2021-2022学年上海市崇明中学高一下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 9 页 2021-2022 学年上海市崇明中学高一下学期期中数学试题 一、填空题 1己知平面向量 1,1a，1,1b，则向量1322ab_【答案】1,2【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.【详解】因为 1,1a，1,1b 所以 13131,11,11,22222ab 故答案为：1,2.2若是第三象限角，则2是第_象限的角.【答案】二或四【分析】根据是第三象限角，得到3222kk，Zk，再得到3224kk，Zk，然后讨论k的奇偶可得答案.【详解】因为是第三象限角，所以3222kk，Zk，所以3224kk，Zk，当k为偶数时，2为第二象限角，当k为奇数时，2为第四象限角.故答案

2、为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.3已知向量(,1)ax x，(1,2)b，若ab，则x _【答案】23【分析】将ab转化为0a b计算即可.【详解】由题意得2(1)320a bxxx，解得23x 故答案为：23 4若4cos5，是第三象限的角，则sin4_ 第 2 页 共 9 页【答案】210#1210【分析】计算3sin5，再利用和差公式计算得到答案.【详解】因为4cos5，是第三象限的角，所以23sin1 cos5 ，22342sinsincos4225510.故答案为：210 5已知向量(3,4)a，则向量a的单位向量0a _【答案】34

3、,55或3 4,5 5【分析】根据单位向量的定义即可求解.【详解】由题意可得0=5aaaa，故与a方向相同的单位向量为34=555a,-，与a方向相反的单位向量为3 4=55 5a,，故答案为：34,55或3 4,5 5 6在ABC中，若2b，30B，135C，则a_【答案】62【分析】根据三角形内角关系得角A的大小，再根据两角差的正弦公式求得sin A的值，最后由正弦定理得边a的值.【详解】解：在ABC，可得1801803013515ABC，又62sin15sin(4530)sin45 cos30cos45 sin304 由正弦定理得sinsinabAB，所以622sin4621sin2bA

4、aB 故答案为：62.7已知,a b为单位向量，其夹角为60，则(2)?abb_【答案】0 第 3 页 共 9 页【详解】222?2?2 1 1 cos6010ab babb .8函数 3()sin2,44f xx x 的值域为_【答案】1,1【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.【详解】因为函数 3()sin2,44f xx x，32,22x，所以sin21,1x，即函数 3()sin2,44f xx x 的值域为 1,1 故答案为：1,1.9已知向量(4,3)OA 和(1,2)OB，则(2,1)OP 用OA和OB来表示是_【答案】2OAOB【分析】设OPOAOB，根据(2,1)(4,3)(

5、1,2)可求出结果.【详解】设OPOAOB，则(2,1)(4,3)(1,2)，所以24132，解得12，所以2OPOAOB 故答案为：2OAOB.10将函数3sin(2)yx上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移4个单位，得到的函数解析式是_【答案】3sin4yx 【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2)3sin 2yxx 将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sinyx，再向左平移4个单位，得到的函数解析式为3sin4yx.故答案为：3sin4yx.11已知向量,12OAk，4,5OB，

6、,10 OCk，且A、B、C三点共线，则k _【答案】23 第 4 页 共 9 页【分析】先求出,AB BC的坐标，再根据A、B、C三点共线求出k的值.【详解】由题得(4,7)ABOBOAk，(4,5)BCOCOBk ，因为A、B、C三点共线，所以=ABBC，所以(4)57(4)0kk ，所以23k .故答案为：23【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点1,(2,)AaBb,，且2cos23，则ab=_.【答案】55【解析】由2cos23利用二倍角的余弦公式和同角公

7、式可得5|tan|5，再根据三角函数的定义可得2ba且tana，进一步可得ab的值.【详解】因为2cos23，所以222cossin3，所以2222cossin2cossin3，所以221tan21tan3，所以21tan5，所以5|tan|5 因为tan12ab，所以2ba，所以|2|abaaa5|tan|5.故答案为：55.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.二、单选题 13下列函数中是偶函数的是()Aysin2x Bysinx Cysin|x|Dysinx1 第 5 页 共 9 页【答案】C【详解】A、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C

8、 符合 f(x)sin|x|sin|x|f(x)，ysin|x|是偶函数 14下列四个命题中，正确的个数是（）2()()()a cb ca bc 零向量垂直于任何向量 “/ab”等价于“存在实数，使得ab”222()a bab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】A【分析】对于，根据平面向量数量积的定义运算可知不正确；对于，零向量不谈垂直问题；对于，缺少条件0b；对于，2222()cos,a baba b.【详解】对于，等式左边2|cos,cos,abca cb c，等式右边2|cos,abca b，故不正确；对于，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故不正确；对于，“/ab(

9、0)b”等价于“存在实数，使得ab(0)b”，故不正确；对于，2222()cos,a baba b，故不正确.故选：A 15设,m n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.【详解】若,m n为非零向量，且存在负数，使得mn，则,m n共线且方向相反，20m nn，充分性成立；当0m n时，,m n的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得mn，必要性不成立；“存在负数，使得mn”是“0m n”的充分不必要条件.故选：A.

