2023年上海高一下学期数学同步讲义第5讲解三角形含详解.pdf

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1、第 5 讲 解三角形 知识梳理 设ABC中abc、分别是角ABC、所对的边，R为ABC的外接圆半径，r为ABC内切圆半径，S为ABC的面积 三角形内角和定理：ABC 正弦定理：2sinsinsinabcRABC 余弦定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 三角形面积公式：1sin2SabC11sinsin22bcAacB 例题解析 一、利用正余弦定理求解三角形【例 1】在ABC中，角A BC，的对边为,a b c，若，则角A（）45,2,3BbaA30 B30105或 C60 D60120或【例 2】在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（

2、）A.20,45,80bAC B.30,28,60acB C.14,16,45abA D.12,15,120acA【例 3】在锐角ABC中，边长1,2ab，则边长c的取值范围是_.【例 4】（1）在ABC中，已知2 3a，62c，45B，求 b 及 A；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形 【例 5】在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知12,3,cos4acB，（1）求b的值；（2）求sinC的值 【例 6】在2 545,10,cos5ABCBACC中，求（1）BC；（2）若点DAB是的中点，求中线 CD的长度。【例 7】在A

3、BC中，cba、为角CBA、所对的三边，已知222+cbabc（1）求角A的值；（2）若3a，3cos3C，求c的长.【巩固训练】1.在ABC中，若1,60,3aCc则A的值为（）A30 B60 C30150或 D60120或 2在ABC中，若Babsin2，则A等于（）A006030 或 B006045 或 C0060120 或 D0015030 或 3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A090 B0120 C0135 D0150 4等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A2 B23 C3 D32 5.已知在ABC中，90ACB，4,3,BCAC

4、P是AB上一点，则点P到,AC BC的距离乘积的最大值是（）A.2 B.3 C.4 D.5 6.ABC中，若2,3,4cba，则ABC的外接圆半径为（）A15158 B151516 C13136 D131312 7.在ABC中，若43tanA，120C，32BC，则AB（）A.3 B.4 C.5 D.6 8.在三角形中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不是 ABCBAsinsinBA 二、正、余弦定理判断三角形形状【例 8】在ABC中，coscossinsinABAB，则ABC为（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定【例 9】在

5、ABC中，若2cossinsinBAC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【例 10】ABC的三边分别为,a b c且满足cabacb2,2,则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【例 11】如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则（）A111ABC和222A B C都是锐角三角形 B111ABC和222A B C都是钝角三角形 C111ABC是钝角三角形，222A B C是锐角三角形 D111ABC是锐角三角形，222A B C是钝角三角形【例 12】在

6、ABC中，若,coscoscosCcBbAa则ABC的形状是什么？【例13】在ABC中，,a b c分 别 表 示 三 个 内 角,A B C的 对 边，如 果2222()sin()()sin()abABabAB，判断三角形的形状 【例 14】给出问题：已知ABC中，满足coscosaAbB，试判定ABC的形状某学生 的 解 答 如 下：由 条 件 可 得22222222bcaacbabbcac，去 分 母 整 理 可 得2222222abcabab，222cab，故ABC是直角三角形该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上：【例

7、 15】ABC中，sinsinsinbaBaBA，且coscos1 cos2ABCC，判断ABC的形状 【巩固训练】1在ABC中，若,12,10,9cba则ABC的形状是_。2在ABC中，角,A B均为锐角，且,sincosBA 则ABC 的形状是（）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3在ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则ABC 的形状是（）A直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 4若,A B是锐角三角形的两内角，则BAtantan_1（填或）。5.在ABC中，若22tantanaAbB，则ABC的形状为 6.在ABC中，若2sins

8、incos2ABC，则ABC的形状是 7.在ABC中，若tan2ABabab，则ABC的形状是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 8.在ABC中，已知22(coscos)()cosa bBcCbcA，试判断ABC的形状 9.在ABC中，若3332abccabc，且3sinsin4AB，判断ABC的形状 三、正、余弦定理综合【例 16】在ABC中，,a b c分别 是,ABC的对 边长，已知2acb，且22acacbc，求A的大小及sinbBc的值.【例 17】已知在ABC中,6cos3A,a b c分别是角,A B C所对的边.(1)求tan2A；(2)

