2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

《2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题(解析版).pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题 一、单选题 1如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用na表示解下*9,n nnN个圆环所需的最少移动次数，数列 na满足11a，且112,21,nnnanaan为偶数为奇数，则解下 5 个环所需的最少移动次数为（）A5 B10 C21 D42【答案】C【分析】根据已知的数列递推公式，得到5a与1a的等量关系，即可计算出解下5个圆环需最少移动的次数.【详解】由11a，112,21,nnnanaan为偶数为奇数，得54322121414 21

2、18516521aaaaaa 故选：C 2已知数列 na的前n项和为nS，且满足*1112,1,nnaana N，则（）A40100aa B40100aa C40100SS D40100SS【答案】D【解析】首先通过列举数列的项，得到数列 na是周期数列，利用周期判断选项.【详解】211312aa，321113aa，43112aa ，541312aa，所以数列 na是以 3 为周期的周期数列，前三项和316S ，403 13 112aaa，1003 33 112aaa，所以40100aa，第 2 页 共 14 页 4034025136SSa，100310015332SSa，所以40100SS.

3、故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列 na中的项，判断数列是周期数列.3设数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第 37项为（）A0 B37 C100 D37【答案】C【分析】根据等差数列的定义可得数列anbn仍然是等差数列，公差为 d1d2.由已知求得首项和公差，可得选项.【详解】设等差数列an，bn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列，公差为 d1d2.又 d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以数列anbn为常

4、数列，所以 a37b37a1b1100.故选：C.4我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A小寒比大寒的晷长长一尺 B春分和秋分两个节气的晷长相同 第 3 页 共 14 页 C小雪的晷长为一丈五寸 D立春的晷长比立秋的晷长长【答案】C【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的

5、公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.【详解】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列na，其中115a 寸，13135a寸，公差为d寸，则13515 12d，解得110d（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列 nb，首项1135b，末项1315b，公差210d （单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长 10 寸，即一尺，选项 A 正确；春分的晷长为7b，71261356075bbd，秋分的晷长为7a，7116156075aad，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以 B 正确；小雪的晷长为11a，11111015 100115aad，11

6、5 寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b，4a，4113153045aad，412313530105bbd，44ba，故立春的晷长比立秋的晷长长，故 D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.5数列 na满足*111,(,0)nnaatat nNt，则“12t”是“数列 na成等比数列”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断【详解】12t 时，由11a

7、得211122a，311122a，1na，所以na是等比数列，充分性满足；第 4 页 共 14 页 反之若na是等比数列，则212atatt，2322atattt，123,a a a也成等比数列，所以2213aa a，即2242ttt，又0t，所以12t，此时1(*)nanN，满足题意，必要性也满足，应为充要条件 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t 代入计算求出na即可判断，而必要性需由数列na是等比数列求出参数t，因此可由开始的 3 项成等比数列求出t，

8、然后再检验对N*n数列是等比数列即可 6已知a，b，c均为正数，若abc，bca，c a b，abc 成等比数列，且公比为q，则32qqq（）A0 B1 C3 D不确定【答案】B【解析】根据等比数列的定义列式可解得结果.【详解】依题意，有321abccabbcaqqqabcabcabc.故选：B 7若函数2()f xx在区间00,x xx上的平均变化率为1k，在区间00,xx x上的平均变化率为2k，则（）A12kk B12kk C12kk D1k与2k的大小关系与0 x的取值有关【答案】A【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到1k，2k表达式，由题意知0 x，即可得判断1k，2k大小

9、关系.【详解】220000102f xxf xxxxkxxxx，220000202f xf xxxxxkxxxx 由题意知0 x，所以12kk，第 5 页 共 14 页 故选：A 8函数 f x的图象如下图，则函数 f x在下列区间上平均变化率最大的是 A1,2 B2,3 C3,4 D4,7【答案】C【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.【详解】函数 f x在区间上的平均变化率为yx，由函数图象可得，在区间4,7上，0yx即函数 f x在区间4,7上的平均变化率小于 0；在区间1,2、2,3、3,4上时，0yx且x相同，由图象可知函数在区间3,4上的yx最大.所以函数 f x在区间3,4

10、上的平均变化率最大.故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.9定义在区间,a b 上的函数 fx，其图象是连续不断的，若,a b，使得 f bf afba，则称为函数 fx在区间,a b以上的“中值点”则下列函数：f xx；22f xx；ln1f xx；312f xx中，在区间,a b上至少有两个“中值点”的函数是（）A B C D【答案】A【分析】由题意函数 fx在区间,a b上存在一点,f，使得函数 fx在此处的切线的斜率等于,a f a，,b f b两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可【详解】1fx，而 1f bf abababa显然成

11、立，故有无数个“中值点”，符合题设；第 6 页 共 14 页 fxx，而 222()2f bf ababababa，故有且只有一个“中值点”，不合题设；11fxx，而 ln(1)ln(1)0f bf abababa，故有且只有一个“中值点”，不合题设；213()2fxx，而 3311()()220baff ababba，故有两个“中值点”，符合题设；故选:A 10函数()yf x在0 xx处的导数 0fx的几何意义是（）A在点 00,xf x处与()yf x的图象只有一个交点的直线的斜率 B过点 00,xf x的切线的斜率 C点 00,xf x与点(0,0)的连线的斜率 D函数()yf x的图

