2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，长轴长8，焦距为4，过点1F的直线交椭圆于 A，B两点，则2ABF的周长为（）A4 B8 C16 D32【答案】C【分析】根据题意画出图像，根据椭圆的定义即可求解【详解】由题知，2a8，2ABF的周长为2211222216ABAFBFAFBFAFBFaa 故选：C 2设等差数列 na的前n项和为nS，若511a，880S，则10a（）A21 B20 C18 D16【答案】A【分析】列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差

2、，从而可得答案.【详解】设数列 na的公差为d，因为511a，880S 所以114118 78802adad，解得13a，2d，故10193 1821aad.第 2 页 共 17 页 故选：A.3已知等比数列 na的前 3 项和为 168，2542aa，则6a（）A14 B12 C6 D3【答案】D【分析】设等比数列 na的公比为,0q q，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列 na的公比为,0q q，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaa qa q，解得19612aq，所以5613a

3、a q.故选：D.4若Rk，则3k 是方程22133xykk表示双曲线的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线3k 和3k 异号，进而求得k的范围即可判断是什么条件【详解】解：因为方程22133xykk表示双曲线，所以330kk，解得33k，因为3,33,，所以3k 是方程22133xykk表示双曲线的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题 5已知圆锥的底面半径为 2，高为4 2，则该圆锥的内切球表面积为（）第 3 页 共 17

4、 页 A4 B4 2 C8 2 D8【答案】D【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点O为球心，内切球的半径为r，,D E为切点，设ODOEr，即2BEBD 由条件可知，224 226AB，ADO中，222AOADDO，即2224 262rr，解得：2r，所以圆锥内切球的表面积248Sr.故选：D 6已知两点(1,0)M，(1,0)N，若直线340 xym上存在点P满足0PM PN，则实数m的取值范围是 A,55,B,2525,C5,5 D25,25【答案】C【分析】P的轨迹为圆，考虑该圆和直线340 xym有公共点（即相交或相切）可

5、得实数m的取值范围.【详解】设,P x y，则1,1,PMxyPNxy 由PMPN得221xy，因P在直线340 xym上，故圆心到直线的距离 22134md，故5,5m，故选 C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B为定点，且动点M满足1MAMB，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ABC中，BC为定长，A为定值，则动点A的轨迹为一段圆弧 第 4 页 共 17 页 7已知等差数列 na中，538a，设函数 24cos2 sincos222xf xxx，记 nnyf a，则数列 ny的前9项和为（）A0 B10 C

6、16 D18【答案】D【分析】分析可知函数 f x的图象关于点3,28对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】24cos2 sincos222cos sincos22sin2cos222xf xxxxxxxx 2sin 224x，由2Z4xkk，可得Z28kxk，当1k 时，38x，故函数 f x的图象关于点3,28对称，由等差中项的性质可得1928374652aaaaaaaaa，所以，数列 ny的前9项和为 12954 418f af af af a.故选：D.8 已知3,0A，若点 P 是抛物线28yx上任意一点，点 Q 是圆22(2)1xy上任意一点，则2|P

7、APQ的最小值为()A3 B4 34 C2 2 D4【答案】B【分析】设,P x y，利用三角形知识得到22|1PAPAPQPF，转化成22|293PAxxPQx，令33xt t，将2293xxx转化成124ytt，问题得解【详解】设,P x y，由抛物线28yx方程可得：抛物线的焦点坐标为2,0F，由抛物线定义得：2PFx 第 5 页 共 17 页 又1PQPFQFPF,所以2|PAPQ22238|29133xxPAxxPFxx，当且仅当,P Q F三点共线时（F 点在 PQ 中间），等号成立，令33xt t，2293xxx可化为：2323912124244 34ttyttttt，当且仅当2

8、 3t，即：2 33x 时，等号成立 故选 B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题 二、多选题 9已知三个数1,9a成等比数列，则圆锥曲线2212xya的离心率为 A5 B33 C102 D3【答案】BC【分析】由等比数列的性质求出a，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数1,9a成等比数列，得29a，即3a；当3a，圆锥曲线为22132xy，曲线为椭圆，则1333e；当3a 时，曲线为22123yx，曲线为双曲线，51022e，第 6 页 共 17 页 则离心率为：33或102 故选 BC【点睛】本题考查等比数列的性