9、若2 2sin()23B,2 2c,求ABC的面积.【例 18】设ABC的内角A BC，所对的边长分别为abc，且320tanBa，sin4bA（1）求Bcos和边长a；（2）若ABC的面积10S，求C4cos的值 【例 19】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acb，求y=BBBcossin2sin1的取值范围.【例 20】已知ABC中，222 2(sinsin)()sinACabB，外接圆半径为2.（1）求C，（2）求ABC面积的最大值.【巩固训练】1.ABC中，,a b c分别为,ABC的对边，如果2,30bacB，ABC的面积为23，那么b等于（）A.231 B.1

10、+3 C.232 D.2+3 2.已知()()3abc bcabc ，则A=_.3.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，若三角形的面积2221()4Sabc，则C的度数是_.4.在ABC中，若60C，则cabcba=_.5在ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。6.在ABC 中，最大角为最小角的倍，且三边为三个连续整数，求值 7.在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，2 3a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,A B及,b c AC2,a b c,a b c 8（2020上海高一课时练习）在ABC中，已知8,30cA，试讨论a

11、的值以确定三角形解的个数.四、利用正、余弦定理证明三角式【例 21】在ABC中，coscosACBABC，（1）证明：BC；（2）若1cos3A ，求sin 43B的值 【例 22】在ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 【例 23】在锐角ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。【例 24】在锐角ABC中，求证：1tantantanCBA。【例 25】在ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。【例 26】在ABC中，若0120 BA，则求证：1cabcba。【例 27】在ABC中，若223coscos222CAbac，则

12、求证：2acb 【巩固训练】1.在中，角所对的边分别为，证明：2.在中，C是钝角，设 证明：3.在ABC中，已知2A CB，证明32tan2tan32tan2tanCACA。ABC,A B Ccba,CBAcbasin)sin(222ABC,coscos,sinsin,sinBAzBAyCxzyx 4.已知锐角ABC中，3sin()5AB，1sin()5AB.（1）求证：tan2tanAB；（2）设3AB，求AB边上的高.5（2019上海市金山中学高一月考）通常用a、b、c分别表示ABC的三个内角A、B、C所对的边长，R表示ABC的外接圆半径.（1）如图，在以O为圆心，半径为2的圆O中，BC、

13、AB是圆O的弦，其中2BC，45ABC，角A是锐角，求弦AB的长；（2）在ABC中，若C是钝角，求证：2224abR；（3）给定三个正实数a、b、R，其中ba，问a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的ABC不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC存在的情况下，用a、b、R表示c.五、三角形的实际应用问题【例 29】如图，ABC是简易遮阳棚，,A B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）A.75 B.60 C.50 D.45 【例 30】（2020上海高一课时练习）如

14、图所示，AC是一山坡，它与地面所成的角为75，B为山坡AC上一点，它和点A的距离是200m，从A和B测得平地上点D的俯角分别为60和30，求点C和点D之间的距离.【例 31】（2020上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）如图所示，某区有一块空地OAB，其中4OAkm，4 3OBkm，AOB90.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中,M N都在边AB上，且30MON，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN的周围安装防护网.（1）当2AMkm时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN的

15、面积是堆假山用地OAM的面积的3倍，试确定AOM的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？【例 32】（2020上海市沪新中学高一期中）如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测得60MCA.已知山高100BCm，求山高MN.【例 33】（2020上海高一课时练习）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景

16、点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知5ABkm.（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果精确到0.1km）【例 34】（2020上海浦东新区华师大二附中高一月考）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点 C 在点 A 的北偏东 47方向，点 B 在点 C 的南偏西 36方向，点 B 在点 A 的南偏东 79方向，且 A、B 两点的距离约为 3 海里.（1）求 A、C 两点间的距离；（精确到 0.01）（2）某一时刻，

17、我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为 PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点 A 南偏西 60方向 20 海里的点 Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处，再折向点 A 直线航行，航速为 22 海里/小时.渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助？说明理由 【例 35】（2020上海市莘庄中学高一月考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客