12、象在点 00,xf x处的切线的斜率【答案】D【解析】由导数的几何意义即可求解.【详解】解：0fx的几何意义是函数()yf x的图象在点 00,xf x处的切线的斜率 故选：D.11 如图，函数的图象在 P 点处的切线方程是8yx ,若点P的横坐标是 5，则 5 5ff()A12 B1 C2 D0【答案】C【详解】试题分析：函数 yf x的图象在点 P 处的切线方程是8yx ，所以，在 P 处的导数值为切线的斜率，55ff5 8 1 2，故选 C【解析】本题主要考查导数的几何意义 点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值 12已知函数()f x和()g x在区间,a b上的图象如图所示

13、，则下列说法正确的是（）第 7 页 共 14 页 A()f x在 a 到 b 之间的平均变化率大于()g x在 a 到 b 之间的平均变化率 B()f x在 a 到 b 之间的平均变化率小于()g x在 a 到 b 之间的平均变化率 C对于任意0(,)xa b，函数()f x在0 xx处的瞬时变化率总大于函数()g x在0 xx处的瞬时变化率 D存在0(,)xa b，使得函数()f x在0 xx处的瞬时变化率小于函数()g x在0 xx处的瞬时变化率【答案】D【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.【详解】解：()f x在 a 到 b 之间的平均变化率是()()f bf aba，()g

14、 x在 a 到 b 之间的平均变化率是()()g bg aba，又()()f bg b，()()f ag a，()()()()f bf ag bg ababa，A、B 错误；易知函数()f x在0 xx处的瞬时变化率是函数()f x在0 xx处的导数，即函数()f x在该点处的切线的斜率，同理可得：函数()g x在0 xx处的瞬时变化率是函数()g x在该点处的导数，即函数()g x在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：0(,)xa b时，函数()f x在0 xx处切线的斜率有可能大于()g x在0 xx处切线的斜率，也有可能小于()g x在0 xx处切线的斜率，故 C 错误，D 正确 故选：

15、D 二、填空题 13若 23f，则 0222limxfxfx _.第 8 页 共 14 页【答案】6.【解析】根据导数的极限定义即可求解【详解】00222222lim2 lim2262xxfxffxffxx .故答案为：6【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.14如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中11223781OAA AA AA A，如果把图中的直角三角形继续作下去，记12,nOA OAOA的长度构成数列 na，则此数列的通项公式为na _ 【答案】*,Nn n【分析】由勾股定理易得.【详解】因为11OA，22OA，33OA，nOAn，所以11a，22a，33a，na

16、n 故答案为：*,Nn n.15 已知函数 lnf xx，数列 na是公差为 2 的等差数列，且 nnaf x，若12310 xxxxe，则11121320ln xxxx_【答案】21【分析】根据题意可得nanxe，由数列 na是公差为 2 的等差数列可得 nx是以2qe的等比数列，由101112132012310()xxxxxxxxq，带入即可得解.【详解】lnnnnaf xx，所以nanxe，121nnaannxeex 第 9 页 共 14 页 所以 nx是以2qe的等比数列，1020211112132012310()xxxxxxxxqeee 2111121320lnln21xxxxe，故

17、答案为：21.16已知 2f xx，3g xx则满足 002fxgx的正数0 x的值为_【答案】173【分析】由导数的定义求两函数在0 x处的导数值，然后利用题目给定的等式建立关于0 x的方程，即可求出正数0 x的值.【详解】由导数的定义知，2200000lim2xxxxfxxx，33002000lim3xxxxgxxx 002fxgx，200223xx，即2003220 xx，解得0173x（舍去）或0173x 故答案为：173 三、解答题 17已知数列 na中，a1=1，其前 n 项和为nS，且满足(21)nnSna nN（1）求数列 na的通项公式；（2）记23nnnba，若数列 nb为

18、递增数列，求 的取值范围【答案】（1）()nan nN（2）,2【解析】（1）项和转换可得11nnnana，继而得到11111nnaaann，可得解；（2）代入可得23nnbn，由数列 nb为递增数列可得，2 321nn，令2 321nncn，可证明 nc为递增数列，即1c，即得解【详解】（1）21nnSna，1122nnSna，11221nnnanana，第 10 页 共 14 页 即11nnnana，11nnaann，11111nnaaann，()nan nN（2）23nnbn 2121313nnnnbbnn=23n-（2n+1）数列 nb为递增数列，2 3210nn，即2 321nn 令

19、2 321nncn，即112 321631232 323nnnncnncnn nc为递增数列，12c，即的取值范围为,2【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.18已知曲线 33yf xxx上一点1,2P，过点P作直线l（1）求与曲线 yf x相切且以P为切点的直线l的方程；（2）求与曲线 yf x相切且切点异于点P的直线l的方程【答案】（1）=2y；（2）9410 xy 【分析】（1）利用导数的定义求 yf x的导函数，进而求出P点处的斜率，写出切线方程.（2）设切点为30000,31x xxx，由

