2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试(一)数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试（一）数学试题 一、单选题 1已知集合1Ax x，3,2,1,0,1,2B ，则RAB（）A 3,2 B 3,2,1 C0,1,2 D 1,0,1,2【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算【详解】由题意|1RAx x，所以()3,2RAB 故选：A 2已知命题:,21xpxxN，则命题p的否定为（）A,21xxxN B,21xxxN C,21xxxN D,21xxxN【答案】D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题

2、:,21xpxxN的否定为：,21xxxN.故选：D 3设0.21()ae，lg2b，6cos5c，则（）Aacb Bcab Cbca Dcba【答案】D【分析】由指数函数的性质求得1a，由对数函数的性质求得(0,1)b，由三角函数的诱导公式，可得0c，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.20111()()eea，由对数函数的性质，可得lg2lg101b 且0b，即(0,1)b，由三角函数的诱导公式，可得6coscos()cos0555c，所以cba.第 2 页 共 14 页 故选：D.4若0,，1tan6tan，则sincos（）A2 33 B2 33 C2 33 D2

3、3【答案】A【分析】利用切化弦化简技巧结合1tan6tan可得出1sincos6，再由0,可得出sin0，cos0，再由2sincos12sincos 可计算出sincos的值.【详解】因为221sincossincostan6tancossinsincos，所以1sincos6，0,，则sin0，cos0，sincos0.所以24sincos1 2sincos3，所以2 3sincos3，故选：A.【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用2sincos12sincos 计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5已知角的终边上一点00(,2)P xx0(0)x，则s

4、incos（）A25 B25 C25 D以上答案都不对【答案】C【分析】可由题意，利用坐标分别表示出sincos和，然后再计算sincos即可得到答案.【详解】因为角的终边上一点00(,2)P xx，所以0022200022sin()(2)5xxxxx，00222000cos()(2)5xxxxx，所以200022200022255sinco55sxxxxxx.故选：C.6 关于x的方程20+25axax 在2,4上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A6,2 B6,4 C13,23 D13,43【答案】D【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.第 3 页 共 14 页【详解】令

5、2(5)+2axfaxx，要满足在2,4上有两个不相等的实根，则 22504313022,42160fafaaa ，解得13,43a 故选：D 7尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是 2013 年 4 月 20 日在四川省雅安市芦山县发生 7.0 级地震级地震的（）倍.A310 B3 Clg3 D310【答案】A【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.【详解】令日本东北部海域发生里氏9.

6、0级地震释放出来的能量为1E，芦山县发生 7.0 级地震释放出来的能量为2E，则有1122lglglg(4.8 1.5 9)(4.8 1.5 7)3EEEE，即31210EE，所以所求结果为310倍.故选：A 8已知函数 22loglog28xxfx，若 12f xf x（其中12xx），则1219xx的最小值为（）A34 B32 C2 D4【答案】B【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得1216xx，利用均值不等式求最值即可.【详解】2222222loglog(log1)(log3)log4log328xxf xxxxx,由 12f xf x，2122loglog4xx，即1216xx，

7、1212199332242xxx x，当且仅当1219xx，即124,123xx时等号成立，第 4 页 共 14 页 故选：B 二、多选题 9已知函数1()f xxx，|()2xg x，则下列选项中正确的有（）A()f x为奇函数 B()g x为偶函数 C()f x的值域为2,)D()g x有最小值 0【答案】AB【分析】由奇偶性定义可判断 AB；利用单调性可判断 CD；【详解】因为0 x，11()fxxxfxxx，所以 f x为奇函数，故 A 正确；当0 x 时，1()2f xxx，当且仅当1xx即1x 时等号成立；当0 x 时，1()2 f xxx，当且仅当1xx 即=1x时等号成立；故