18、从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50/minm在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130/minm，山路AC长为 1260m，经测量12cos13A，3cos5C （1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【巩固训练】1.在ABC中，BCa，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求ACAB的取值范围.2.已知甲、乙两船同时从A处出发，甲沿北偏东30的方向航行，乙沿正东方向航行至B处，然后沿

19、一新航向继续航行，与甲在C处相遇，此时甲航行了 60 海里，乙由A至B航行了 50 海里，则BC的大小是 （精确到小数点后一位）3.已知ABC、是一条直路上的三点，AB与BC各等于 1km，从三点分别遥望塔M，在A处见塔在东北方向，在点B处见塔在正东方向，在点C处见塔在南偏东 60处，求塔到直路ABC的最短距离 4.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：米），如示意图，垂直旋转的标杆BC的高度4h 米，倾角,ABEADE（1）该小组已经测得一组,的值，tan1.24,tan1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：米），使与之差较大

20、，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125 米，问d为多少时，最大 5.某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A、B 两个目标，测得 A 在南偏本57，俯角为30，同时测得 B 在南偏东78，俯角是45，求山高（设 A、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到 0.1m）.反思总结 1正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 几何作图时，存在多种情况如已知 a、b 及 A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角 a=bsin A bsinAab时有一解.2余弦定理应用范

21、围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边 3.利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.babaabaB1BACACABCB2 第 5 讲 解三角形 知识梳理 设ABC中abc、分别是角ABC、所对的边，R为ABC的外接圆半径，r为ABC内切圆半径，S为ABC的面积 三角形内角和定理：ABC 正弦定理：2sinsinsinabcRABC 余弦定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 三角形面积公式：1sin2Sa

22、bC11sinsin22bcAacB 例题解析 一、利用正余弦定理求解三角形【例 1】在ABC中，角A BC，的对边为,a b c，若，则角A（）45,2,3BbaA30 B30105或 C60 D60120或【难度】【答案】D 【例 2】在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.20,45,80bAC B.30,28,60acB C.14,16,45abA D.12,15,120acA【难度】【答案】C【解析】由14,16,45abA及正弦定理，得16sin B=14sin A，所以4 2sin7B.因而B有两值.【例 3】在锐角ABC中，边长1,2ab，则边长c的取值范围是_.

23、【难度】【答案】(1,5)【解析】若c是最大边，则cos0C，abcba22220，c5.又1cba，15c【例 4】（1）在ABC中，已知2 3a，62c，45B，求 b 及 A；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形【难度】【答案】（1）2 2.b，060.A；（2）056 20A，032 53B，090 47.C【解析】（1）2222cosbacacB22(2 3)(62)2 2 3(62)0cos45 212(62)4 3(3 1)82 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：方法一：cos222222(2 2)(62)(2 3)1

24、,222 2 2(62)bcaAbc 060.A 方法二：sin02 3sinsin45,2 2aABb 又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac，即00A090,060.A（2）由余弦定理的推论得：222cos2bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；222cos2cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.7 0.8398,032 53B；0000180()180(56 2032 53)CA B090 47.【例5】在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知12,3,c

25、os4acB，（1）求b的值；（2）求sinC的值【难度】【答案】（1）；（2）3 6sin8C 【解析】（1）由余弦定理，得，10b 2222cosbacacB2221232 2 3104b 10b（2）方法 1：由余弦定理，得，是的内角，方法 2：，且是的内角，根据正弦定理，得【例 6】在2 545,10,cos5ABCBACC中，求（1）BC；（2）若点DAB是的中点，求中线 CD的长度。【难度】【答案】（1）3 2BC；（2）13CD 【解析】：（1）由2 55cossin55CC得，23 10sinsin(18045)(cossin)210ACCC，由正弦定理知10 3 10sin3

26、 2sin1022ACBCAB，（2）105sin2sin522ACABCB，112BDAB。由余弦定理知：222cos21 182 1 3 2132CDBDBCBD BCB 222cos2abcCab4 1091082 210 CABC23 6sin1 cos8CC1cos4B BABC215sin1 cos4BBsinsinbcBC153sin3 64sin810cBCb【例 7】在ABC中，cba、为角CBA、所对的三边，已知222+cbabc（1）求角A的值；（2）若3a，3cos3C，求c的长.【难度】【答案】（1）3A；（2）2 63【解析】（1）222+cbabc，2221cos

