2022-2023学年湖南省郴州市第一中学北校区高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年湖南省郴州市第一中学北校区高二上学期期末数学试题 一、单选题 1经过点(1,0)P 且倾斜角为60的直线的方程是（）A310 xy B330 xy C330 xy D310 xy 【答案】B【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为60知，直线的斜率3k，因此，其直线方程为03(1)yx，即330 xy 故选：B 2若向量1,2,4ax与向量1,2,2bx互相垂直，则x的值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】由ab，知0a b，得到关于x的方程，解方程即可得解.【详解】因为向量1,2,4ax与向量1,2,

2、2bx互相垂直 0a b，即1 224 20 xx ，解得：3x 故选：C 3记等差数列 na的前 n 项和为nS，已知515S，735S，则1a（）A2 B1 C0 D1【答案】D【分析】利用题给条件列出关于首项1a公差 d的方程组，解之即可求得1a的值.【详解】设等差数列 na的首项为1a，公差为 d，则115 451527 67352adad，解之得121da 第 2 页 共 19 页 故选：D 4如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABC是等边三角形，1AAAB，D，E，F分别是棱1AA，1BB，BC的中点，则异面直线DF与1C E所成角的余弦值是（）A510 B55 C1510 D

3、155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线DF与1C E所成角的余弦值.【详解】设1,O O分别是11,AC AC的中点，连接111,OO OB O B，则11/OOAA，由于ABC是等边三角形，所以OBAC，根据直三棱柱的性质可知，平面11ACC A 平面ABC，且交线为AC，OB平面ABC，所以OB 平面11ACC A，由于1OO 平面11ACC A，所以1OBOO.根据根据直三棱柱的性质可知，1AA 平面ABC，所以1OO 平面ABC，,AC OB 平面ABC，所以11,OOAC OOOB，由此以O为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，设12ABACBCAA，则1

4、3 10,1,1,0,0,1,2,3,0,122DFCE，所以13 3,1,3,1,122DFC E，设异面直线DF与1C E所成角为，第 3 页 共 19 页 则1115cos1025DF C EDFC E.故选：A 5已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上、下顶点分别为 A，B，若四边形12AF BF为正方形，则椭圆 C 的离心率为（）A12 B22 C32 D2【答案】B【分析】根据椭圆的几何性质得到12AFAFa，122FFc，然后根据四边形12AF BF为正方形得到22ca，化简即可得到椭圆的离心率.【详解】根据椭圆的性质可得12AFAFa，122F

5、Fc，因为四边形12AF BF为正方形，所以1212FFAF，即22ca，所以22ca.故选：B.6 已知圆22:48120C xyxy，过点4,2P 作圆C的切线PA，PB，切点为,A B，则ABC的面积为（）第 4 页 共 19 页 A45 B85 C165 D325【答案】C【分析】设AB与PC交于点D，根据切线的性质及勾股定理求得PA，再根据等面积法求出AD，再利用勾股定理求出CD，从而可得出答案.【详解】解：设AB与PC交于点D，则ABPC且D为AB的中点，圆22:48120C xyxy，化为22248xy，则圆心2,4C，半径2 2r，4362 10PC，则224084 2PAPB

6、PCr，由1122PACSPA rPCAD，得4 22 24 22 105AD，所以22322 2855CDACAD，所以14 22 216222555ABCACDSS.故选：C.7已知定义域为R的函数 f x满足以下条件：12121212()()()0,(,(0,),)f xf xxxx xxx；()()0f xfx;第 5 页 共 19 页(3)0f.则 0 xf x 成立的x的取值范围是（）A 3,03,B,30,3 C3,3 D 3,00,3【答案】D【分析】由题意可得 f x是R上的单调递增奇函数，且有 330ff，分0,0 xx，分别求解，再取并集即可得答案.【详解】解：0f xf

7、x，fx是定义在R上的奇函数，12121212()()()0,(,(0,),)f xf xxxx xxx；fx在0,单调递增，则 f x在,0单调递增，又 30f，330ff，当30 x 或3x 时，0f x；当3x 或03x时，0f x 不等式 0 xf x，转化为 00 xf x或 00 xf x，即003xx或030 xx，解得03x或30 x，故 0 xf x 成立的x的取值范围是 3,00,3.故选：D 8城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点 1122,A x yB x y

8、，定义两点间“距离”为1212,d A Bxxyy，则平面内与x轴上两个不同的定点12,F F的“距离”之和等于定值（大于12,d F F）的点的轨迹可以是（）A B 第 6 页 共 19 页 C D【答案】A【分析】分横坐标在1F、2F之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可.【详解】解：根据题意，横坐标在1F、2F之外的区域，不能出现与x轴垂直的线段，否则该线段上的点与1F、2F的“距离”之和不会是定值；横坐标在1F、2F之内的区域，则必须与x轴平行，否则该线段上的点与1F、2F的“距离”之和不会是定值.故选：A.二、多选题 9过抛物线28xy的焦点F作y轴的垂线，交抛物线于