8、C 错误；因为xR，所以|2xgxg x，所以()g x为偶函数，故 B 正确；当0 x 时，|()22xxg x是单调递增函数，所以()21xg x；当0 x 时，1()22xxg x是单调递减函数，1()12xg x，故 D 错误；故选：AB.10以下四个命题，其中是真命题的有（）A命题“,sin1xx R”的否定是“,sin1xx R”B若0ab，则11ab C函数()log(1)1(0af xxa且1)a 的图象过定点(2,1)D若某扇形的周长为 6cm，面积为 22cm，圆心角为(0)，则1【答案】ACD【分析】对于 A，根据全称命题的否定可判断；对于 B，由不等式的性质可判断；对于

9、 C，由对数函数的性质可判断；对于 D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.【详解】对于 A，由全称命题的否定，可知选项 A 正确；对于 B，若0ab，则0ab ，根据1yx的单调性，可知11ab，故 B 不正确；对于 C，当2x 时，log(1(2)2)11af，故其过定点(2,1)，故 C 正确；第 5 页 共 14 页 对于 D，设扇形的半径为r，弧长为l，则有2621222rlrllr ，又221122122Sr，故 D 正确.故选：ACD 11已知函数 log1(1)afxxa，下列说法正确的是（）A函数 f x的图象恒过定点0,0 B函数 f x在区间0,上单调递减 C函数 f x在

10、区间1,12上的最小值为 0 D若对任意 1,2,1xf x恒成立，则实数a的取值范围是1,2【答案】ACD【分析】代入验证可判断 A，由复合函数的单调性判断 B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断 C，由函数单调性建立不等式求解可判断 D.【详解】0,0代入函数解析式 log1(1)afxxa，成立，故 A 正确；当0,时，1(1,)x，又1a，所以 log1log1aaf xxx，由复合函数单调性可知，0,x时，log1log1aaf xxx单调递增，故 B 错误；当1,12x 时，11,22x，所以 log1log 10aaf xx，故 C 正确；当 1,2x时，log1log(1)1a

11、af xxx恒成立，所以由函数为增函数知log 21a即可，解得12a，故 D 正确.故选：ACD 12已知函数 lg,02,4,24.xxf xfxx若方程 f xm有四个不等实根1234,x xx x1234xxxx.下列说法正确的是（）A121x x B0lg2m C346xx D3104mx 【答案】ABD【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到12lglgxx，化简得到 A 正确，根据图像知 B 正确，利用均值不等式得到 C 错误，计算得到 D 正确，得到答案.第 6 页 共 14 页【详解】当24x时，042x，4lg 4f xfxx，画出函数图像，如图所示：根据图像知：

12、12lglgxx，即1 2lg0 x x，121x x，A 正确；0lg2m，B 正确；32,3x，43,4x，34lg 4lg 4xx，即34lg440 xx，即34441xx，展开得到23434344152xxx xxx，解得346xx，由于34xx，等号不成立，故 C 错误；3lg 4xm，故3410mx，3104mx，D 正确.故选：ABD 三、填空题 13某城市出租车按如下方法收费：起步价 8 元，可行 3km(含 3km)，3km到 10km(含 10km)每走 1km加价 1.5 元，10km后每走 1km加价 0.8 元，某人坐该城市的出租车走了 20km，他应交费_元.【答案

13、】26.5【分析】根据题意求出收费钱数 y关于行车路程 x的解析式，即可求解.【详解】设 x为行车路程，y为收费钱数，则8,038 1.5(3),31018.50.8(10),10 xyxxxx，当 x=20 时，18.50.8(20 10)26.5y.故答案为：26.5.14计算cos104sin80sin10_【答案】3 第 7 页 共 14 页【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式2sin20cos10sin10，由两角和差的正弦公式可得2sin20cos10sin102sin(3010)cos10sin10，再化简求值即可.【详解】解：cos104sin80 sin10cos104sin