27、22bcaAbc A03 A（2）在ABC中，3A，3a ，3cos3C 216sin1 cos133CC 由正弦定理知：,sinsinacACsinsinaCcA632 63332.c 2 63【巩固训练】1.在ABC中，若1,60,3aCc则A的值为（）A30 B60 C30150或 D60120或【难度】【答案】A 2在ABC中，若Babsin2，则A等于（）A006030 或 B006045 或 C0060120 或 D0015030 或 【难度】【答案】D【解析】012 sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150 3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角

28、的和是（）A090 B0120 C0135 D0150 【难度】【答案】B【解析】设中间角为，则22200005871cos,60,180601202 5 82 为所求 4等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A2 B23 C3 D32【难度】【答案】D 5.已知在ABC中，90ACB，4,3,BCACP是AB上一点，则点P到,AC BC的距离乘积的最大值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【难度】【答案】B 6.ABC中，若2,3,4cba，则ABC的外接圆半径为（）A15158 B151516 C13136 D131312【难度】【答案】A 7.在ABC中，若

29、43tanA，120C，32BC，则AB（）A.3 B.4 C.5 D.6【难度】【答案】C 8.在三角形中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不是【难度】【答案】C 二、正、余弦定理判断三角形形状【例 8】在ABC中，coscossinsinABAB，则ABC为（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定【难度】【答案】C【解析】coscossinsincos()0,cos0,cos0,ABABABCCC为钝角 【例 9】在ABC中，若2cossinsinBAC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角

30、形 D.等边三角形【难度】【答案】C【解析】方法一：sin()sin()2cossinABABBA 又2cossinsinsin()BACAB，sin()0ABAB ABCBAsinsinBA 方法二：由2cossinsinBAC得222acbacac，ab【例 10】ABC的三边分别为,a b c且满足cabacb2,2,则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【难度】【答案】D【例 11】如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则（）A111ABC和222A B C都是锐角三角形 B111ABC和222A B

31、C都是钝角三角形 C111ABC是钝角三角形，222A B C是锐角三角形 D111ABC是锐角三角形，222A B C是钝角三角形【难度】【答案】D【解析】111ABC的三个内角的余弦值均大于 0，则111ABC是锐角三角形，若222A B C是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，矛盾，所以222A B C是钝角三角形。故选 D。【例 12】在ABC中，若,coscoscosCcBbAa则ABC的形状是什么？【难度】【答案】直角三角形【解析】cosc

32、oscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sincosABCABABCC cos()cos(),2coscos0ABABAB cos0A或cos0B，得2A或2B，所以ABC 是直角三角形。【例13】在ABC中，,a b c分 别 表 示 三 个 内 角,A B C的 对 边，如 果2222()sin()()sin()abABabAB，判断三角形的形状【难度】【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】方法一：由已知得22sin()sin()sin()sin()aABABbABAB 所以ABbBAasincos2

33、sincos222 由正弦定理，得22sincossinsincossinAABBBA 所以sinsin(sincossincos)0ABAABB 所以sin2sin2,0,2222ABABABAB由得或 即ABC等腰三角形或直角三角形 方法二：同方法一可得222cossin2cos sinaABbbA，由正、余弦定理，即得 222222222222222222222222,()(),22()()0bcaacba bb aa bcabacbbcacabcababcab即或，所以ABC等腰三角形或直角三角形 【例 14】给出问题：已知ABC中，满足coscosaAbB，试判定ABC的形状某学生

34、的 解 答 如 下：由 条 件 可 得22222222bcaacbabbcac，去 分 母 整 理 可 得2222222abcabab，222cab，故ABC是直角三角形该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上：【难度】【答案】不正确；等腰三角形或直角三角形 【例 15】ABC中，sinsinsinbaBaBA，且coscos1 cos2ABCC，判断ABC的形状【难度】【答案】直角三角形【巩固训练】1在ABC中，若,12,10,9cba则ABC的形状是_。【难度】【答案】锐角三角形【解析】C为最大角，cos0,CC为锐角 2在A

