2022-2023学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题 一、单选题 1命题“(0,)x，110 x”的否定为（）A(0,)x，110 x B(0,)x，110 x C(0,)x，110 x D(0,)x，110 x 【答案】C【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“(0,)x，110 x”的否定为“(0,)x，110 x”，故选：C 2函数 227xf xx的零点所在的区间为（）A1,2 B2,3 C3,4 D4,5【答案】A【分析】分析函数 f x的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解

2、】因为函数2xy、27yx在R上均为增函数，故函数 f x在R上为增函数，因为 130f ，210f，由零点存在定理可知，函数 f x的零点所在的区间为1,2.故选：A.3已知全集0,1,2,3,4,5U，集合0,2,4,5A，集合2,3,4B，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）A2,4 B0,3,5 C0,1,3,5 D0,2,3,4,5【答案】C【分析】求出2,4AB，阴影部分集合为UAB，由此能求出结果.第 2 页 共 15 页【详解】因为集合0,2,4,5A，集合2,3,4B，所以2,4AB，由图可知：阴影部分表示的集合为U0,1,3,5AB，故选：C.4下列四组函数，表示同一个函数

3、的一组是（）A2yx，2()yx Blg10 xy，lg10 xy Csin|yx，|sin|yx Dyx，321xxyx【答案】D【分析】根据函数相等的概念和函数的性质逐项检验即可求解.【详解】对于A，因为函数2yx的定义域为R，而函数2()yx的定义域为0,)，定义域不同，所以2yx与2()yx不是同一个函数，故选项A错误；对于B，函数lg10 xy 的定义域为R，而函数lg10 xy 的定义域为(0,)，定义域不同，所以lg10 xy 与lg10 xy 不是同一个函数，故选项B错误；对于C，函数sin|yx的定义域为R，函数|sin|yx的定义域也为R，二者定义域相同，对应法则不同，所以

4、sin|yx与|sin|yx不是同一个函数，故选项C错误；对于D，函数yx的定义域为R，函数321xxyxx的定义域也为R，二者的定义域相同，对应法则相同，所以yx与321xxyx是同一个函数，故选项D正确，故选：D.5记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A已知分针长5cmOA，且分针从 12 点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动若以中心点O为原点，3 点和 12 点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y（单位：cm）与时间 t（单位：min）的函数解析式为（）A5|sin|yt B5|cos|yt C5 sin30yt D5 cos30yt【答案】D【分析】画

5、出图像，由题意分析得5 sin30yt，利用已知条件求解出化简即可.【详解】如图所示：第 3 页 共 15 页 由题意得分针每分钟转26030rad，则t分钟后转了30trad，则点A到x轴的距离y与时间 t的关系可设为：5 sin30yt，当0t时，点A在钟表的 12 点处，此时5y，所以55 sin0sin130，所以可以取2，此时5 cos30yt，故选：D.6“2a ”是“()af xxx在(0,)上单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.【详解】2aaf xxx 在(0,)单调递增，充分

6、性成立，若1a 时 af xxx在(0,)单调递增，但是不满足2a ，所以必要性不成立.故选：A 7在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(v单位:km/s）和燃料的质量M（单位:kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是lg 1Mvam（a是参数）当质量比Mm比较大时，函数关系中真数部分的 1 可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比Mm从 2000 提升至50000，则v大约增加了（附：lg20.3010）（）第 4 页 共 15 页 A52%B42%C32%D22%【答案】B【分析】质量比Mm提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.【详解】当质量比

7、Mm为 2000 时，最大速度1lg2000va，当质量比Mm为 50000 时，最大速度2lg50000va，21lg500004lg55lg21.42lg20003lg23lg2vava，2111.421 42%vvv，所以将质量比Mm从 2000 提升至 50000，则v大约增加了42%.故选：B 8已知定义在R上的函数()f x满足()(11)f xxx；()(2)f xf x，则函数()f x与 122,0log,0 xxg xxx的图象在区间3，3上的交点个数为（）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【答案】B【分析】根据可知：函数()f x是周期为2的函数且在 1,1上()f