9、质，离心率的求解，易错点为漏解a的取值，属于中档题 10已知12,A x y，22,B xy是抛物线220ypx p上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为.则下列命题正确的是（）A2124pxx B1222sinpABxxp C112AFBFp D12122y yx x 【答案】ABC【分析】对于选项 A，设直线AB的方程为2pxmy，代入22ypx，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项 B，利用抛物线的定义和选项 A 中的结论，表示出12xx即可；对于选项 C，由抛物线的定义，在直角三角形AFC中，运用余弦函数的定义，即可得到AF的长，同理可得BF的长，即可判断；对于选项 D，选项

10、 A 中的结论进行判断即可.【详解】对于选项 A，设直线AB的方程为2pxmy，代入22ypx，可得2220ypmyp，所以212yyp，222121224yypxxp，选项 A 正确；对于选项 B，因为AB是过抛物线22ypx的焦点的弦，所以由抛物线定义可得121222ppABAFBFxxxxp，由选项 A 知，212yyp，122yypm，所以222222121212242yyyyyyp mp.即222221212242yyp xxp mp，解得2122xxpmp，当90时，0m，所以2ABp，当90时，1tanm，所以2221221tantanpABpp222cos221sinsinpp

11、，当90时，sin1也适合上式，所以1222sinpABxxp，选项 B 正确；第 7 页 共 17 页 对于选项 C，不妨设0,2，点 A在 x轴上方，设A，B是A，B在准线上的射影，cosAFAACKpCFpAF，所以1 cospAF，同理可得1 cospBF，所以112AFBFp，同理可证,)2时，等式也成立，选项 C 正确；对于选项 D，由上可知：212yyp，222121224yypxxp，所以12124y yx x，选项 D 不正确，故选：ABC.112022 年 4 月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是

12、由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点0,2F，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与 y 轴交于点 G若过原点 O 的直线与上半椭圆交于点 A，与下半圆交于点 B，则（）A椭圆的长轴长为4 2 B线段 AB 长度的取值范围是4,22 2 CABF面积的最小值是 4 DAFG的周长为44 2 第 8 页 共 17 页【答案】ABD【分析】由题意可得 b、c，然后可得 a，可判断 A；由椭圆性质可判断 B；取特值，结合 OA 长度的取值范围可判断 C；由椭圆定义可判断 D.【详解】由题知，椭圆中的几何量2bc，得2 2a，则24 2a，A

13、 正确；2ABOBOAOA，由椭圆性质可知22 2OA，所以422 2AB，B 正确；记AOF，则11sinsin()22ABFAOFOBFSSSOA OFOB OF sin2sin(2)sinOAOA 取6，则11112 2422ABFSOA ，C 错误；由椭圆定义知，24 2AFAGa，所以AFG的周长4 244 2LFG，D 正确.故选：ABD 12 如图，四边形ABCD为正方形，ED 平面ABCD，FBED，2ABEDFB，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为1V，2V，3V，则（）A322VV B312VV C312VVV D3123VV【答案】CD【分析】找到三棱锥的高

14、，利用三棱锥体积公式分别求出1V，2V，3V，进而判断出结果.第 9 页 共 17 页【详解】如图连接BD交AC于 O，连接OEOF、.设22ABFB，则2ABBCCDAD.由ED 平面ABCD，FBED，所以FB 平面ABCD，所以111143323E ACDACDVVSEDAD CD ED，211123323FABCABCVVSFBAB BC FB.由ED 平面ABCD，AC平面ABCD，所以EDAC.又ACBD，且EDBDD，EDBD、平面BDEF，所以AC 平面BDEF，所以ACOF.易知222 2,2,6BDOBOEODED，223OFOBBF 22()3EFBDEDFB，所以222

15、EFOFOE=，所以OFOE,而OEACO，OEAC、平面ACE，所以OF 平面ACE.又2 2ACAECE，231132334FACEACEVVSOFACOF，所以有32313123122=+2=3VVVVVVVVV，所以选项 AB 不正确，CD 正确.故选：CD.三、填空题 13已知向量3,1,1,0,abcakb若ac，则k _【答案】103.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】3,1,1,0,3,1abcakbk,第 10 页 共 17 页,3 31 10aca ck ，解得103k ,故答案为：103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运