35、BC中，角,A B均为锐角，且,sincosBA 则ABC 的形状是（）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【难度】【答案】C 【解析】cossin()sin,22AABA B都是锐角，则,222AB ABC 3在ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则ABC 的形状是（）A直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 【难度】【答案】D 【解析】sinsinlglg2,2,sin2cossincossincossinAAABCBCBC sin()2cossin,sincoscossin0,BCBCBCBCsin()0,BCBC，等腰三角形 4若,A

36、B是锐角三角形的两内角，则BAtantan_1（填或）。【难度】【答案】【解析】,22ABAB，即sin()2tantan()2cos()2BABB cos1sintanBBB，1tan,tantan1tanAABB 5.在ABC中，若22tantanaAbB，则ABC的形状为 【难度】【答案】等腰或直角三角形 6.在ABC中，若2sinsincos2ABC，则ABC的形状是 【难度】【答案】等腰三角形 7.在ABC中，若tan2ABabab，则ABC的形状是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 【难度】【答案】D 【解析】2cossinsinsin22t

37、an2sinsin2sincos22ABABABabABABABabAB，tan2tan,tan022tan2ABABABAB，或tan12AB所以AB或2AB 8.在ABC中，已知22(coscos)()cosa bBcCbcA，试判断ABC的形状【难度】【答案】等腰三角形或直角三角形 9.在ABC中，若3332abccabc，且3sinsin4AB，判断ABC的形状【难度】【答案】等边三角形 三、正、余弦定理综合【例 16】在ABC中，,a b c分别 是,ABC的对 边长，已知2acb，且22acacbc，求A的大小及sinbBc的值.【难度】【答案】（1）3cos5B，5a；（2）7c

38、os425C 【解析】解法一：2acb又22acacbc222bcabc 在ABC中，由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc，60A 在ABC中，由正弦定理得sinsinbABa，2,60bacA，2sinsin60sin60bBbcac23.解法二：在ABC中，由面积公式得11sinsin22bcAacB 2,60bacA，2sinsinbcAbBsinsinbBAc23.【例 17】已知在ABC中,6cos3A,a b c分别是角,A B C所对的边.(1)求tan2A；(2)若2 2sin()23B,2 2c,求ABC的面积.【难度】【答案】（1）tan22 2A；（2）2

39、 23S 【解 析】(1)因 为6cos3A,3sin3A,则2tan2A 22tantan22 21tanAAA(2)由2 2sin()23B,得2 2cos3B,1sin3B 则6sinsin()sincoscossin3CABABAB 由正弦定理,得sin2sincAaC,ABC的面积为12 2sin23SacB【例 18】设ABC的内角A BC，所对的边长分别为abc，且320tanBa，sin4bA（1）求Bcos和边长a；（2）若ABC的面积10S，求C4cos的值【难度】【答案】（1）3cos5B，5a；（2）7cos425C 【解析】（1）由sin4bA得4sinBa，由320

40、tanBa与4sinBa两式相除，有：053cosB，又通过320tanBa知：0tanB，则3cos5B，4sin5B，34tanB 则5a （2）由1sin2SacB，得到5c CA 由2571)53(21cos21)(cos212cos24cos2222BCACC【例 19】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acb，求y=BBBcossin2sin1的取值范围.【难度】【答案】12y【解析】2acb，222cos2acbBac=acacca222=21（ca+ac）1221.03B，1 sin2sincosByBB2sincossincossincosBBBBBB（）

41、2sin()4B.74412B，2sin()124B22 .故12y【例 20】已知ABC中，222 2(sinsin)()sinACabB，外接圆半径为2.（1）求C，（2）求ABC面积的最大值.【难度】【答案】（1）3；（2）233【解析】（1）由222 2(sinsin)()sinACabB得22222 2()()442acbabRRR 又2R，222acabb222abcab2221cos22abcCab 又0180,V60C （2）113sin222SabCab 22 3sinsin2 3sinsin(120)2 3sin(sin120 coscos120 sin)3sincos3s