9、A，B两点，O为抛物线的顶点，则下列说法正确的是（）AF点坐标为0,2 B准线方程为2x C8AB D8AOBS【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义求焦点，准线方程，通径 AB的长度，最后可求AOBS.【详解】抛物线28xy的焦点为0,2，准线方程为=2y，当2y 时，4x，8AB，12 882AOBS.故选：ACD.10已知定义域为2,2的函数 sincosf xxxxx，则（）A f x为奇函数 B fx为偶函数 C f x在0,上单调递减 D f x在,2上单调递增 第 7 页 共 19 页【答案】AB【分析】由定义判断 AB；由导数得出单调性判断 C；由特殊值判断 D.【详解】sin

10、cossincos()fxxxxxxxxxf x ，则 f x为奇函数；1 coscossin1sinfxxxxxxx ，1sinfxxxfx，则 fx为偶函数；当0,x时，0fx，即 f x在0,上单调递增；4444432333332sincosf，3sinc55555533336os32f，4533ff，即 f x在,2上不是单调递增，故只有 AB 正确；故选：AB 11已知数列 na中，12a，21212nnaa，则关于数列 na的说法正确的是（）A25a B数列 na为递增数列 C221nann D数列11na的前 n项和小于34【答案】BCD【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从

11、而对选项 ABC 一一判断即可；利用裂项相消法求数列11na的前 n项和，即可判断 D.【详解】由21212nnaa，得21221nnaa，即1221nnaa，又12a，122a 所以2na 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以22(1)11nann，即221nann，所以27a，故 A 错误，C 正确；212nan，所以 na为递增数列，故 B 正确；第 8 页 共 19 页 21111 1112222nannn nnn，所以数列11na的前 n 项和为 11111111111.232435112nnnn 1111311131221242124nnnn，故 D 正确.故选：BCD 1

12、2如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，12ACBCCC，E为11BC的中点，过AE的截面与棱1BB，11AC分别交于点 F，G（G，E，F 可能共线），则下列说法中正确的是（）A存在点 F，使得1AFAE B线段1C G长度的取值范围是 0,1 C四棱锥CAFEG的体积为 2 时，点 F 只能与点 B 重合 D设截面AFEG，AEG，AEF的面积分别为1S，2S，3S，则2123SS S的最小值为 4【答案】BCD【分析】以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点0,2,Fa、,0,2G b，其中02a，02b，利用空间向量垂直的坐标表

13、示可判断 A 选项；求出b与a的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断 B 选项；利用等积法可判断 C 选项；利用基本不等式可判断 D 选项.【详解】因为1CC 平面ABC，ACBC，以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，第 9 页 共 19 页 则2,0,0A、0,2,0B、0,0,0C、12,0,2A、10,2,2B、10,0,2C、0,1,2E，设点0,2,Fa、,0,2G b，其中02a，02b.对于A 选项，若存在点F，使得1AFAE，且12,2,2AFa，2,1,2AE ，142220AF AEa，解得1a，不合乎题意，A 错

14、；对于 B 选项，设AGmAEnAF，其中m、Rn，即2,0,22,1,22,2,bmna，即22=2+2=02+=2mn bmnm an，可得424ba，02a，则442a ，所以，420,14ba，B 对；对于 C 选项，2CAFEGCAGECAFEVVV，其中11233CAGEE ACGACGVVSEC，故43CAFEV，又124333CAFEA CEFCEFCEFVVAC SS，故2CEFS 即1 1122CEFCBB CSS正方形，故点 F只能与点 B重合，C 对；对于 D 选项，2,1,2AE ，2,2,AFa，则点F到直线AE的距离为2221524363AE AFaadAFAE，

15、2,0,2AGb，则点G到直线AE的距离为222AG AEdAGAE 第 10 页 共 19 页 225482 5243633 4bbaaa，所以，223124SdSda，故2223312232332242242SSSSSaS SS SSSa，2422442aa，当且仅当=2a时，等号成立，故2123SS S的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.三、填空题 13在等比数列 na中，3a，15a是方程2620 xx的两个实数根，则2169a aa的值为_【答案】2【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，即可直接求解.【详解】设

16、等比数列 na的公比为q，因为315,a a是方程2620 xx的两个实数根，所以315aa29a2，3156aa，所以30a，150a，则92a ，所以216992a aaa 故答案为：2.14曲线33yxx在点P处的切线平行于直线21yx，则点P的坐标为_【答案】1,3或1,3【分析】求导得到2312yx ，解得1x 或=1x，得到坐标.【详解】由已知得231yx，令2y，则2312x ，解得1x 或=1x，所以1,3P或1,3P 经检验，点1,3P与1,3P 均符合题意 故答案为：1,3或1,3 15 已知双曲线方程为2210 xymmm，焦距为 8，左右焦点分别为1F，2F，点 A 的