16、算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量1122,px yqxy垂直的充分必要条件是其数量积12120 x xy y.14已知双曲线22221xyab(a0，b0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】3yx 【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221xyab的离心率为 2，则221ba，解得3ba，故双曲线的渐近线方程为3yx.故答案为：3yx.15正方体1111ABCDABC D中，,E F分别是11,BB CC的中点，则,AE BF所成的角的余弦值是_【答案】15【分析】取1DD的中点G，由/GA BF得出异面直线AE与BF所成的角为G

17、AE，然后在GAE由余弦定理计算出cosGAE，可得出结果【详解】取1DD的中点G，由/GA BF且GABF可得GAE为,AE BF所成的角，设正方体棱长为1，GAD中利用勾股定理可得15142AEAG，又2EG，由余弦定理可得5555122cos,cos44225EAGEAG，故答案为15 第 11 页 共 17 页 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题 16对给定的数列 0nnaa，记1nnnaba，则称数列 nb为数列 na的一阶商数列；记1nnnbcb，则

18、称数列 nc为数列 na的二阶商数列；以此类推，可得数列 na的 P阶商数列PN，已知数列 na的二阶商数列的各项均为e，且121,1aa，则10a_【答案】36e【分析】由题意可得1ennnbcb，从而得1ennb，即11ennnaa，由累乘法即可求得10a的值.【详解】解：由数列 na的二阶商数列的各项均为e，可知1ennnbcb，而2111aba，故数列 nb是以 1 为首项，e为公比的等比数列，即1ennb，即11e,nnnanaN，即283102412391,e,e,eaaaaaaaa 所以1 8 8281 28363102421011239 1 1 e e?ee=e=eaaaaaa

19、aaaa ，故3610ea 故答案为：36e 四、解答题 第 12 页 共 17 页 17记ABC得内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA=3sinB，C=3，c=7.(1)求 a；(2)求 sinA.【答案】(1)3a (2)3 2114 【分析】（1）由3ab，结合余弦定理得出a；（2）由正弦定理得出sin A.【详解】（1）因为 sinA=3sinB，所以3ab，由余弦定理2222coscababC 可得222793,1bbb b，所以3a （2）由sinsinacAC可得，33sin3 212sin147aCAc 18已知数列 na的前n项和为nS,12a，12nn

20、aS（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足221lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）2nna；（2）1222nn【分析】（1）由条件得到122nnaSn，结合已知两式相减得到12(2)nnana，再验证21aa，得到数列 na是等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知221nnbn，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】（1）12nnaS.12(2)nnaSn.-得 1nnnaaa，即12(2)nnana 又12a,221124,2aaSa 12()nnanNa na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 12 22nnna 第 13

21、页 共 17 页（2）由（）得2nna 2122log 2221nnnnbn 123.nnTbbbb 123(21)(23)(25).(221)nn 123(222.2)135.(21)nn 2(12)1(21)122nnn 1222nn【点睛】本题考查已知nS求na，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于基础题型，本题容易忽略验证21aa，一般求和的方法包含 1.公式法求和；2.裂项相消法求和；3.分组转化法求和；4.错位相减法求和，这些常用方法需熟练掌握.19如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，143AAAB，ABC是等边三角形，D，E，F 分别是棱11B

22、C，AC，BC 的中点.(1)证明：AD平面1C EF.(2)求平面 ADE 与平面1C EF夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)18 【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：连接 BD.因为 E，F分别是棱 AC，BC 的中点，所以EFAB.因为EF 平面1C EF，AB 平面1C EF，所以AB平面1C EF.第 14 页 共 17 页 因为 D，F分别是棱11BC，BC的中点，所以1BFC D，1BFC D，所以四边形1BDC F是平行四边形，则1BDC F.因为1C F 平面1

23、C EF，BD 平面1C EF，所以BD 平面1C EF.因为,AB BD 平面 ABD，且ABBDB，所以平面ABD平面1C EF.因为AD 平面 ABD，所以AD平面1C EF.（2）解：取11AC的中点O，连接1OB，OE，易证1OB，1OC，OE 两两垂直，则以 O为原点，分别以1OB，1OC，OE的方向为 x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设4AB，则0,2,3A，10,2,0C，3,1,0D，0,0,3E，3,1,3F，从而3,3,3AD，0,2,0AE，10,2,3C E，3,1,0EF.设平面 ADE 的法向量为111,xny z，则11113330,20,n