42、inABAAAAAAAA 333sin2sin2 cos222233sin(230)2AAAA 当2120A，即60A 时，max3 32S【巩固训练】1.ABC中，,a b c分别为,ABC的对边，如果2,30bacB，ABC的面积为23，那么b等于（）A.231 B.1+3 C.232 D.2+3【难度】【答案】B【解析】2bac平方得a2+c2=4b22ac.又ABC的面积为23，且B=30，故由1113sinsin302242ABCSacBacac，得6ac，222412acb，由余弦定理，得222cos2acbBac=6212422bb=442b=23，解得242 3b.又b边长，1

43、3b .2.已知()()3abc bcabc ，则A=_.【难度】【答案】3【解析】由已知得22()3bcabc，222bcabc，bcacb2222=21.3A.3.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，若三角形的面积2221()4Sabc，则C的度数是_.【难度】【答案】4【解析】由2221()4Sabc得11sin2cos24abCabCtan1C，4C.4.在ABC中，若60C，则cabcba=_.【难度】【答案】1【解析】cabcba=）（cacbbcbaca22=222cbcacabbcacba.（*）60C，2222cosabcabCab222ababc 代入（*

44、）式得222cbcacabbcacba=1.5在ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。【难度】【答案】839【解析】2,acbsinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，13sincos2224BAC，而0,22B13cos24B，313sin2sincos22244BBB 839 6.在ABC 中，最大角为最小角的倍，且三边为三个连续整数，求值 AC2,a b c,a b c【难度】【答案】【解析】，设，则，而，即，得 7.在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，2 3a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,A

45、 B及,b c【难度】【答案】6B，23A，2bc【解析】由tantan422ABC得cottan422CC cossin224sincos22CCCC 14sincos22CC 1sin2C，又(0,)C 566CC，或 由2sincossinBCA得 2sincossin()BBBC 6,5,4abc,ABCabc1,1anbn cn111sin22cossin2sin1sinnnnCCCCnC222222(1)(1)4cos22(1)22abcnnnnCabnnn41152221nnnnn6,5,4abc即sin()0BC BC，6BC 2()3ABC 由正弦定理sinsinsinabc

46、ABC得1sin22 32sin32BbcaA 8（2020上海高一课时练习）在ABC中，已知8,30cA，试讨论a的值以确定三角形解的个数.【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形ABC的图像有以下几种情况：作图：sin8 sin304cA.当04a时，无解【如图（1）】；当4a 时，有一个解【如图（2）】；当48a时，有两个解【如图（3）】；当8a时，有一个解【如图（4）、图（5）】.【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.四、利用正、余弦定理

47、证明三角式【例 21】在ABC中，coscosACBABC，（3）证明：BC；（4）若1cos3A ，求sin 43B的值【难度】【答案】（1）提示：利用正弦定理，得0)sin(CB；（2）4 27 318【例 22】在ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba【难度】【答案】证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边 得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab22abababba左边，)coscos(aAbBcabba 【例 23】在锐角ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。【难度】【答案】证明：AB

48、C 是锐角三角形，,2AB即022AB sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA CBACBAcoscoscossinsinsin【例 24】在锐角ABC中，求证：1tantantanCBA。【难度】【答案】证明：ABC 是锐角三角形，,2AB即022AB sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA sinsinsinsinsinsincoscoscos,1coscoscosABCABCABCABC1tantantanCBA 【例 25】在ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。

49、【难度】【答案】证明：sinsinsin2sincossin()22ABABABCAB 2sincos2sincos2222ABABABAB 2sin(coscos)222ABABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC 2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA 【例 26】在ABC中，若0120 BA，则求证：1cabcba。【难度】【答案】证明：要证1cabcba，只要证2221aacbbcabbcacc，即222abcab 而0120,AB060C 2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。【例 27】在ABC中

50、，若223coscos222CAbac，则求证：2acb【难度】【答案】证明：223coscos222CAbac 1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCAB sinsinsin()3sinACACB 即sinsin2sinACB，2acb【例 28】ABC的三个内角,A B C的对边分别是,a b c，如果2()ab bc，求证：2AB【难度】【答案】证明：用正弦定理，2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC代入222cab中，得 222sinsin(sinsin)sinsinsinsinABBCABBC 22co