2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 12 页 2021-2022 学年河北省唐山市滦南县高二下学期期中数学试题 一、单选题 1下列导数运算正确的是（）A22343xx Bcossin22 C 12xx D eexx【答案】C【分析】直接由导数的运算法则及复合函数的导数依次判断即可.【详解】对于 A，2234xx，A 错误；对于 B，因cos2是常数，则cos02，B 错误；对于 C，12xx，C 正确；对于 D，eeexxxx，D 错误 故选：C 2书架的第 1 层放有 2 本不同的数学书，第 2 层放有 3 本不同的计算机书，第 3 层放有 4 本不同的语文书，从书架上任取 1 本书，有（）种不同取法？从书架的

2、第 1 层、第 2 层、第 3 层各取 1 本书，有（）种不同取法？A20，9 B9，20 C24，9 D9，24【答案】D【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理分别可得.【详解】解：根据题意可得从书架上任取 1 本书，有 4329 种不同的取法；从书架的第 1，2，3 层各取 1 本书，有 23424 种不同的取法；故选：D 3函数 22f xxC CR在区间1,2上的平均变化率为（）A1 B3 C4 D2【答案】A【分析】直接求解平均变化率即可.【详解】21421 21213ffCC 故选：A 第 2 页 共 12 页 4在1()2nxx的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开

3、式中6x的系数为（）A454 B358 C358 D7【答案】C【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当 n为奇数时最中间的那一项最大.【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是 9 项，所以 n=8，二项式展开项的通项公式为：84221881122rrrrrrrrTCxxCx，46,42rr，6x 的系数为44813528C 故选：C.5若函数 f（x）6lnxx2x，则 f（x）的单调递减区间为（）A3,2,2 B2,C0,2 D30,2,2【答案】B【分析】求导，解不等式 fx0可得.【详解】f（x）定义域为0,，又 262621xxfxxxx，令 fx0，x0，2260 xx，由22

4、60 xx解得32x 或2x，则2x，即 f x的单调减区间为2,故选：B 6某省进行高考综合改革，要求学生从高二开始对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数是（）A36 B30 C24 D12【答案】B【分析】先计算两人所选课程都不同的选法，再算两人各选两科总的选法，然后可得.第 3 页 共 12 页【详解】甲、乙两人所选课程都不同有22426C C 种，甲、乙两人各选两科共有224436C C，所以甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数为36630种.故选：B 7已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且

5、f(2)=2,()1fx，则 f(x)x的解集是（）A(0,2)B(2,0)(0,2)C(,2)(2,)D(2,)【答案】D【分析】构造()()g xf xx，结合已知有()g x在 R 上递增且(2)0g，原不等式等价于()g x(2)g，利用单调性求解集.【详解】令()()g xf xx，由题设知：()()10g xfx，即()g x在 R 上递增，又(2)(2)20gf，所以 f(x)x 等价于()g x(2)g，即2x.故选：D 8已知函数()lnf xx，()2g xx，()()f mg n，则mn的最小值是（）A12e B12e C2e D2e【答案】A【分析】根据题意可得ln2m

6、n，则1ln2mnmm，令1()ln,02h mmnmm m，利用导数求出函数 h m的最小值即可得出答案.【详解】解：由函数()lnf xx，()2g xx，()()f mg n，得ln2mn，则1ln2mnmm，令11()ln,0,()(1 ln)22h mmnmm mh mm，当1em 时，()0h m，当10em时，()0h m，所以函数 h m在10,e上递减，在1,e递增，所以min()h m11e2eh，即mn的最小值是12e.故选：A.二、多选题 9已知函数()yf x的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）第 4 页 共 12 页 A1 是函数()f x的极小值点 B4

7、 是函数()f x的极小值点 C函数()f x在区间(,4)上单调递减 D函数()f x在区间(4,1)上先增后减【答案】BC【分析】根据导函数图象确定 f x的单调性，由此确定正确选项.【详解】由 fx图象可知，f x在,4 上递减，在4,上递增，所以1不是极值点，A 选项错误；4是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC 10 已知曲线 1f xx，则过点1,3，且与曲线 yf x相切的直线方程可能为（）A2yx B96yx C85yx D74yx 【答案】AB【分析】设出切点坐标001,xx，求出函数 f x的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点

8、1,3的直线与曲线 yf x相切的切点为001(,)xx，由 1f xx求导得 21fxx，于是得切线方程为020011()yxxxx，即20012yxxx，则200123xx，解得01x 或013x ，因此得切线方程为2yx 或96yx，所以所求切线的方程是2yx 或96yx.故选：AB 11已知45015(2)(21)xxaa xa x，则下列结论正确的是（）A015aaa32 B0a2 第 5 页 共 12 页 C135aaa39 D1a15【答案】BCD【分析】分别令1x、0 x 和1x，可判断 A 错误，B、C 正确，结合二项展开式的通项，可判定 D 正确.【详解】令1x，则4015