20、（1）所得导函数求斜率，写出含参的切线方程，由点在切线上求参数，即可写出切线方程.【详解】（1）332233333xxxxxxyx xxxxx ，当0 x 时，233yxx，233fxx，则与曲线 yf x相切且以1,2P为切点的直线l的斜率 110kf，第 11 页 共 14 页 所求直线l的方程为=2y（2）设切点坐标为30000,31x xxx，则由（1）知直线l的斜率 220033kfxx，直线l的方程为 320000333yxxxxx，又直线l过点1,2P，3200002333 1xxxx，解得01x（舍去）或012x 所求直线的斜率的2209334kx，故直线l的方程为 9214y

21、x ，即9410 xy 19已知数列 na满足：114a，1312nnaa（1）求证数列2na 是等比数列；（2）若数列 nb满足22nnnba，求nb的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）先求出数列 nb的通项公式，再利用10nnbb判断出nb单调递减，求出nb的最大值【详解】（1）因为13323(2)22nnnaaa，所以2na 是以1724a 为首项，以32为公比的等比数列，所以数列2na 是等比数列（2）由（1）得1732()42nna，所以312143nnnb 因为413114 3214 32nnnnnnbb 3132228 3238

22、29 39(23)0nnnnnnnn ，所以1nnbb，所以nb单调递减，所以nb的最大值为12b 【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)判断数列单调性的方法：比较法；函数单调性法 20某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择.调查表明，凡是在这星期一选A菜的学生，下星期一会有20%改选B菜；而这星期一选B菜的学生，下星期一会有30%改选A菜.用na、nb分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数.第 12 页 共 14 页（1）试用1na（*nN且2n）表示na，并判断数列300na 是否为等比数列，请说明理由；（2）若第1个星

23、期一选A菜的有200名学生，则第10个星期一选A菜的大约有多少名学生？【答案】（1）答案见解析；（2）第10个星期一选A菜的大约有300名学生.【分析】（1）根据已知条件可得出111502nnaa，整理得出113003002nnaa，分1300a、1300a 两种情况讨论，结合等比数列的定义可得出结论；（2）根据（1）中的结论可求得数列 na的通项公式，即可求得10a的值.【详解】（1）由题意，知对*nN有500nnba，所以当*nN且2n时，1143500510nnnaaa，所以111502nnaa，所以113003002nnaa，所以当1300a 时，数列300na 不是等比数列，当130

24、0a 时，数列300na 是以1300a 为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知当1200a 时，111110030030022nnnaa，所以11003002nna，所以1091003003002a，所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生.21已知数列na的前n项和nS满足：nnSna（1）求证：数列1na 是等比数列并写出na的通项公式；（2）设(2)(1),nnbn a如果对任意正整数n，都有214nbtt，求实数t的取值范围.【答案】（1）证明见解析，11()2nna ；（2）11(,)42.【分析】（1）由题设得112a 且11nnnaaa，即可得11112nnaa，等

25、比数列得证，写出通项公式.（2）由（1）得22nnnb，则有1132nnnnbb，即可判断 nb的最大项，而对任意正整数n，都有214nbtt，即为2max1()4nttb，进而求t的范围.【详解】（1）当1n 时，1111aSa，即112a，当2n时，111(1)1nnnnnnnaSSnanaaa，即12(1)1nnaa，第 13 页 共 14 页 11112nnaa，而1112a ，即1na 是首项为12，公比为12的等比数列，11111()()()222nnna ，故11()2nna .（2）由（1）知：2(2)(1)2nnnnbn a，111(1)223222nnnnnnnnbb，当3

26、n时，1nnbb；当3n时，1nnbb；当3n时，1nnbb，123456.nbbbbbbb，即18nb.对任意正整数n，都有214nbtt，即214nbtt，21148tt恒成立，得12t 或14t ，即t11(,)42.【点睛】关键点点睛：（1）通过构造1(1)1nnaa的形式，根据定义证明等比数列，写出通项公式.（2）利用nb的通项，结合1nnbb的符号确定最大项，要使对任意正整数n，都有214nbtt，即2max1()4nttb恒成立，求参数范围.22已知曲线3212313yxxx.（1）求该曲线斜率为-3 的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P，过点P作直线l与x轴、y轴

27、的正半轴交于,A B两点，求OAB面积的最小值.【答案】（1）310 xy 或93350 xy.（2）43【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3 即可求出切点坐标，进而可求切线方程；（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出,A B两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由3212313yxxx，得243yxx，2433xx，解得0 x 或4x.当0 x 时，1y；当4x 时，13y .切线方程为13yx 或1343yx，即310 xy 或93350 xy.第 14 页 共 14 页（2）2243211yxxx ，当2x 时，切线的斜率取得最大值 1，此时13y，即P点坐标为12,3.由题意，设,0A a，0,Bb（0a，0b），则直线l的方程为1(0,0)xyabab.2113ab.21121223OABSababab 221242183933baab，当且仅当218baab，即6ab时取“”号.将6ab代入2113ab，解得4a，23b.直线l的方程为3142xy，即640 xy时，OAB面积的最小值为43.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.