2022届陕西省西安中学高三下学期八模理科数学试题(.pdf

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1、陕西省西安中学 2022 届高三下学期八模 理科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数z满足(2i)4zz（i是虚数单位），则复数z的共轭复数z（）A3i B3i C1 i D1 i 2设集合4,ZMx xn n，2,Nx xn nZ，则（）AMN BNM CMN DNM 3若命题p：0 xR，20010 xx，命题q：0 x，|0 x，则下列命题中是真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq 4已知非常数函数 f x满足 1fx f xxR，则下列函数中，不是奇函数的为（）A 11f xf x B 1

2、1f xf x C 1fxfx D 1fxfx 5已知直三棱柱111ABCABC，若1ABBCBB，ABBC，D是棱1CC中点，则直线AC与直线1B D所成角的余弦值为（）A33 B2 23 C105 D155 6甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，则不同的安排方法共有（）A40 种 B30 种 C20 种 D60 种 7将曲线sinyx上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移116个单位长度，得到曲线 yf x，则 0ff（）A34 B34 C14 D14 8小明家订了一份报纸，送报人可能在早

3、上6:30至7:30之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间，则小明父亲在离开家前能看得到报纸的概率为（）A89 B78 C23 D12 9如图所示，一座建筑物 AB 的高为(30103)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为（）A30 m B60 m C303 m D403 m 10已知函数 sin3cos0f xxx在0,1内恰有3个极值点，则实数的取值范围是（）A17 13,63

4、 B10 13,33 C10 23,36 D17 23,66 11已知椭圆22122:10 xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得过点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（）A1,12 B23,22 C2,12 D3,12 12已知1,ea b c，且ln55lnaa，ln33lnbb，ln22lncc，则（）Abca Bcba Cacb Dabc 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13双曲线2226xy的焦距为_.14已知向量1,ax，1,1bx，2aba，则ab_.15锐角ABC中，内角,A B C的对边分别

5、为,a b c，若222,2bcabc b，则ABC的面积的取值范围是_ 16某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内在图中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为_（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 172021 年 4 月我国进入新冠疫苗全民接种阶段，已达到每天接种 1000 万人接种疫苗能力现为了调查普通人群(18年龄60)免费接种意向，

6、现社区从某小区随机抽查 100 名业主(18年龄60)进行调查，得如下表格：18年龄45 45年龄60 合计 无意向 10 20 有意向 80 合计 74 100 (1)补充上述表格，根据表格判断有多大的把握认为该小区住户有无注射疫苗的意向和年龄有关？(2)先用分层抽样方法从该小区“无意向”业主中抽取 6 名业主，再从这 6 名业主中随机抽取 3 名业主调查无意向原因，设抽到“18年龄45”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望 附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d 20P Kk 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.

7、828 18如图，边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于 C，D的点 （1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求平面 MAB与平面 MCD所成二面角的正弦值 19记数列na的前n项和为nS，已知1113,2332nnnnaS SSSn （1）求数列na的通项公式；（2）求使18na 成立的n的最大值.20已知2()sinsinxxf xx exexaxax.（1）当()f x有两个零点时，求 a的取值范围；（2）当1a，0 x 时，设()()sinf xg xxx，求证：()lng xxx.21已知抛物线2:20C xpy

8、p的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点.当/ABx轴时，2AB.（1）求抛物线C的方程；（2）证明：2PFAFFB.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xoy中，曲线1C的方程为4coscos3sinsinxy(R，为参数).（1）求曲线1C的普通方程并说明曲线1C的形状.（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin04，求曲线1C的对称中心到曲线2C的距离的最大值.23选修 45：不等式

9、选讲（10 分）关于x的不等式3axx的解集为 1,b，其中1a (1)求实数a，b的值；(2)若正数m，n满足2man，求2nm的最小值 1页 参考答案：1B 2A 3D 4D 5C 6D 7D 8B 9B 10D 11C 12A 136 145 153,2 32 16（或）17(1)补充完整的表格如下：18年龄45 45年龄60 合计 无意向 10 10 20 有意向 64 16 80 合计 74 26 100 22100(10 161064)7.48420 80 74 26K，7.4846.635，有99%的把握认为该小区业主有无注射疫苗的意向和年龄有关；2页(2)由题意可得抽取的 6

10、名业主中“18年龄45”的有 3 人，45年龄60”的有 3 人，则X的可能取值为0123，12333366C C11901C20C20P XP X，21333366C C91123C20C20P XP X，X的分布列为：X 0 1 2 3 P 120 920 920 120 199130123202020202E X 18（1）易知，在半圆中，DMMC，由题正方形 ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，交线为 CD，因为 ADCD，所以 AD平面 DCM，又MC 平面 DCM，则ADMC，DM，AD平面 ADM，MC平面 ADM，又MC 平面 ADM，平面 AMD平面 BMC；（2）

