2021-2022学年浙江省杭州地区(含周边重点中学)高二下学期期中联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年浙江省杭州地区（含周边重点中学）高二下学期期中联考数学试题 一、单选题 1已知等差数列 na满足510a，则28aa（）A5 B10 C20 D40【答案】C【分析】利用等差中项的性质求解.【详解】解：由题得285220aaa.故选：C 2已知函数 yf x的导函数的图象如右下图所示，则 yf x的图象可能是（）A B C D【答案】A【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得.【详解】由题可知,0,0 xfx，yf x函数单调递增，0,0 xfx，yf x函数单调递增.故 BCD 错误.故选：A.第 2 页 共 15 页 3数列122022n

2、()A既有最大项，又有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D既无最大项，又无最小项【答案】A【分析】结合指数函数单调性和值域即可判断【详解】1021024，1122048，根据指数函数单调性可知，122022n在 1n10 时为减数列且为负，在 n11 时也为减数列且为正，故数列最小项为第 10 项，最大项为 11 项 故选：A 4已知随机变量X满足 2D X，则31DX（）A5 B6 C12 D18【答案】D【分析】根据方差的性质计算可得；【详解】解：因为 2D X，所以 223133218DXD X；故选：D 5数列12121nn 的前 2022 项和为（）A4043 12

3、 B4045 12 C40431 D40451【答案】B【分析】依题意1212122121nnnn ，利用裂项相法求和即可；【详解】解：1212121212212121212121nnnnnnnnnn 记12121nn 的前n项和为nT，则20221315375404540432T 1404512；故选：B 第 3 页 共 15 页 6已知定义在R上的可导函数 f x满足 0fxf x，则（）A 12ff B 12ff C e12ff D e12ff【答案】C【分析】由已知条件构造函数()()exf xg x，对函数求导，可判断出函数的单调性，然后由函数的单调性比较大小即可【详解】令()()e

4、xf xg x，则 2()e()e(e)e)(xxxxfxf xfxf xg x，因为 0fxf x，e0 x，所以()0g x，所以()g x在R上为减函数，所以(1)(2)gg，所以2(1)(2)eeff，所以 e12ff，故选：C 7某项射击试验中，某人首射中靶的概率为 0.6，若前一次中靶，则后一次中靶的概率为 0.9，若前一次不中靶，则后一次中靶的概率仍为 0.6.若此人射击二次，则该人第二次中靶的条件下，第一次中靶的概率是（）A35 B913 C1013 D910【答案】B【分析】直接由条件概率公式计算即可.【详解】设第一次中靶为事件 A，第二次中靶为事件 B，则()0.60.90

5、.54P AB，()0.6 0.91 0.60.60.78P B，则()0.549()()0.7813P ABP A BP B.故选：B.8已知前n项和为nS的数列 na满足 2132nnnSann，则2022a（）A22 2022 B22 20228086 C22 20234044 D22 20238086【答案】B【分析】利用赋值法，分别令2024,2022nn求出20232023 2022S，20212021 2020S，再令2023n 可得20222023220222021SS，再由202220222021aSS可求得结果 第 4 页 共 15 页【详解】因为 2132(1)(2)nn

6、nnSannann，所以 2024202420241(20241)(20242)Sa，所以202420242023(20241)(20242)SSS，所以2023(20241)(20242)20232022S，同理20212021 2020S，因为 2023202320231(20231)(20232)Sa，所以20232023202220222021SSS，所以20222023220222021SS，所以202220222021aSS 20232202220212021 2020S 2 2023 20222 2021 2220228086，故选：B 二、多选题 9下列求导错误的是（）A21l

7、og 33ln2 B1ln22xx C2sinsin2xx D2coscossinxxxxx【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算法则计算可得；【详解】解：对于 A：2log 30，故 A 错误；对于 B：1ln2ln2lnln2lnxxxx，故 B 错误；对于 C：2sin2sincossin2xxxx，故 C 正确；对于 D：22cossincossinsinxxxxxx xxxxx，故 D 错误；故选：ABD 第 5 页 共 15 页 10已知二项式81 2x的展开式中（）A含2x项的系数为 28 B所有项的系数和为 1 C二项式系数最

