得分不少于 3 分的概率 311211123232323PP ABP ABP AB，所以 C 选项错误；对于 D 选项，小明恰好得 3 分的概率 42111132322PP ABP AB，所以 D 选项错误；故选：B.7 在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABB A内，若1D PCM，则PBC的面积的最小值是()第 4 页 共 21 页 A2 55 B510 C55 D5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得

7、0,1,21BPyy，进而结合二次函数性质求得min55BP，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点1,0,1Py zy z，10,0,1D，所以11,1D Py z 因为0,1,0C，11,0,2M，所以11,1,2CM,因为1DPCM，所以11102yz，所以21zy 因为1,1,0B，所以0,1,21BPyy，所以222121562BPyyyy,因为01y，所以当35y 时，min55BP 因为正方体中，BC平面11ABB A，BP 平面11ABB A,故BCBP，所以min1551

8、2510PBCS，第 5 页 共 21 页 故选：B 8已知函数2()e,()1xf xg xx，对任意1x R，存在2(0,)x，使 12f xg x，则21xx的最小值为（）A1 B2 C2ln2 D31ln222【答案】D【分析】令 120f xg xm，将12,x x都用m表示，从而可将21xx构造出关于m的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：由题意，令 120f xg xm，则12exm，21xm，所以11ln2xm，21xm，2111ln2xxmm，令 11ln02h mmm m，所以 112h mm，令 0h m，得12m，所以当10,2m时，0h m，h m单调递

9、减；当1,2m时，0h m，h m单调递增，所以当12m 时，h m有最小值31ln222，即21xx的最小值为31ln222.故选：D 二、多选题 9 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点为 F，过点 F作 C 的一条渐近线的平行线交 C于点 A，交另一条渐近线于点 B若2FAAB，则下列说法正确的是（）A双曲线 C 的渐近线方程为2yx B双曲线 C 的离心率为3 C点 A 到两渐近线的距离的乘积为23b DO为坐标原点，则2tan4AOB【答案】BCD【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.【详解】双曲线的渐近线方程为byxa，第 6

10、 页 共 21 页 不妨设过点 F 的直线与直线byxa平行，交于 C于点 A.对于 A：设双曲线半焦距为 c，过点 F与直线byxa平行的直线的方程为()byxca，与byxa 联立，解得,2 2c bcBa，由2FAAB，设(,)A x y，所以(,)2(,)22cbcxc yxya，可得2,33c bcAa，依题：22224199ccaa，得22223,2cbaa，故渐近线方程为2yx，A 错误；对于 B：由223ca可得3e，B 正确；对于 C：A到两渐近线距离的乘积2221222223AAAAbxaybxaya bbd dcab，C 正确 对于 D：2,2,122OAABOAABbb

11、kkkkaa 故222222462,|,|99323232 3cb ccbcbccOAAB OAc ABcaaa，故|2tan|4ABAOBOA，所以 D 正确 故选：BCD【点睛】关键点睛：求出,A B两点坐标是解题的关键.10已知函数 2sin212cosxf xx，则下列说法中正确的是（）A f xf x B f x的最大值是33 C f x在,2 2 上单调递增 D若函数 f x在区间0,a上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为60646067,33【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】2sin2sin2sin21cos212cos

12、2cos2122xxxf xxxx，A 选项：sin 22sin22cos 222cos2xxf xf xxx，A 选项正确；第 7 页 共 21 页 B 选项：设 sin22cos2xf xtx，则22sin 2cos221sin 21xtxttxt，解得213t，3333t，即max33t，即 f x的最大值为33，B 选项正确；C 选项：因为022ff，所以 f x在,2 2 上不单调，C 选项错误；D 选项：222cos22cos2sin22sin24cos222cos22cos2xxxxxfxxx，令 0fx，解得1cos22x ，即3xk或23xk，Zk，当2,33xkk，Zk时，