9、1 22 13aaa，故 A 错误，令0 x，则 40212a ，故 B 正确，令1x，则40123451 22 184aaaaaa ，两式相减可得：135381392aaa，故 C 正确，展开式中含 x的项为 0434344C212 C2115xxxx ，故115a ，所以 D 正确.故选：BCD 12 已知函数 24lnf xaxaxx，则 f x在1,3上不单调的一个充分不必要条件有（）A1,2a B1,2a C1,2a D1 1,2 6a 【答案】AC【分析】根据题意得出2241axaxfxx，令2241g xaxax，然后根据 f x在1,3上不单调得出函数 g x与x轴在1,3上有

10、交点，最后分为0a、0a 两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】2124124axaxfxaxaxx，若 f x在1,3上不单调，令2241g xaxax，则函数2241g xaxax与x轴在1,3上有交点，当0a 时，显然不成立；当0a 时，则 21680130aagg，解得16a 或12a ，结合选项易知 f x在1,3上不单调的一个充分不必要条件是 第 6 页 共 12 页 1,2a，1,2a ，故选：AC.三、填空题 13若2622020*NnnCCn，则n _.【答案】4【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可.【详解】由题意知，因为2622020nnCC*()nN，所以26

11、2nn或2620(2)nn，解得4n (舍去)或4n.故答案为：4 14将 4 名志愿者分配到 3 个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为_（用数字作答）【答案】36【分析】先将 4 人分成 2、1、1 三组，再安排给 3 个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将 4 人分到 3 个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配 1 人，则必须且只能有 1 个场馆分得 2 人，其余的 2 个场馆各 1 人，可先将 4 人分为 2、1、1 的三组，有211421226C C CA种分组方法，再将分好的 3 组对应 3 个场馆，有336A 种方法，则共有6 636

12、种分配方案.故答案为：36 15已知函数 1ln2f xxxm的最小值为1，则m _【答案】ln2【分析】利用导数求出函数 yf x的最小值，结合题中条件可求出实数m的值.【详解】函数 1ln2f xxxm的定义域为0,，且 11222xfxxx，令 0fx，得2x.当02x时，0fx；当2x 时，0fx.第 7 页 共 12 页 所以，函数 yf x在2x 取得极小值，亦即最小值，即 min21 ln21f xfm，因此，ln2m.故答案为ln2.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.四、双空题 16若2naxx的展开式的系数和为 1，

13、二项式系数和为 128，则 a_，展开式中 x2的系数为_【答案】1 448【分析】赋值令1x，和2128n联立求解可得 a；化简通项，根据 x 的指数等于 2 可解.【详解】解：由题意得2 111na且2128n 所以 n7，a1，所以712 xx的展开式的通项为 7 37721771221kkkkkkkkTCxCxx 令7322k，得 k1 x2的系数为 116721448C 故答案为：1，448 五、解答题 17用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?【答案】(1)156(2)132【分析】

14、（1）根据个位是0,2,4进行分类讨论，由此求得“无重复数的四位偶数”的个数.（2）结合插空法求得“奇数数字互不相邻的六位数”的个数.【详解】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0 在个位时，有35A个；第 8 页 共 12 页 第二类：2 在个位时，首位从 1，3，4，5 中选定 1 个(14A种)，十位和百位从余下的数字中选，有24A种，于是有1244AA个；第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有1244AA个由分类加法计数原理得，共有3125442AAA156(个)(2)先排 0，2，4，再让 1，3，5 插空，总的排法共3334AA144(种)，其中 0 在排头，将1，3，5

15、 插在后 3 个空的排法共3232AA12(种)，此时构不成六位数，故总的六位数的个数为3334AA3232AA14412132(种).18已知 322126f xxmxx的一个极值点为 2.（1）求函数 f x的单调区间；（2）求函数 f x在区间2 2,上的最值.【答案】（1）在区间1,2上单调递减，在区间,1，2,上单调递增；（2）最小值为14，最大值为 13.【分析】（1）根据极值点先求出m的值,再求出 fx,令 0fx或 0fx,得到函数的单调区间；（2）求出函数在 2,2上的单调性，根据极值和端点值的比较可得到最值.【详解】（1）因为 322126xmxf xx，所以 26212x

16、xfxm，因为 32126f xxmxx的一个极值点为 2，所以 26 222 1202fm ，解得3m，此时 3223126xxf xx，26612612fxxxxx，令 0fx，得1x 或2x，令 0fx，得12x；令 0fx，得1x 或2x，故函数 f x在区间1,2上单调递减，在区间,1，2,上单调递增.（2）由（1）知，f x在2,1 上为增函数，在1,2上为减函数，所以1x 是函数 f x的极大值点，又22f，113f，214f，所以函数 f x在区间2 2,上的最小值为14，最大值为13.第 9 页 共 12 页 19已知 1xf xeax.（1）当2a 时，讨论 f x的单调区