8、大的项是第五项 D系数最大的项是第六项【答案】BC【分析】利用二项展开式的通项公式，对四个选项一一讨论：对于 A：利用通项公式直接求解；对于 B：利用赋值法，令 x=1，即可求得；对于 C：利用二项式系数的性质可得；对于 D：每一项的系数记为182rrrtC.直接求出系数最大的项.【详解】二项式81 2x的展开式的通项公式为182rrrTCx.对于 A：含2x项为222238228 4112TCxxx.故 A 错误；对于 B：在二项式81 2x的展开式中，令 x=1，可得所有项的系数和为 1.故 B 正确；对于 C：二项式81 2x的展开式一共有 9 项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大

9、的项是第五项.故 C 正确；对于 D：每一项的系数记为182rrrtC.显然 r为奇数，10rt；r 为偶数，10rt.要求系数最大的项，只需比较 r为偶数的情况：r=0 时，001821tC；r=2 时，22382112tC；r=4 时，445821120tC；r=6 时，667821792tC；r=8 时，88782256tC.故系数最大的项为第七项.故 D 错误.故选：BC.11已知 0P A，0P B，0P C（）A若事件,A B独立，则 P AP A B B若事件,A B互斥，则PAB CP A CP B C C若事件,A B独立，则 P CABP C A P C B D若事件,A

10、B互斥，则P CABP C AP C B【答案】AB【分析】根据条件概率的公式及独立事件与对立事件的概率公式即可求解.第 6 页 共 15 页【详解】对于 A，因为事件,A B独立，所以 P ABP A P B，所以 P ABP A P BP AP A BP AP BP B,故 A 正确；对于 B,因为事件,A B互斥，所以 P ABP AP B,PAB CP ACBCP ACP BCPAB CP CP CP CP C P A CP B C,故 B 正确；对于 C，因为事件,A B独立，所以 P ABP A P B，所以 PAB CP ACBCP ACP BCP CABP ABP ABP A

11、P B P ACP BCP C A P C BP A P BP A P B，故 C 不正确；对于 D,因为事件,A B互斥，所以 P ABP AP B,所以 P C ABP ACBCP CABP AP BP AP B P ACP BCP C AP C BP AP B,故 D 不正确.故选：AB.12已知 exf xxaxb（）A若24eb，则0,a，使函数 yf x有 2 个零点 B若24eb，则,0a ，使函数 yf x有 2 个零点 C若240eb，则0,a，使函数 yf x有 2 个零点 D若240eb，则,0a ，使函数 yf x有 2 个零点【答案】ACD【分析】数形结合，将问题转化

12、为判断直线与曲线交点个数 第 7 页 共 15 页【详解】令 0f x，则exxaxb 所以 设 exxg x，则 1exxgx 当1x 时，0g x，g x单调递增；当1x 时，0gx，g x单调递减 g x在1x 处取得极大值 11eg 当x趋向于时，g x趋向于；当x趋向于时，g x趋向于0 又 2exxgx，20g且当2x 时，0gx；当2x 时，0gx 所以，2x 是函数 g x的拐点 222eg，212eg 所以 g x在2x 处的切线方程为2122eyx，即2214eeyx 如图所示，ACD 正确，B 错误 故选：ACD 三、填空题 13函数 1f xx在区间1,1 x上的平均变

13、化率是_.【答案】11x【分析】根据给定条件求出函数值的增量，再利用平均变化率的意义计算即得.【详解】依题意，在区间1，1+x内的函数值的增量为：y=f(1+x)-f(1)=11x-1=1xx，于是得yx11x，所以所求的平均变化率为11x.故答案为：11x 14函数 323f xxx的极小值点是_.第 8 页 共 15 页【答案】2【分析】利用函数极值点的定义求解.【详解】解：因为函数 323f xxx，所以 236fxxx，令 0fx，得0 x 或2x，当0 x 或2x 时，0fx，当02x时，0fx，所以 f x的极小值点是 2，故答案为：2 155 位学生被分配到 3 个志愿点作志愿者