14、80sin10sin104sin10 cos10cos10sin102sin20cos10sin102sin(3010)cos10sin102sin30 cos102cos30 sin10cos10sin102cos30 sin103sin10，故答案为：3.【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.15已知1sin 533，且27090，则sin 37_.【答案】2 23【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】sin 37sin 90(53)cos(53)，又27090，所以14

15、353323，又1sin 5303，所以14353180，所以cos(53)为负值，所以2212 2cos(53)1 sin(53)133 .故答案为：2 23.16 已知函数241,1()log3,1xxf xxx集合21()2()02Mx fxtf xt，若集合M中有 3 个元素，则实数t的取值范围为_【答案】|0t t 或12t 【分析】令()f xm，记21(2)02mtmt 的两根为12,m m，由题知()f x的图象与直线12,ym ym共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.【详解】令()f xm，记21()(2)2g mmtmt的零点为12,m m，第 8

16、页 共 14 页 因为集合M中有 3 个元素，所以()f x的图象与直线12,ym ym共有三个交点，则，12001mm或12101mm或12001mm 当10m 时，得0t，212m，满足题意；当11m 时，得12t，212m，满足题意；当12001mm时，(0)01(1)1 202gtgtt ，解得12t.综上，t的取值范围为|0t t 或12t.故答案为：|0t t 或12t 四、解答题 17在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点(2,1)P，求下列各式的值：(1)2sin+3sincos；(2)3sin()cos()tan()2sin()cos()2【答案】(1

17、)-1(2)2 第 9 页 共 14 页【分析】根据三角函数的定义，1tan2，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；【详解】（1）根据三角函数的定义，1tan2 原式222222211()3()sin+3sincostan3tan2211sin+costan1()12；（2）原式coscos(tan)12sin(sin)tan 18设函数 2lg1fxx的定义域为集合,93x aA g x的定义域为集合B(1)当1a 时，求ABR；(2)若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围【答案】(1)1,12AB R(2)1,2 【分析】（1）求出集合 A，B，根

18、据集合的补集、交集运算求解即可；（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）由210 x ，解得1x 或1x，所以,11,A R1,1A 当1a 时，由1930 x，即2233x，解得21x ，所以1,2B 所以1,12AB R（2）由（1）知，,11,A 由930 x a，即2233xa，解得12xa，所以1,2Ba 因为“xA”是“xB”的必要条件，所以BA所以112a，解得12a 所以实数a的取值范围是1,2 第 10 页 共 14 页 19已知3cos()cossin22()sin(3)sin()cos()xxxf xxxx.(1)若1()2f，求2sin

19、cos2sin的值.(2)若()2f，()7f，且(0,)，求2的值.【答案】(1)65(2)34 【分析】（1）利用诱导公式求出 cossinxfxx，进一步得出tan2，再由齐次式即可求解.（2）由题意可得1tan()2，1tan7，再由两角和的正切公式即可求解.【详解】（1）3cos()cossin(cos)(sin)(cos)22()sin(3)sin()cos()(sin)(sin)(cos)xxxxxxf xxxxxxx cossinxx 由已知，cos1()sin2f，得tan2 所以2222sincos2sinsincos2sinsincos 22tan2tantan1 286

20、415 （2）依题意，由()2f，()7f可知1tan()2，1tan7，11tan()tan127tantan()11tan()tan3114，tan()tantan(2)tan()11tan()tan.1tan07，2.又1tan03，02.0.而1tan()02，2.第 11 页 共 14 页 2(,0).324.20已知函数4()2xxbf x为奇函数(1)求实数 b的值，并用定义证明 f x在 R 上的单调性；(2)若不等式1422(21)0 xxffm对一切 2,2x 恒成立，求实数 m的取值范围【答案】(1)1b，证明见解析(2)112m 【分析】（1）根据奇偶性定义和函数的单调