17、坐标为1,2，P 为双曲线右支上一动点，则1PFPA的最小值为_.【答案】4 213 第 11 页 共 19 页【分析】由焦距为 8，求得8m，即可得双曲线方程，进而可得12|4 2|PFPAPFPA，结合图形，只有当2,P A F三点共线时，1PFPA取最小值为24 2AF，求出2AF即得答案.【详解】解：如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为 8，所以4c，216c，即216m，8m，所以双曲线的方程为：22188xy，所以2 2a，4c，24,0F，由双曲线定义得1224 2PFPFa，所以124 2PFPF 12|4 2|PFPAPFPA，当2,P A F三点共线时，2|PFPA最小

18、为222(4 1)(02)13AF 故12min|4 24 213|PFPAAF.故答案为：4 213.四、双空题 16中国古代数学名著九章算术中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”的底面是边长为 3 的正方形，垂直于底面的侧棱长为 4，则该“阳马”的外接球表面积为_，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为_.【答案】34 62#162【分析】由条件求出四棱锥的表面积和体积根据内切球的性质确定内切球的半径，再确定外接球的球心及半径，由此计算外接球的表面积和球心的距离.第 12 页 共 19 页【详解】如图，ABCD为正方形，所以ADAB，设PD垂直于平面ABC

19、D，AB平面ABCD，所以PDAB，又ADPDD，,AD PD 平面ADP，所以AB平面ADP，AP平面ADP，所以ABAP，故ABP为直角三角形，同理可得PCB为直角三角形，2PCB，由题4PD，3AB，所以5AP，四棱锥表面积3 3 3 43 536S ，体积2134123V，设内切球半径为 r，则13SrV，得31VrS.以DA，DC，DP分别为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径1r，所以内切球球心11,1,1O，记PB的中点为2O，则22222O PO BO AO CO D，所以2O为四棱锥外接球的球心，又0,0,4P，3,3,0A，所以外接球球心23 3,22 2

20、O，半径13422RPB，外接球表面2434SR，两点间距离221236121222OO.故答案为：34；62.五、解答题 17在 ABC中，已知 M（1，6）是 BC边上一点，边 AB，AC所在直线的方程分别为270,60 xyxy（1）若AMBC，求直线 BC的方程；（2）若|BMCM，求直线 BC的横截距【答案】（1）280 xy；（2）195 第 13 页 共 19 页【分析】（1）求出1,5A，根据垂直关系，利用点斜式求解方程；（2）建立方程求出3,1,5,11BC，得出直线 BC 的方程即可得解.【详解】（1）由题边 AB，AC 所在直线的方程分别为270,60 xyxy 270,

21、60 xyxy的交点就是1,5A，若AMBC，111265BCAMkk ，所以直线 BC 的方程：621yx 即280 xy；（2）设,27,6B aaC b b，|BMCM 所以227612abab解得35ab，所以3,1,5,11BC 所以直线BC的方程为1311 153yx，即54190 xy，令0y 得195x ，直线 BC 的横截距195.18如图在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知2,5,1,PAABADACE是PB中点.(1)求证：平面PBC平面ACE；(2)求平面PAD与平面ACE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1010

22、 【分析】（1）先证明出PB 平面ACE，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以 A为原点，第 14 页 共 19 页,AC AB AP分别为 x，y，z轴正方向建系，利用向量法求解.【详解】（1）PA 面ABCD，且2,1PAAC，5PCBC.E是PB中点,所以PBCE.同理可证：PBAE.又AE 面ACE，CE 面ACE，AECEE,PB平面ACE.PB 面PBC，平面PBC平面ACE.（2）222BCABAC，ABAC.以 A 为原点，,AC AB AP分别为 x，y，z 轴正方向建系，如图：则0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,0,1,1ABDPE.设平面PAD的法向量,

23、nx y z 则00n APn AD，得2020zxy，不妨取1y，则2,1,0n.由（1）得0,2,2PB 是平面ACE的一个法向量，所以210cos,105 2 2n PBn PBnPB，所以平面PAD与平面ACE所成锐二面角的余弦值为1010.19已知等差数列 na的公差为0d d，前 n项和为nS，其中1S，2S，4S成等比数列，416S.(1)求na的通项公式；第 15 页 共 19 页(2)若142nnnbban，且13b，设数列1nb的前 n项和nT，求证1132nT.【答案】(1)21nan(2)证明见解析 【分析】（1）根据1S，2S，4S成等比数列，代入求和公式即可求得首项