14、，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有_种不同的分配方式（用数字作答）.【答案】114【分析】先把 5 位学生分为两类分别为 3,1,1 和 2,2,1，再用分步分类计数原理及间接法，结合组合数公式即可求解.【详解】由题意可知 5 位学生被分配到 3 个志愿点作志愿者，共有2233535322150C CCAA种.甲、乙分配到同一个志愿点，有12333336CCA种 所以不同的分配方案有15036114种 故答案为：114.16 已知等比数列 na的前n项和为nS，若对于*n N，2120nnSaSa恒成立，则等比数列 na的公比为_.【答案】152【分析】由题可

15、得221110nnqqqqqq恒成立，由1n 时，可得112q ，进而210qq，即得.【详解】设等比数列 na的公比为q，由题可知1q，由2120nnSaSa，可得1111111011nnaqaqa qa qqq，第 9 页 共 15 页 2221121101nnaqqqqqqq，即221110nnqqqqqq，当1n 时，22211212110qqqqqq，112q ，又,0nnq，10nnqq，221110nnqqqqqq恒成立，则210qq，解得152q（正值舍去）.故答案为：152.四、解答题 17已知 2sin22 3sinf xxx.(1)求12f；(2)求函数 yf x的单调递

16、增区间.【答案】(1)31(2)5,Z1212kkk【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简 fx，再将12x 代入计算即可；（2）根据三角函数的单调性进行转化即可求解.【详解】(1)sin23 1 cos2sin23cos23f xxxxx 2sin 233x 2sin 232sin331121236f.(2)由（2）知，()2sin 233f xx，由2 22 232kxk，Zk，解得51212kxk，Zk 所以函数 yf x的单调递增区间是5,Z1212kkk.18如图，已知三棱锥SABC，SA平面ABC，120ABC，2AB，1BC，3SA.M、N分别为SB、SC的中点.第 10 页

17、 共 15 页 (1)证明：/BC平面AMN；(2)求点M到平面ABN的距离.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】（1）利用中位线的性质可得出/MN BC，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点A在平面ABC内作AOAB，以点A为坐标原点，AO、AB、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M到平面ABN的距离.【详解】(1)证明：因为M、N分别为SB、SC的中点，则/MN BC，BC 平面AMN，MN 平面AMN，因此，/BC平面AMN.(2)解：过点A在平面ABC内作AOAB，因为SA平面ABC，以点A为坐标原点，AO、AB、AS所在直

18、线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A、0,2,0B、3 5,022C、0,0,3S、30,1,2M、3 53,442N，设平面ABN的法向量为,nx y z，0,2,0AB，3 53,442AN，第 11 页 共 15 页 则203530442n AByn ANxyz，取2x，可得2,0,1n，30,1,2AM，所以，点M到平面ABN的距离为3152105AM ndn.19盒子里有 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第 2 次取到红球时，取球终止.(1)求恰好取了 4 次球的概率；(2)设游戏终止时取出

19、的白球个数为随机变量，求的分布列及期望.【答案】(1)1118；(2)分布列答案见解析，数学期望：32.【分析】（1）由题可知前 3 次取得 1 次红球，2 次白球，第 4 次为红球，以取得红球为标准分类即得；（2）由题可得的取值为 0，1，2，分别求概率即得分布列，再利用期望公式可得.【详解】(1)由题可知前 3 次取得 1 次红球，2 次白球，第 4 次为红球，设第i次取到红球的事件记为iA，1,2,3i，则 2212311139AP AA，2222311126AP AA，2232313AP AA，故恰好取了 4 次球的概率 1231118P AP AP AP A；(2)由题可知的取值为

20、0，1，2 1 1103 39p，2 1 11 2 1513 2 23 3 218p，11218p 所以的分布列为：0 1 2 p 19 518 1118 所以 15113012918182E .20阿司匹林（分子式984C H O，分子质量 180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂第 12 页 共 15 页 量 300mg，嚼碎后服用以快速吸收，以后每 24 小时服用 200mg.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式763C H O，分子质量 138），降解过程生成的水杨

21、酸的质量为阿司匹林质量的2330，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为 12 小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位mg）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过 230mg.【答案】(1)1265mg24(2)证明见解析【分析】（1）设na是24n小时后第1n次服药前血液中水杨酸的含量，先求出1a，再表示出递推关系式1123200430nnaa，即可求解；（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列4609na，求得230