13、0fx，函数单调递减，当当24,33xkk，Zk时，0fx，函数单调递增，所以函数 f x的极大值点为3，43，13n，又函数 f x在区间0,a上恰有2022个极大值点，则2021,202233a，即60646067,33a，D 选项正确；故选：ABD.11过抛物线2:2C ypx上一点 A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与 C的另外两个交点分别为 M，N，则（）AC的准线方程是4x B过 C 的焦点的最短弦长为 8 C直线 MN过定点(0，4)D当点 A到直线 MN的距离最大时，直线 MN的方程为2380 xy【答案】AD【分析】由题可得C为216yx，进而判断 A，利用焦点弦的方程结合

14、抛物线的定义结合条件可判断 B，设MN为xmyn，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得 m、n 的数量关系，可判断 C，由C 分析所得的定点 P，要使A到直线MN的距离最大有MNAP，可得此时直线MN的方程判断 D.【详解】将1,4A代入C中得：8p，则C为216yx，所以C的准线方程是4x，故 A 正确；由题可知C的焦点为4,0，可设过C的焦点的直线为4xty，由2416xtyyx，可得216640yty，设交点为,EEFFE xyF xy，第 8 页 共 21 页 则16EFyyt，281688EFEFxxt yyt，所以816EFEFxx，即过 C 的焦点的最短弦长为 16，故 B 不正确

15、；设211,16yMy，222,16yNy，直线MN为xmyn，联立抛物线得：216160ymyn，所以1216yym，1216y yn，又AMAN，所以2212121,41,41616yyAM ANyy 2212121616440256yyyy，因为14y ，24y ，即12440yy，所以124410256yy，整理得121242720y yyy，故16642720nm，得417nm，所以直线MN为(4)17xm y，所以直线MN过定点17,4P，故 C 不正确；当MNAP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2380 xy，故 D 正确.故选：AD.12已知函数()lnf xxax有

16、两个零点12,x x，且12xx，则下列选项正确的有（）A10,ea B()yf x在(0,e)上单调递减 C126xx D若22 1,eea，则212axxa【答案】AD【分析】根据参变分离构造函数 lnxg xx，根据 g x的性质，即可判断 A；求导得 fx，结合10,ea即可判断 B；构造函数 2e,e,2eF xf xfxx，利用导数求解12xx的范围，即可判断 C，根据 21,ffa与0的大小关系结合 f x的单调性即可判断 D【详解】对于 A，由 0f x 等价于lnxax，令 2ln1 ln,xxg xgxxx，令 0gx，得0ex，令 0g x，得ex，所以 g x在0,e单

17、调递增；在e,单调递减，第 9 页 共 21 页 当ex时，g x取极大值 1e=eg，当 1,0 xg x；当1x 时，0g x，10g，则121e,e,xx10,ea，故 A 正确 对于 B，11axfxaxx，当10,xa时，()0fx，()f x单调递增；当1,xa时，()0fx，()f x单调递减，因为10,ea，则1ea，所以()f x在(0,e)单调递增，故 B 错误；对于 C，由 A 可知120exx，当22ex 时，122exx，当2e,2ex 时，令 elnln2e2e2e,e,2F xf xxxaxfxaxx，11112e()222e2e(2e)F xaaaaxxxxxx

18、，22e,2e,2e2eexxxxx，2e22202eeFxaaxx，F x在e,2e上单调递增，e0F xF，2ef xfx，则 222ef xfx，又 21f xf x，122ef xfx，又 f x在0,e上单调递增，12e2e0 xx，122exx，122exx，综上122exx，故 C 错误；对于 D，f x在10,a单调递增，在1,a上单调递减，且22 1,eea，12110,xxaa，110faf x ，11x，2222ln2lne20ffxaa，22xa，21221axxaa，故 D 正确，故选：AD 第 10 页 共 21 页 三、填空题 13已知常数mR，在nxmy的二项展

19、开式中，33x y项的系数等于160，则m _.【答案】2【分析】首先根据展开式中存在33x y一项可知6n，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于m的方程，解方程即可求出参数m的值.【详解】根据已知条件33x y是二项式展开式的某一项，故得6n.由66166CCrrrrrrrrTxmym xy，令6r3，得3r.得33333 16CTm x y，根据已知可得3336C20160mm，解得38m，即2m.故答案为：2.14已知19()4f xxx（04x），则()f x的最小值为_.【答案】4【分析】根据44xx可得119()444f xxxxx，再根据基本不等式求解即可.【详解】因为