24、和公差，即可求得通项公式；（2）根据142nnnbban求得241nbn，然后求得数列1nb的通项后利用裂项求和即可证明.【详解】（1）解：因为1S，2S，4S成等比数列，则2214SS S，即2111246adaad 又0d，则12da，由416S 得414616Sad，即1238ad 则有112238daad可得112ad，所以1121naandn.（2）证明：由14842nnnbbann，且13b 所以当2n时，则有 121321nnnbbbbbbbb 84 1213 12208432nnn 241n 又13b 也满足241nbn，故对任意的nN，有241nbn，则1111121 212

25、 2121nbnnnn 所以21111112111121233521121nTnnn 由于21nnTn单调递增，所以113nTT 综上：1132nT.【点睛】.20已知函数 2exf xaxx.第 16 页 共 19 页(1)当1a 时，讨论函数 yf x的单调性；(2)当1x时，21exf xxx恒成立，求 a 的取值范围.【答案】(1)f x在,0上单调递减，在0,上单调递增(2)2a 【分析】（1）利用导数即可求得函数 yf x的单调性；（2）先将不等式 21exf xxx恒成立，转化为不等式211ax 恒成立，进而求得 a的取值范围.【详解】（1）1a 时，2exf xxx，e21xf

26、xx，fx在定义域上单调递增，且 00f，则当,0 x 时，0fx；当0,x时，0fx，f x在,0上单调递减，在0,上单调递增.（2）当1x时，21exf xxx恒成立，即2211axxx恒成立，211ax 恒成立，令 211g xx，则 maxag x；又 g x在1,上单调递减，所以 12g xg，所以2a.21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆22:40C xyx及点,(1,0)(1,2)AB.(1)若直线l过点B，与圆C相交于MN、两点，且|2 3MN，求直线 l的方程；(2)圆C上是否存在点P，使得22|12|PAPB成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由.【答案

27、】(1)1x 或34110 xy 第 17 页 共 19 页(2)存在，两个 【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l的距离为 1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C上存在点P，设(,)P x y，则22(2)4xy，利用题干条件得到点P也满足22(1)4xy，根据两圆的位置关系即可得出结果.【详解】（1）圆22:40C xyx可化为22(2)4xy，圆心为(2,0),2r，若l的斜率不存在时，1lx：，此时|2 3MN 符合要求.当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则令:2(1)l yk x，因为|2 3MN，由垂径定理可得，圆心到直线的距离231dr 223141kkk ，34

28、110 xy 所以直线l的方程为1x 或34110 xy.（2）假设圆C上存在点P，设(,)P x y，则22(2)4xy，222222|(1)(0)(1)(2)12PAPBxyxy，即22230 xyy，即22(1)4xy，22|22|(2 0)(01)22，22(2)4xy与22(1)4xy相交，则点P有两个.22已知双曲线:C22221xyab(0,0)ab的焦点到渐近线的距离为 2，渐近线的斜率为 2(1)求双曲线C的方程；(2)设过点0,2的直线l与曲线C交于,M N两点，问在y轴上是否存在定点P，使得PM PN为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由【答案】(

29、1)2214yx；(2)答案见解析.【分析】（1）根据已知可求出2b，1a，即可求出双曲线的方程；第 18 页 共 19 页（2）设11,M x y，22,N xy，0,Pm.设出直线方程，与双曲线方程联立得到224480kxkx，根据韦达定理求出1221224484kxxkx xk，用点的坐标表示出PM PN，整理得到228 1644PM PNmmk，因为该式为常数，所以有8 160m，求出12m ，代入即可求出常数.【详解】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为byxa，双曲线焦点1,0Fc，2,0F c.则2,0F c到渐近线byxa，即0bxay的距离为22bcbab，所以2b，又渐近

30、线的斜率为 2，即2ba，所以1a，所以双曲线C的方程为2214yx.（2）由已知可得，直线l的斜率存在，设斜率为k，则:l2ykx.联立直线l的方程与双曲线的方程22142yxykx可得，224480kxkx，设11,M x y，22,N xy，0,Pm.当240k，即2k 时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以240k，2k .22244481680kkk ，解得2 22 2k，且2k .由韦达定理可得，1221224484kxxkx xk，且112ykx，222ykx.又11,PMx ym，22,PNxym，则 1122,x ymxymPM PN2121212x xy ym yym，因为121212224yykxkxk xx，212121 2122224y ykxkxk x xk xx，所以2212121212244x xk x xkPxxmk xxM PNmm2212121244kx xkmkxxmm222284124444kkkmkmmkk228 1644mmk，要使PM PN为常数，则228 1644mmk应与k无关，第 19 页 共 19 页 即应有8 160m，解得12m ，此时174PM PN是个常数，这样的点P存在.所以，在y轴上存在定点P的坐标为10,2，使得PM PN为常数.