22、4na，再求得刚服药后23023200230430即可求解.【详解】(1)设na是24n小时后第1n次服药前血液中水杨酸的含量，易知每 24 小时，水杨酸的含量变为原来的14，则12312303003044a，2n时，11123146020043043nnnaaa，21146025301265mg434824aa；(2)由（1）知14601460949nnaa，1460230936a，则4609na是以首项为23036，公比为14的等比数列，故146023019364nna，1046023014602301230936493644nna，230231120023023043012，故急性心肌梗

23、死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过 230mg.21已知点Q为双曲线222:11yC xbb右支上的点，双曲线C在点Q处的切线l交渐近线于点M，N.第 13 页 共 15 页(1)证明：Q为MN中点；(2)若双曲线C上存在点P使PMN的垂心恰为原点，求b的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)12b【分析】(1)设,Q m n，代入双曲线方程，得到Q的切线方程，进而联立渐近线方程分别求出,M N，通过运算即可证明Q为MN中点.(2)双曲线上存在点00(,)P xy，设11,M x y，22,N xy，通过联立PMl与PNl，得到P的坐标，然后分别把,P Q代入双曲线方程，利用双曲线

24、的几何性质，得到b的范围.【详解】(1)设,Q m n，满足222mbnb，过Q的切线方程21nymxb 点M满足方程21ybxnymxb，2,bbMmbn mbn，同理可得点N满足方程21ybxnymxb，2,bbNmbn mbn 22222bbmbmmbnmbnmbn；2222222bbnbnmbnmbnmbn.所以Q为MN中点；(2)双曲线上存在点00(,)P xy，11,M x y，22,N xy.由直线111:PMlyyxxb与直线221:PNlyyxxb 得点P坐标为 22122111,22bxxbxxPb，由122xxm，212nxxb 得点P坐标为22211,bnPbmb，将点

25、P坐标代入双曲线方程得2222226111bnbmb，与点Q满足的方程22211nmmb联立得 2222421111bmbb，解得212b，即12b.22已知函数 e 1 lnf xxx，实数1x，2x为方程 f xa的两个不等的根.(1)求实数a的取值范围；第 14 页 共 15 页(2)证明：121 ee 11e2xxa.【答案】(1)e 1 ln e 1e 1a (2)证明见解析【分析】（1）利用函数的单调性即可求解；（2）通过观察发现 f x在1x 处的切线方程为e2e+1yx，在ex处的切线方程为exy ，利用导数即可证明 e2e 1f xx 和 exf x，再利用 f x在区间0,

26、e1和e1,上的切线与ya的交点的横坐标与 f xa零点的关系即可证明.【详解】(1)函数 f x的定义域为0,，e 1e 11xfxxx ，所以 f x在0,e1上单调递增，在e1,上单调递减，则 max e 1e 1 ln e 1e 1f xf e 1 lnee 10 ，所以 e 1 ln e 1e 1a (2)f x在1x 处的切线的斜率为 e2fx，其切线方程为e2e+1yx，首先证明：e2e 1f xx e 1 lne2e 1F xxxx，e 1 1e 11e2xFxxx,F x在0,1上单调递增，在1,上单调递减,F x的最大值 10F，所以 e2e 1f xx 成立,f x在ex

27、处的切线的斜率为 1eef ，其切线方程为exy ，再证明：exf x,e 1 lnexG xxx，e 1ee 111eexGxxx G x在0,e上单调递增，在e,上单调递减,第 15 页 共 15 页 G x的最大值 e0G，所以 exf x成立,不妨设12xx，实数1x，2x为方程 f xa的两个不等的实根,设直线ya与 f x在000e 1xxx处的切线的交点的横坐标为1x，则e2e 1ax 可得1e 1e2ax ,由 e2e 1f xx 可得11xx，设直线ya与 f x在00e 1xxx 处的切线的交点的横坐标为2x，则exa 可得2exa ,由 exf x可得22xx，所以1212e 11eee 11e2e2axxxxaa.（注：不等式ln1xx，lnexx 可以直接使用）