20、44xx，故19119()4444f xxxxxxx1491044xxxx149102444xxxx，当且仅当494xxxx，即1x 时取等号.故()f x的最小值为 4.故答案为：4 15已知函数()eexxf xa为偶函数，则不等式2(2)(4)0fmfm的解集为_.【答案】,12,【分析】由()f x为偶函数，算出1a，讨论()fx的单调性奇偶性，利用性质解不等式.【详解】()xxf xeae为偶函数，有()()f xfx，即xxxxeaeeae，得10 xxaee，则1a，()xxf xee，()xxfxee，设()xxg xee，函数定义域为 R，()()xxgxeeg x，)0(x

21、xg xee，所以()fx为奇函数在 R 上单调递增，由2(2)(4)0fmfm，则22(2)(4)(4)fmfmfm 第 11 页 共 21 页 224mm，解得2m或1m，所以不等式的解集为,12,.故答案为：,12,16 已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA 平面 ABC，若该棱锥的体积为 2，2AB，3BC，30ABC，则此球的表面积等于_【答案】52【分析】判断出PB是外接球的直径，从而求得球的表面积.【详解】由于PA 平面 ABC，,AB AC BC 平面ABC，所以,PAAB PAAC PABC，在三角形ABC中，由余弦定理得432 23cos301AC ，所以222

22、ACBCAB，所以BCAC，由于,PAACA PA AC平面PAC，所以BC平面PAC，由于PC平面PAC，所以BCPC，所以三角形PAB和三角形PBC都是直角三角形，且斜边都是PB，所以外接球的直径为PB，设外接球的半径为R，11132,4 332P ABCVPAPA，所以2222424 3252RR，所以球的表面积为2452R.故答案为：52 四、解答题 17已知数列an的通项公式为132nan，Nn.第 12 页 共 21 页(1)求数列2nnaa的前 n项和nS；(2)设1nnnba a，求 nb的前 n项和nT的取值范围【答案】(1)23nSn(2)1 1,4 3 【分析】（1）根据

23、132nan，变形得到263nnana，从而11226nnnnaaaa，利用定义得到2nnaa是等差数列，求出nS；（2）得到111()3 3231nbnn，再利用裂项相消法求和，得到11133nnnTn，由101n求出nT的取值范围.【详解】（1）132nan，264nna，22163nnnanaa，1122613636nnnnaannaa，又112633aa，2nnaa是首项为 3，公差为 6 的等差数列，213632nn nSnn；（2）1113231111()3 3231nnnbnna ann，12)111 1113111(3 32334471nnTnbbnb 111311(1)331

24、3nnnn，101n，1143nT，第 13 页 共 21 页 故nT的取值范围是1 1,4 3.18已知ABC的内角 A、B，C所对的边分别为 a，b，c，若4a，且14cos2Bcb，(1)求 A；(2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值【答案】(1)3(2)2 3 【分析】（1）由于4a，且14cos2Bcb，可得1cos2aBcb，由正弦定理角化边结合两角和的正弦公式，化简可得1cos2A，即可求得答案；（2）由余弦定理结合均值不等式可求得2232bc，利用向量的线性运算可得1()2ADABAC，结合向量模的计算可得2221()4ADcbbc，利用均值不等式即可求得答案.【详解

25、】（1）因为4a，且14cos2Bcb，故1cos2aBcb，所以1sincossinsin2ABCB,即1sincossin()sin2ABABB,所以1cossinsin2ABB,而(0,),sin0BB，故1cos2A,因为(0,),3AA;（2）由题意4a 可得2222cosabcbcA,即22222216,162bcbcbcbcbc，即2232bc，当且仅当4bc 时取等号；又AD是BC边上的中线，故1()2ADABAC,所以22222133()()3212488ADcbbccb，即|2 3AD，所以AD长度的最大值为2 3.19根据国家部署，2022 年中国空间站“天宫”将正式完成

26、在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程 3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2 个及以上程序正确即为第 14 页 共 21 页 闯关成功.现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程