10、16设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若coscossinbCcBaA，则ABC的形状为第 6 页 共 9 页（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，判断出三角形的形状.【详解】coscossinbCcBaA，由正弦定理得：2sincossincossinsinsinBCCBBCAA，sin0A，sin1A，2A，故三角形为直角三角形，故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的

11、考查.三、解答题 17已知tan1tan1，求下列各式的值：（1）sin3cossincos；（2）2sinsincos2.【答案】（1）53；（2）2.6.【解析】由tan1tan1 求出1tan2.（1）由sin3cossincos分子分母同除以cos求解；（2）将2sinsincos2，变形为22223sinsincos2cossincos，再分子分母同除以2cos求解【详解】因为tan1tan1，所以1tan2.（1）sin3costan35sincostan13；（2）2sinsincos2，22223sinsincos2cossincos，223tantan2tan1，第 7 页

12、共 9 页 31242114，2.6 18已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 2km到达D地求D地与A地之间的距离【答案】1000 2km【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.【详解】由题意得2000kmABBC，60ABC，所以2000kmAC，因为45ACD，1000 2kmCD，所以222cos1000 2ADACCDAC CDACD，所以1000 2ADCD，45CAD，D地在A地的南偏东45，D地距A地1000 2km 19已知向量(sin21,cos)axx，(1,2cos)

13、bx设函数()f xa b(1)求函数()f x的解析式并化简，写出其最小正周期；(2)求函数()f x的单调递减区间；(3)求关于x的方程6()3f x 在区间 7,88上的解集【答案】(1)2sin 24fxx，最小正周期为；(2)5,(Z)88kkk(3)13313arcsin,arcsin238823 【分析】（1）根据数量积坐标运算及三角恒等变换化简得()f x的解析式，再由周期公式求最小正周期.（2）令32 22 242kxk解得x的范围即为()f x的单调递减区间；第 8 页 共 9 页（3）在 7,88x 内解三角方程，用反三角函数表示解集.【详解】（1）函数 2sin 212

14、cossin21cos212sin 24fxa bxxxxx ，故函数的周期为22（2）令32 22 242kxk，Zk，得588kxk，故函数的单调递减区间为5,(Z)88kkk（3）由6()3f x 得3sin(2)43x，因为 7,88x，所以20,24x，所以32arcsin43x或32arcsin43x，故所求解集为13 313arcsin,arcsin238823 20已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，2 55ab.（1）求cos()的值；（2）若02，02，且5sin13，求sin的值.【答案】（1）35；（2）3365.【分析】（1）结合平面向量减法以及模长的

15、坐标公式可得222 5coscossinsin5，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出sin和cos的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.【详解】（1）因为向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，所以(coscos,sinsin)a b，又因为2 55ab，所以222 5coscossinsin5，22224coscos2coscossinsin2sinsin5，即422cos5，所以3cos5；（2）因为02，02，所以0，第 9 页 共 9 页 所以24sin1 cos5，又因为5sin13，

16、所以212cos1 sin13 所以sinsinsincoscossin 412353351351365.21在ABC中，角A为锐角，且22sinsin4sinsinsinBCBCAm，其中Rm(1)证明：22()4bcmbc；(2)求实数m的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)662,222 【分析】（1）由2sinsin4sinsin()BCBCm及正弦定理得证；（2）在2220cos12bcaAbc中将24abc代入后剩下关于,b c的不等式，将其变形为关于2()bcbc的不等式，即得到m的取值范围【详解】（1）由正弦定理sinsinsinabcABC 和22sinsinsin4sinsin()BCABCm，得222()4bcabcm，所以22()4bcmbc；（2）因为角A为锐角，所以2220cos12bcaAbc，所以224012bcbcbc，所以2246bcbcbc，则26()8bcbcbc，即2()68bcbc，所以2648m，所以622m 或622m，所以实数m的取值范围66(2,)(,2)22