21、性证明即可求解；（2）根据函数性质进行变形理解即可得解.【详解】（1）函数4()2xxbf x的定义域为 R，且为奇函数，(0)10fb，解得1b 此时4114()()22xxxxfxf x，所以()f x为奇函数，所以1b()f x是 R 上是单调递增函数.证明：由题知4411()2222xxxxxxbf x，设12xx，则 1212212122112121212211222222222212xxxxxxxxxxxxxxxxf xf x 12xx 1222xx，1220 xx 120f xf x 即 12f xf x，所以 f x在 R 上是单调递增函数（2）因为 yf x是 R 上的奇函数

22、且为严格增函数，所以由1422(21)0 xxffm，第 12 页 共 14 页 可得1422(21)(21)xxffmfm，即142221xxm 对一切 2,2x 恒成立 令2xt，1,44t，设2()22g ttt，所以max()(4)10g tg，即1021m，解得112m 21某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：/Lmg）与时间t（单位：h）间的关系为0ektPP，其中0P，k是正的常数.如果在前5h消除了 10%的污染物，请解决下列问题：(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少 50%需要花多少时间（精确到1h）？（参考数据：lg20.301

23、，lg30.477）【答案】(1)10h 后还剩下 81%的污染物(2)33h 【分析】（1）根据0t时0PP得到5t 时01 10%PP，然后将5t 代入0ektPP中得到5001 10%kPPe，解得1ln0.95k ，即可得到500.9tPP，然后将10t 代入求P即可；（2）令050%PP，然后列方程求t即可.【详解】（1）由0ektPP可知，当0t时，0PP；当5t 时，01 10%PP，于是有5001 10%kPPe，解得1ln0.95k ，那么500.9tPP.所以，当10t 时，00.81PP，即 10h 后还剩下 81%的污染物.（2）当050%PP时，有5000.50.9t

24、PP，解得0.90.9lg2lg25log0.55log25533lg0.92lg3lg10t ，即污染减少 50%大约需要花 33h.22定义：若对定义域内任意 x，都有 f xaf x（a 为正常数），则称函数 f x为“a距”增函数（1）若 2xf xx，x(0，)，试判断 f x是否为“1 距”增函数，并说明理由；第 13 页 共 14 页（2）若 3144f xxx，xR 是“a距”增函数，求 a的取值范围；（3）若 22xk xf x，x(1，)，其中 kR，且为“2 距”增函数，求 f x的最小值【答案】（1）见解析；（2）1a；（3）24min2,201,0kkf xk.【分析

25、】（1）利用“1 距”增函数的定义证明 10f xf x即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到 2213304f xaf xxxaa在xR上恒成立，求出 a 的取值范围即可；（3）由 f x为“2距”增函数可得到 2f xf x在1x，恒成立，从而得到2222xk xxk x恒成立，分类讨论可得到k的取值范围，再由 2222422kkxxk xf x，可讨论出 f x的最小值【详解】（1）任意0 x,1121221xxxf xf xxx,因为0 x,21,所以21x，所以 10f xf x，即 f x是“1 距”增函数（2）332231114433444fxafxxaxaxxx axaaa.

26、因为 f x是“a距”增函数，所以22313304x axaaa恒成立，因为0a,所以2213304xxaa在xR上恒成立，所以221=91204aa，解得21a，因为0a,所以1a.（3）因为 22xk xf x，1,x ，且为“2 距”增函数，所以1x 时，2f xf x恒成立，即1x 时，222222xk xxk x恒成立，所以2222xk xxk x，当0 x 时，2222xk xxkx，即4420 xk 恒成立，所以420k,得2k;当10 x 时，2222-xk xx kx，得44220 xkxk 恒成立，所以120 xk,得2k,综上所述，得2k.第 14 页 共 14 页 又 2222422kkxxk xf x，因为1x,所以0 x，当0k 时，若0 x，2224kkx取最小值为0；当20k 时，若2kx ，2224kkx取最小值.因为2xy 在 R 上是单调递增函数，所以当0k，f x的最小值为1；当20k 时 f x的最小值为242k，即 242,201,0kminkf xk .【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题