27、序正确的个数 X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】(1)81125(2)分布列见解析，95E X，甲比乙闯关成功的可能性大 【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；（2）直接求出甲编写程序正确的个数 X 的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.【详解】（1）记乙闯关成功为事件 A，所以 232332381555125P AC.（2）由题意知随机变量 X是所有可能取值为 0，1，2，3，343101030CP XC，12643103110CCP XC，2164310122C CP XC，3631013

28、6CP XC，故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 130 310 12 16 所以 1311901233010265E X .所以甲闯关成功的概率为112263，因为8121253，所以甲比乙闯关成功的可能性大.20如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 平面 ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，第 15 页 共 21 页 且12ABAA，E，F 分别是1CC，BC的中点.（）若 D 是1AA的中点，求证：/BD平面 AEF；（）线段 AE（包括端点）上是否存在点 M，使直线1BM与平面 AEF 所成的角为60？若有，确定点 M 的位置；若没有，说明理由.【答案】（）证明

29、见解析；（）存在，点 M 与点 A 重合.【解析】（）要证明线面平行，可证明面面平行，所以连结1DC，1BC，证明平面/AEF平面1BDC；（）根据条件中的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，利用向量法求线面角，得到点M的坐标，确定点M的位置.【详解】（）连接1DC，1BC，因为 D，E 分别是1AA，1CC的中点，故1/AEDC，AE 平面1BDC，1DC 平面1BDC，所以/AE平面1BDC.因为 E，F 分别是1CC，BC的中点，所以1/EFBC，EF 证平面1BDC，1BC 平面1BDC，所以/EF平面1BDC，又AEEFE，AE 平面AEF，AF 平面 AEF，第 16

30、页 共 21 页 所以平面/AEF平面1BDC，又BD平面1BDC，所以/BD平面 AEF，（）题意得 AB，AC，1AA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，1(2,0,2)B，(0,2,1)E，(1,1,0)F.因为(0,2,1)AE，(1,1,0)AF.设平面 AEF 的法向量为(,)nx y z，由00n AEn AF，得200yzxy，令2z，得1x，1y ，所以平面 AEF 的一个法向量为(1,1,2)n.设(0,2,)(01)AMAE，又1(2,0,2)AB，所以11(2,2,2)BMAMAB .若直线1BM与平面 AEF 所成角为60，则111si

31、n60cos,|n B Mn B MnB M 222222|1(2)(1)22(2)|1(1)2(2)(2)(2)2266326548548.解得：0或4=5，即当点 M 与点 A 重合，第 17 页 共 21 页 或45AMAE时，直线1BM与平面 AEF 所成的角为60.【点睛】方法点睛：一般求线面角有如下方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h，而不必画出线面角，利用sinh/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a是直线l的方向向

32、量，n是平面的法向量，利用公式sincos,a n求解.21 已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，椭圆1C的上顶点与抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点 F重合，且抛物线2C过点(2,1)P，O为坐标原点（）求椭圆1C和抛物线2C的标准方程；（）已知直线:(0)l ykxm m与抛物线2C交于 A、B 两点，与椭圆1C交于 C、D 两点，且直线PF平分APB，求首尾顺次连结 O、C、P、D 四点所得图形的面积的取值范围【答案】（）2214xy；24xy；（）6 50,5.【分析】（）由抛物线2C经过点2,1P，可得抛物线方程为24xy，其焦点为0,1F，可知1b，再利用

33、椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（）设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，由已知得120kk，设11,A x y，22,B xy，利用两点求斜率公式求得直线l：yxm 且1m ，联立直线与椭圆方程得2258440 xmxm，求得15m，然后分两种情况将四边形的面积表示为m的函数，进而求得取值范围.【详解】（）由抛物线2C经过点2,1P，得42p，2p，故抛物线方程为24xy 抛物线2C：24xy的焦点为0,1F，1b 又椭圆1C的离心率222132cabaeaaa，解得：2a，所以椭圆1C的标准方程为2214xy；（）将ykxm代入24xy，消去y并整理得：2440 xkxm,第 18