8、xx，然后分别画出()f x和()g x在区间 3,3上的图象，由图象即可观察交点的个数.【详解】由可知：函数()f x是周期为2的函数且在 1,1上()f xx，在同一坐标系内分别作出函数()f x和()g x在区间 3,3上的图象，如图所示：由图可知：函数()f x和()g x在区间 3,3上有4个交点，故选：B.二、多选题 9下列命题为真命题的是（）A若acbc，则ab B若ab，0c，则acbc 第 5 页 共 15 页 C若ab，cd，则acbd D若ab且11ab，则0ab 【答案】BD【分析】利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可.【详解】选项 A，由acbc，若0c，则ab，故

9、 A 错误，选项 B，在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变，所以若ab，0c，则acbc，故 B 正确，取1,2abab ，2,4cdcd ，则2,8acbdacbd，故 C 错误，因为111100baababab，若ab，则0ba，所以0ab，故 D 正确，故选：BD.10下列大小关系正确的是（）A0.40.2133 B3ln22ln3 C3221 Dsin1cos1【答案】ABD【分析】由不等式的性质和函数的单调性，比较大小.【详解】0.20.4，0.40.20.41333，A 选项正确；323ln 2ln2ln8ln9ln32ln3，B 选项正确；13232，12121，由3221

10、0，得113221，即3221，C 选项错误；sin1sincoscos144，D 选项正确.故选：ABD 11狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为R1,Q()0,Qxf xx，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A()f x的值域是 0,1 第 6 页 共 15 页 BR,()1xf f x C()f x是偶函数 D11|()|()22x f xx f x【答案】BC【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值即可【详解】由函数R1,Q()0,Qxf xx，当x为有理数时，函数值为 1，当x为无理数时，函数值为 0，所以函数()f x的值域是 0,1，故 A 错误，由函数(

11、)f x的值域是 0,1知道，0,1Q，所以R,()1xf f x，故 B 正确，当Qx，则x Q，所以()()1fxf x，当RQx，则RQx，所以()()0fxf x，又()f x的定义域为R，故()f x是偶函数，所以 C 正确，由1()2f x，所以()0f x，所以RQx，1()2f x，所以()1f x，所以Qx，所以11|()|()22x f xx f x，故 D 错误，故选：BC.12已知函数sin()|tan|xf xx，则下列结论正确的是（）A()f x的图像关于(,0)中心对称 B()f x的最小正周期为 C()f x在区间,2上单调递增 D()f x的值域为(1,1)【

12、答案】AC【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.【详解】sin()|tan|xf xx，函数定义域为,Z2kx xk，sin(2)sin(2)()|tan(2)|tan|xxfxf xxx，所以函数图像上的点,()x f x关于(,0)的对称点2,()xf x也在函数图像上，即()f x的图像关于(,0)中心对称，A 选项正确；第 7 页 共 15 页 sinsin()()|tan|tan|xxf xf xxx，不是()f x的周期，B 选项错误；当,2x时，sinsin()cos|tan|tanxxf xxxx，所以()f x在区间,2上单调递增，C 选项正确；当2,2

13、+2+,2+22xkkkk时，sin0 x，sinsin()cos|tan|tanxxf xxxx，有0()1f x，当332+,2+2+,2+222xkkkk时，sin0 x，sinsin()cos|tan|tanxxf xxxx ，有1()0f x，所以()f x的值域为 1,00,1，D 选项错误.故选：AC 三、填空题 13函数 f(x)21x12x的定义域为_【答案】0,22,【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2102xx，解得0 x 且2x，因此定义域为 0,22,.故答案为：0,22,.14已知1sincos5xx，则sin2x _【答案