24、 ADxyzn AEy令13x，得3,0,1n，设平面1C EF的法向量为222,mxyz，则12222230,30,m C Eyzm EFxy 令23x，得3,3,2m.设平面ADE与平面1C EF的夹角为，则321coscos,82394n mn mn m.20已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长为4，C的两个顶点和一个焦点围成等边三角形(1)求椭圆C的标准方程；第 15 页 共 17 页(2)直线2(0)ykxk与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为45，求k的值【答案】(1)2214xy(2)192k 或1k 【分析】（1）由已知可得a，b，可求椭圆C的标

25、准方程；（2）设11,A x y，22,B xy，将椭圆方程与直线方程联立，可得1221614kxxk，1221214x xk，由已知可得224 434145kk，求解即可【详解】（1）由题知，24a，得2a，要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形两顶点只能在短轴上，则22ab，1b，故椭圆C的标准方程为2214xy；（2）设11,A x y，22,B xy，将椭圆方程与直线方程联立22142xyykx，化简得221416120kxkx，其中22(16)48 140kk，即234k，且1221614kxxk，1221214x xk，22222212222216484 431()41()11 4

26、1 41 4xkkABkxxx xkkkkk 原点到直线的距离221dk，2214 4342145AOBkSAB dk 化简得42423190kk，解得2194k 或21k，又0k 且234k，192k或1k 21已知公差为正数的等差数列 na的前n项和为1,1nSa，_请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：248SSS、成等比数列，251072a aa(1)求数列 na的通项公式；(2)若11nnnba a，求数列 nb的前 n项和nT【答案】(1)21nan 第 16 页 共 17 页(2)21nnTn 【分析】（1）先设等差数列na的公差为(0)d d，再根据等

27、差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件分别列出关于首项1a与公差d的方程，解出d的值，即可计算出数列na的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列 nb的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和nT 【详解】（1）由题意，设等差数列na的公差为(0)d d，方案一：选择条件 41121816,4 3442822,8SadaSadddSa，根据248SSS、成等比数列得2428SS S,代入得1121462828addaad，又11a，化简整理，可得220dd，由于0d，所以2d ，12(1)21nann，*nN 方案二：选择条件 由251072a aa，可得211149(6)2

28、adadad，又11a，解得2d，12(1)21nann，*nN（2）由（1）可得111111(21)(21)2 2121nnnba annnn，则12nnTbbb 1111111112323522121nn 111111123352121nn 111221n 21nn 22 已知点 F为抛物线：22ypx（0p）的焦点，点(1,)Pt在抛物线上且在 x轴上方，2PF.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线:1l xmy与曲线交于 A，B两点（点 A，B 与点 P不重合），直线 PA与 x轴、y轴分第 17 页 共 17 页 别交于 C、D 两点，直线 PB 与 x 轴y轴分别交于 M、N 两点

29、，当四边形 CDMN的面积最小时，求直线 l的方程.【答案】(1)24yx；(2)1yx或1yx .【分析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出 p即可作答.(2)联立直线 l与抛物线的方程，用点 A，B 坐标表示出点 C，D，M，N的坐标，列出四边形 CDMN面积的函数关系，借助均值不等式计算得解.【详解】（1）抛物线的准线：2px ，由抛物线定义得122pPF ，解得2p，所以抛物线的方程为24yx.（2）因为点(1,)Pt在2:4yx上，且0t，则2t，即(1,2)P，依题意，0m，设11(,)A x y，22(,)B xy，由241yxxmy消去x并整理得2440ymy，则有124yy

30、m，124y y ，直线 PA 的斜率是1121112241214PAyykyxy，方程为14212yxy，令0y，则12yx ，令0 x，则1122yyy，即点 C1(,0)2y，点D112(0,)2yy，同理点 M2(,0)2y，点N222(0,)2yy，则122yyCM，1212)4(22yyDNyy，四边形CDMN的面积S有：1212124(1122222)yyyySCMDNyy2212121212121242224yyyyy yyyy yyy 221616222248mmmmmm，当且仅当22 mm，即1m 时取“=”，所以当1m 时四边形 CDMN 的面积最小值为 4，直线 l的方程为1yx或1yx .