34、页 共 21 页 由题意知，216160km，即2mk,设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k,因为直线PF平分APB，所以120kk,设11,A x y，22,B xy，则121211022yyxx,又2114xy，2224xy，则22121212114440224xxxxxx，124xx,2212121212124414ABxxyyxxkxxxx，所以直线l：yxm 且1m .由2214yxmxy 消y并整理得：2258410 xmxm，由题意知222644 5 4116 50mmm ，解得55m，所以15m 设33,C x y，44,D xy，则23434418,55mmxxx x,23

35、44555xxm,4433,yxm yxm 333111223222OCPPCCPSx yx yyxmx,444111223222OPDPDDPSx yx yyxmx 23434342323469mxmxmm xxx x 222984182469555mmmmm,因为1m ,所以当3 252m时，34330mxmx，当3 212m 时,34330mxmx，当3 212m 时23436525OCPDOCPOPDSSSxxm 第 19 页 共 21 页 此时290,2m,3 2 6 5,55OCPDS,当3 252m时，234363 250,255OCPDOCPOPDSSSxxm,四边形 OCPD

36、 的面积的取值范围是6 50,5.【点睛】本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线，直线与椭圆的位置关系，与椭圆和直线有关的四边形的面积的取值范围问题，关键难点在于将四边形的面积拆分为两个三角形的面积的和或者差的绝对值（根据不同情况而定)的形式注意韦达定理判别式的应用，注意设而不求的思想方法，注意以原点为一个顶点的三角形的面积的坐标表示方法(可用割补法或者向量方法得到).22已知0a，函数()()()F xf xg x的最小值为 2，其中1()exf x，()ln()g xax(1)求实数 a的值；(2)(0,)x，有(1)1(e)f xmkxkgx ，求2mkk的最大值【答案】(1

37、)1e；(2)1.【分析】(1)根据题意求出函数()F x的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数()F x的最小值，列出方程，解之即可；(2)根据题意可得e11lnx mkxkkxkx，即min(e1)0 x mkxk在0,上恒成立且max(ln1)0 xkxk在(0,)上恒成立，利用导数分别研究函数 e1(0)x mu xkxkx和()ln1(0)v xxkxkx的单调性，进而求出min()u x、max()v x，由minmax()0()0u xv x可得1lnlnmkkkkk，即可求解.【详解】（1）由题意知，1()()()eln()(0)xF xf xg xaxx，则11()ex

38、F xx，令()001F xx，令()01F xx，所以函数()F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，第 20 页 共 21 页 所以min()(1)1lnF xFa，又min()2F x，所以1 ln2a，解得1ea，经检验，1ea符合题意.故1ea.（2）由(1)1(e)f xmkxkgx ，得(1)11(e)f xmkxkkxkgx ，即e11lnx mkxkkxkx，对于e1x mkxk，可得不等式e10 x mkxk 在 R 上恒成立，即min(e1)0 x mkxk在 R 上恒成立，设()e1(R)x mu xkxkx，则()ex mu xk，若0k，则()0u x，

39、函数()u x在 R 上单调递增，且()e10 x mu xkxk，符合题意；若0k，令()0lnu xxmk，令()0lnu xxmk，所以()u x在(,ln)mk上单调递减，在(ln,)mk上单调递增，所以min()(ln)ln1u xu mkmkkk，由min()0u x，得ln10mkkk，即1lnmkkk；对于1lnkxkx，可得不等式ln10 xkxk 在(0,)上恒成立，即max(ln1)0 xkxk在(0,)上恒成立，设()ln1(0)v xxkxkx，则1()v xkx，若0k，则(1)120vk，不符合题意；若0k，令1()00v xxk，令1()0v xxk，所以()v

40、 x在1(0,)k上单调递增，在1(,)k上单调递减，所以max1()()lnv xvkkk，由max()0v x，得ln0kk，即lnkk.当0k 时，由得，22221ln11mkkkkkkk ，即21mkk，设 lnh kkk，则 22e2e0h ，110h，第 21 页 共 21 页 故 h k存在零点0k，故21mkk当且仅当0kk，0001lnkkmk时等号成立.综上，2mkk的最大值为 1.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若()f xa或()g xa恒成立，只需满足min()f xa或max()g xa即可，利用导数方法求出()f x的最小值或()g x的最大值，从而解决问题；(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.