14、】2425【分析】平方可推得sin cos42252xx，根据二倍角的正弦公式即可得到结果.【详解】由已知可得，21sincos25xx，即221sincos2sincos25xxxx，又22sincos1xx，所以sin cos42252xx，所以24sin225x.故答案为：2425.15已知函数()8f xx，2()3g xxx，xR，用()m x表示()f x，()g x中的较小者，记为()min(),()m xf x g x，则函数()m x的最大值为_ 第 8 页 共 15 页【答案】4【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.【详解】画出两函数图像可得，函数()8f xx与2()

15、3g xxx的交点为4,42,10，所以 23,24,()min(),()8,2,4xxxm xf x g xxx ，所以 max44m xm，故答案为：4 16 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图 2）是由两个相同的矩形 ABCD和 EFGH 构成的面积为280m的十字型区域，计划在正方形 MNPQ上建一座花坛，造价为 99 元/2m；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 8 元/2m；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计设总造价为 S（单位：元），AD长为 x（单位：m），则绿化花园总造价 S 的最小值为_元 【答案】1440【分析】设 DQ 长为 my

16、,则 2480 xyx,求出 y,再结合各个区域的造价求得 S,利用基本不等式可得最值.【详解】设 DQ 长为 my,则 2480 xyx,即 20,4xyx 04 5x,第 9 页 共 15 页 所以221998 42Sxy 2264100160 xx 2264100 21601440 xx.当且仅当 2264xx,即 2 2x 时,等号成立,所以当 2 2x 时,S 取最小值为 1440.故答案为：1440.四、解答题 17已知集合2230Ax xx，2 23By yxx，(1)求 A，B；(2)AB，AB，RAB【答案】(1)1Ax x 或 3x，4By y (2)AB R，41ABxx

17、 或3x，R4ABx x 【分析】（1）解出集合 A中的不等式和集合 B中的函数值域，即可得到集合 A，B；（2）由（1）中的结论，直接进行集合的交并补运算.【详解】（1）由2230 xx，得(3)(1)0 xx，解得1x或3x，所以1Ax x 或 3x，由2223(1)4yxxx，得4y ，所以4By y，（2）由（1）得AB R，41ABxx 或3x，R4Bx x，R4ABx x 18已知，0,2，3cos5，5cos13(1)求3sincos22sin(3)cos()的值；(2)求sin()的值 第 10 页 共 15 页【答案】(1)17(2)5665 【分析】(1)根据同角三角函数基

18、本关系式和诱导公式即可求解；(2)根据同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式即可求解.【详解】（1）因为3cos5，0,2，所以24sin1cos5，所以334sincoscossin1225543sin(3)cos()sincos755（2）因为0,2，5cos13，所以212sin1cos13，所以sin()sincoscossin453125651351365 19已知函数()lnf xx(1)若 mf（3），nf（4），求322emn的值；(2)求不等式(2)2f x的解集；(3)记函数1()1xF xfx，判断()F x的奇偶性并证明【答案】(1)3 34(2)22,e2(3)函数

19、 F（x）是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据指数对数相互转化即可求解；（2）根据对数函数的性质以及定义域和单调性即可求解；（3）根据函数的奇偶性的证法即可求解.【详解】（1）由ln3m，ln4n，得e3m，e4n，所以 33323232222ee33 3eeee44mmmnmnnn（2）由题得ln(2)2x，第 11 页 共 15 页 即2ln(2)lnex，所以2202exx，解得22e2xx，所以22e2x，所以不等(2)2f x的解集为22,e2（3）1()ln1xF xx是奇函数，由题得101xx，所以 x1，所以 F（x）的定义域关于原点对称，因为111111()()lnlnl

20、nlnlnln10111111xxxxxxF xFxxxxxxx ，所以 FxF x，所以函数 F（x）是奇函数 20已知函数2()3sincoscosf xxxxm(1)求()f x的单调递减区问；(2)若()f x在区间0,2上的最大值为12，求使()0f x 成立的x的取值集合【答案】(1)2,63kk，kZ(2),Z3x kxkk 【分析】（1）降幂，辅助角公式化成 sinf xAxb，根据正弦函数单调性求解.（2）根据x范围求出26x的范围，再求函数的最大值，可确定m的值，然后解不等式.【详解】（1）由公式得231cos2()3sincoscossin222xf xxxxmxm 31