17、间；（2）若 f x在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围.【答案】（1）f x的单调递增区间为ln2,，单调递减区间为,ln2；（2）0a 【分析】（1）计算 fx，根据 0fx 与 0fx，可得结果.（2）利用等价转化的思想，0f 在R上恒成立，然后根据 fx的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当2a 时，21xf xex 则 2xfxe，令 20 xfxe，得ln2x 令 20 xfxe，得ln2x 所以 f x的单调递增区间为ln2,单调递减区间为,ln2（2）由题可知：f x在定义域 R 内单调递增 等价于 0 xfxea 由 xfxea在R上单调递增，又0 xe 则0

18、00aa【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.20已知2301231 3nnnxaa xa xa xa x（n为正整数）.(1)若2011513aaa，求 n的值；(2)若2022n，0242022+Aaaaa，1352021Baaaa，求AB和22AB的值（结果用指数幂的形式表示）.【答案】(1)10n (2)20222AB，2260662AB，【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由2011513aaa列方程可求出 n的值，第 10 页 共 12 页（2）分别令1x，1x 求出202201220222ABaaaa，2022012202120224A

19、Baaaaa，进而可求出22AB的值，【详解】(1)二项式(1 3)nx展开式的通项公式为1(3)(3)rrrrrrnnTCxCx，则 001122012(3),(3),(3)nnnaCaCaC，因为2011513aaa，所以221(3)1513(3)nnCC，化简得2329100nn，(10)(31)0nn，得10n 或13n （舍去），(2)当2022n 时，2202220222022301231 3xaa xa xa xax，令1x，得202220220122022(2)2aaaa，令1x，得2022012202120224aaaaa，因为0242022+Aaaaa，1352021Baa

20、aa，所以202201220222ABaaaa，2022012202120224ABaaaaa，所以22202220226066()()242ABABAB，21已知函数 lnf xaxxx的图象在ex（e为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若不等式 1f xk x恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)2a (2)1k 【分析】（1）由已知得出 e0f，可求得实数a的值；（2）由参变量分离法可得出ln21xxxkx对任意的0 x，利用导数求出函数 ln21xxxg xx在其定义域上的最小值，可得出实数k的取值范围.【详解】(1)解：因为 lnf xaxxx，则 1lnfxax

21、，由已知可得 e20fa，解得2a.第 11 页 共 12 页 此时，ln1fxx，当0ex时，0fx，此时函数 f x单调递减，当ex时，0fx，此时函数 f x单调递增，故函数 f x在ex处取得极小值，合乎题意.因此，2a.(2)解：由（1）可得 ln2f xxxx，该函数的定义域为0,，由 1f xk x可得ln21xxxkx，令 ln21xxxg xx，其中0 x，则 22ln11ln2ln111xxxxxxxgxxx.，设 ln10h xxxx，则 110h xx，所以，h x在0,上是增函数，又因为 10h，当01x时，0h x，即 0gx，此时函数 g x单调递减，当1x 时，

22、0h x，即 0g x，此时函数 g x单调递增，所以，min11g xg，故1k .22已知函数 2lnRf xaxx a.(1)讨论函数 fx的单调性；(2)讨论函数 fx的零点个数.【答案】(1)当0a 时，函数 fx在0,上单调递减；当0a 时，函数 fx在20,a上单调递减，在2,a上单调递增.(2)当2ea 时，函数 fx没有零点；当2ea 或0a 时，函数 fx有 1 个零点；当20ea时，函数 fx有 2 个零点.【分析】（1）对函数 2lnf xaxx，求导得出 22axfxaxx，对a进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数 fx的单调性.（2）由题意可知，函数

23、2lnf xaxx的零点个数转化为函数ya与 2ln xg xx图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.第 12 页 共 12 页【详解】(1)函数 fx的定义域为0,，22axfxaxx.当0a 时，0fx恒成立，所以 fx在0,上单调递减；当0a 时，令0fx，得20 xa，令0fx，得2xa，所以 fx在20,a上单调递减，在2,a上单调递增.(2)令2ln0axx，得2ln0 xaxx.令 2ln xg xx，则 22 1 ln xgxx，令0gx，得0ex；令0gx，得ex，所以函数 g x在0,e上单调递增，在e,上单调递减.所以 max2eeg xg；当0ex时，2,eg x，当ex时，0g x，所以 20,eg x，所以函数 g x的图象如图所示，由图可得，当2ea 时，直线ya与函数 g x的图象没有交点，函数 fx没有零点；当2ea 或0a 时，直线ya与函数 g x的图象有 1 个交点，函数 fx有 1 个零点；当20ea时，直线ya与函数 g x的图象有 2 个交点，函数 fx有 2 个零点.