11、ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时 M为圆弧的中点，以点 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，2,1,0A，2,1,0B，0,0,1M，1,0,0E，0,2,0AB，2,1,1AM ，则平面 MCD的法向量1,0,0OE，设平面 MAB的法向量,nx y z，由00n ABn AM 得：2020yxyz，令1x，则0y，2z，所以1,0,2n，3页 则15cos,5114OE nOE nOE n，则平面 MAB与平面 MCD所成二面角的正弦值为252 5155.19【解】（1）当2n时,若0nS,则由11233nnnnS SSS,得10nS,这与11

12、3aS 相矛盾,所以0nS.由11233nnnnS SSS,等式两边同除以1nnS S并整理,和11123nnSS.所以数列1nS是首项为1113S,公差23d 的等差数列.所以112331nnS,化简得321nSn.所以当2n时,13362123(21)(23)nnnaSSnnnn.又因为13a ,不符合上式,所以3,1,6,2.(21)(23)nnannn（2）由（1）知3,1,6,2.(21)(23)nnannn 易知2n.所以由题意,得61(21)(23)8nann,整理,得2483 48nn.解得24.5n.所以使18na成立的n的最大值是 4.20【解】4页（1）由题意，函数2()

13、sinsin(sin)xxxf xx exexaxaxxeaxx 因为()f x有两个零点，又因为sin0 xx时，解得0 x，所以当0 xxea有一个非零实根，设 xh xxe，可得()(1)xh xxe，当(,1)x 时，()0h x，h x单调递减；当(1,)x 时，()0h x，h x单调递增，所以当1x 时，函数 h x取得最小值，最小值为1(1)he，又由(0)0h，0 x 时，(0)0h；0 x 时，(0)0h，所以1ae 或0a，即实数 a的取值范围是1(0,)e.（2）由题意，可得()()1sinxf xg xxexx，要证()lng xxx，即证1lnlnxxxexxxe，

14、令0 xtxe，令()ln1(0)H tttt，可得11()1tH ttt，令()0H t，即10t ，解得1t；令()0H t，即10t ，解得1t，所以函数()H x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()(1)=0H xH，即1lnxxexx，即()lng xxx.21【解】（1）解：由题意可知，0,2pF，准线方程为2py .当/ABx轴时.根据抛物线的定义可知，22ABp，解得1p，故C的方程为22xy.（2）证法一：设211,12A xx，222,12B xx，由212yx，得yx，所以PA的斜率111x xkyx，从而切线PA的方程为211112yxxxx，即211

15、12yx xx，同理可知，PB的斜率22kx，PB的方程为22212yx xx，5页 两式联立，解得122xxx，122x xy，所以1212,22xxx xP.设AB的方程为12ykx，由21,22,ykxxy得2210 xkx，则122xxk，121x x .即1 2121k kx x，所以PAPB，即1,2P k.则(,1)PFk，22212111,22ABxxxx，因为2222212121211111(,1),2222PF ABkxxxxk xxxx 122121()02xxxxkxxkk，所以PFAB.由AFPPBF，得PFFBAFPF，故2|PFAFFB.证法二：设211,12A

16、xx，222,12B xx，由212yx得，yx，所以PA的斜率111x xkyx，所以切线PA的方程为211112yxxxx，即2111112yx xxx xy，同理可知，PB的斜率22kx，PB的方程为2222212yx xxx xy，设,P m n，则11nx my，22nx my，所以A，B两点的坐标是方程nxmy的两个解，即直线AB的方程为nxmy，亦即ymxn.又直线AB恒过定点10,2，所以12n ，即1,2P m且直线AB的方程为12ymx.由22,12xyymx得2212104ymy.所以21221yym，1214y y.由抛物线定义知1212121111|2224AFBFy

17、yy yyy.6页 所以2|1AFBFm，22211|(0)122PFmm 所以2|PFAFFB.22【解】（1）曲线1C的方程为4coscos3sinsinxy(R，为参数)可知 4coscos3sinsinxy(R，为参数)消去参数得曲线1C的普通方程为224cos3sin1xy 曲线1C是以4cos,3sin为圆心，1 为半径的圆.（2）将曲线2C的极坐标方程为sin04，即sincos0，化为直角坐标方程为0 xy 曲线1C的对称中心即为圆心4cos,3sin 曲线1C的对称中心到曲线2C的距离5sin4cos3sin22d 1sin1 曲线1C的对称中心到曲线2C的距离的最大值为5 22.23(1)依题意，不等式3axx化为：22(1)690axax，而1a，则1,b是方程22(1)690axax的二根，且1b，因此，2680aa且291ba，解2680aa得2a 或4a，当2a 时，3b，符合题意，当4a 时，315b 不符合题意，所以2a，3b.(2)由(1)知，2a，22mn，而0,0mn，7页 则有21221414()()(4)(42)4222nmnmnmnmnmmnmn，当且仅当4mnmn时取“=”，由422mnmnmn解得：1,2mn，所以当1,2mn时，2nm取最小值 4.