21、11sin2cos2sin 222262xxmxm，所以32 22 262kxk，第 12 页 共 15 页 即263kxk，所以 f（x）的单调减区间为2,63kk，kZ（2）当02x时，72666x，所以当262x，即6x 时，max11()122f xm，解得1m ，所以1()sin 262f xx，由()0f x，得sin 2126x，所以52 22 666kxk，3kxk，所以解集为：,Z3x kxkk 21已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，()12xf xa (1)求a的值；(2)求()f x在R上的解析式；(3)若函数()()2xg xf xk有零点，求实数k的

22、取值范围【答案】(1)1(2)1 2,0()1 2,0 xxxf xx (3)1k 【分析】（1）由 00f求得a.（2）根据 f x的奇偶性求得 f x的解析式.（3）由()()20 xg xf xk分离常数k，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得k的取值范围.【详解】（1）由于函数 f x是定义在R上的奇函数，所以 001210,1faaa .（2）由（1）得()12(0)xf xx，当0 x 时，0 x，第 13 页 共 15 页 所以()()1 212(0)xxf xfxx ，所以1 2,0()1 2,0 xxxf xx （3）函数()()2xg xf xk

23、有零点等价于方程()20 xf xk有根，分离参数得()2xf xk，原问题等价于yk与()2xf xy 的图象有公共点，所以求 k的范围，即求函数()2xf xy 的值域，记()()2xf xh x，即 211,02()11,022xxxxh xx，当0 x 时，显然1()12xh x 在0,)x上单调递减，所以11(1,02x ，所以0 x 时，()(1,0h x ，当0 x 时，令1(0)2xtx，则(1,)t，记2()ttt，(1,)t，因为对称轴112t，所以()t在(1,)t上单调递增，所以()(1)1 10t ，即()(0,)t，所以0 x 时，()(0,)h x，综上所述，h

24、x的值域为(1,)，所以当1k 时，函数()()2xg xf xk有零点 22如图，已知一块足球场地的球门MN宽7米，底线MN上有一点A，且AN长9米现有球员带球沿垂直于底线的线路BA向底线MA直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线 第 14 页 共 15 页 (1)当球员运动到距离点A为4米的点C时，求该球员射门角度MCN的正切值；(2)若该球员将球直接带到点A，然后选择沿其左后60方向（即60MAD）的线路AD将球回传给点D处的队友已知AD长14米，若该队友沿着线路DA向点A直线运球，并计划在线路DA上选择某个位置E进行射门，求AE的长度多大时，射门角度MEN最大【答案】(1)740

25、(2)12AE 米 【分析】（1）求出tanACM、tanACN的值，利用两角差的正切公式可求得tanMCN的值；（2）作EHAM，垂足为H，设014AExx，计算出tanHEM、tanHEN，利用两角差的正切公式可得出tanMEN关于x的表达式，利用基本不等式求出tanMEN的最大值，利用等号成立的条件求出x的值，即可得出结论.【详解】（1）解：由题知7MN，9AN，4AC，则16AM，在RtAMC中，16tan44AMACMAC，在RtANC中，9tan4ANACNAC，所以tantanMCNACMACN 94tantan7491tantan40144ACMACNACMACN （2）解：如

26、图，作EHAM，垂足为H，第 15 页 共 15 页 设014AExx，则cos602xAHAE，3sin602xHEAE，因为72xAH，所以162xMH，92xNH，在Rt HME中，16322tan332xHMxHEMHExx，在RtHNE中，9182tan332xHNxHENHExx，所以3218tantan33tantan32181tantan133xxHEMHENxxMENHEMHENxxHEMHENxx 22221414 37 37 332885765045057622528822513xxxxxxxxxxxx 7 37 37 34825232882 225xx，当且仅当2882xx即12x 时，tanMEN最大，所以当12AE 米时，射门角度MEN最大