2022-2023学年江苏省扬州市江都中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年江苏省扬州市江都中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1在等差数列 na中，1910aa，则5a（）A5 B6 C8 D9【答案】A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为5a是1a和9a的等差中项，所以5192aaa，即5210a，55a.故选：A 2函数3()31f xxx的单调递减区间是()A(1,2)B(1,1)C(,1)D,1(),)1(【答案】B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】3()31f xxx，则2()33fxx，由2330 x得11x，故()f x的单调递减区间是(1,1)，故选：B 3已知1x 是函数3

2、2()3f xaxx的极小值点，则()f x的极小值为（）A1 B0 C1 D2【答案】A【分析】对()f x求导，根据1x 是()f x的极小值点，得到 10f，求出a的值，进一步得到()f x的极小值【详解】解：由32()3f xaxx，得2()36fxaxx，1x 是()f x的极小值点，10f，360a，2a，经检验2a 时，符合题意，2a，32()23f xxx，所以2()6661fxxxx x，则当0 x 或1x 时()0fx，当01x第 2 页 共 15 页 时()0fx，即 f x在,0和1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以当0 x 时函数取得极大值，1x 时函数取得极小值

3、，()11f xf 极小值 故选：A 4定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差设 na是由正数组成的等方差数列，且方公差为 4，53 2a，则数列12nnaa的前 24 项和为（）A3 22 B3 C3 2 D6【答案】C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为 na是方公差为 4 的等方差数列，所以2214nnaa，2518a，225(5)41842042naannn，42nan，1242422214242424224242n

4、nnnnnaannnn 24111621069894222S 119827 223 222，故选：C 5试在抛物线24yx 上求一点P，使其到焦点F的距离与到2,1A 的距离之和最小，则最小值为（）A3 B4 C1 D2 2【答案】A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将|PF转为点P到抛物线准线的距离|PM，由抛物线的定义，可得|PFPM，转化为求|APPM的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为1,0F，准线方程为:1l x.过点P作PMl于点M，由抛物线的定义可得|PFPM，所以|PAPFPAPM，由图形可得，当P，A，M三点共线时，|PAPM最小，最小值为点

5、A到准线:1l x 的距离2 13.第 3 页 共 15 页 故选：A.6已知F是椭圆2222+1(0)xyabab的一个焦点，若直线ykx与椭圆相交于,A B两点，且60AFB，则椭圆离心率的取值范围是（）A3(1)2，B3(0)2，C1(0)2，D1(1)2，【答案】A【分析】将,A B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设1，FF分别为椭圆的左、右焦点，设直线ykx与椭圆相交于,A B，连接11,AF AF BF BF.根据椭圆的对称性可得：四边形1AFBF为平行四边形.由椭圆的定义有：12,

6、AFAFa12,FFc1120F AF 由余弦定理有：2221112cos120FFAFAFAFAF 即2221211142AFAFcAFAFAFAFAFAF 所以221222214432AFAFcAFAFaaa 当且仅当1AFAF时取等号，又ykx的斜率存在，故AB，不可能在y轴上.所以等号不能成立,即即2234ca，所以312e 故选：A 第 4 页 共 15 页【点睛】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.7函数 2cossin1f xxxxx的图象大致为（）A B C D【答案】A【分析】结合导函数研究函数()f x的

7、单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为2()cossin1f xxxxx，所以()(2cos)fxxx，因为1cos1x，所以2cos0 x，当x0时，()0fx，()f x在0（，）上单调递增；当0 x时，()0fx，()f x在（-，0）上单调递减，由此可排除选项B,C,D，故选：A.8已知()fx是函数()f x的导函数，且对于任意实数x都有()e(21)()xfxxf x，(0)1f，则不等式()5exf x 的解集为（）A(2)(3)，B(3)(2)x，C(2 3)，D(3 2)，【答案】A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，21exf xx，再通过

8、逆用求导公式得到 2exfxxxm，根据已知条件求得 m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解【详解】因为()e(21)()xfxxf x，所以 21exf xx，即 2exfxxxm，亦即 第 5 页 共 15 页 2exf xxxm，又 01f，所以1m ，即有 2e1xf xxx 原不等式()5exf x 可等价于215xx，即260 xx，解得x的取值范围是(2)(3)，故选：A 二、多选题 9下列是递增数列的是（）A1 3n B232nn C2nn D 3n【答案】AC【分析】根据递增数列的定义判断【详解】A令13nan，则 11 311 330nnaann，是递增数列

9、，正确；B令232nnna，则15a ，27a ，不合题意，错；C令2nnan，则11221 21 0nnnnnaa ，符合题意正确；D令 3nna ，则13a ，327a，不合题意错 故选：AC 10已知集合3(,)|22yAx yx，集合(,)|20Bx yaxy，且AB，则a（）A2 B2 C52 D52【答案】AD【分析】根据直线平行和两线交于点23，时，交集为空集，可得结果【详解】解：因为集合3(,)|22yAx yx，集合(,)|20Bx yaxy，且AB，所以直线32(2)(2)yxx与直线20axy平行或交于点23，当两线平行时，2a；当两线交于点23，时，2320a，解得52

10、a 综上得 a等于52或 2 故选：AD 11（多选）给出定义：若函数 f x在D上可导，即 fx存在，且导函数 fx在D上也可导，则第 6 页 共 15 页 称 f x在D上存在二阶导函数，记 fxfx，若 0fx在D上恒成立，则称 f x在D上为凸函数以下四个函数在0,2上不是凸函数的是（）A sincosf xxx B ln2f xxx C 321f xxx D xf xxe【答案】AD【解析】求出每个选项中函数 f x的二阶导函数 fx，并验证 0fx是否对任意的0,2x恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于 A，cossinfxxx，sincos2sin4fxxxx ，当0,4x

11、时，044x，0fx，故 sincosf xxx不是凸函数；对于 B，12fxx，210fxx，故 ln2f xxx是凸函数；对于 C，232fxx，对任意的0,2x，60fxx，故 321f xxx 是凸函数；对于 D，1xfxxe，对任意的0,2x，02xfxxe，故 xf xxe不是凸函数 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的 0fx是否对于任意的0,2x，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.12 已知F为椭圆C：22142xy的左焦点，直线l：0ykx k与椭圆C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，B

12、E与椭圆C的另一个交点为P，则（）A14AFBF的最小值为 3 BABE面积的最大值为2 C直线BE的斜率为12k DPAB为锐角【答案】BC【分析】先由椭圆与过原点直线的对称性知，4AFBF，再利用 1 的代换、利用基本不等式可判断 A；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于 k 的函数关系式，再求函数最值可判断 B；由对称性，可设00,A x y，则00,Bxy，0,0E x，则可得直线BE的斜率与 k 的关系可判断 C；先由 A、B 对称且与点 P 均在椭圆上，可得2212PAPBbkka ，又由 C 项可知12PBBEkkk，第 7 页 共 15 页 得1PAABkk，即90

13、PAB，可判断 D.【详解】对于 A，设椭圆C的右焦点为F，连接AF，BF，则四边形AF BF为平行四边形，AFBF24AFAFa，414114195444BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF，当且仅当2BFAF时等号成立，故 A 错误；对于 B，由22142xyykx得2212xk，AByy241 2kk，ABE的面积2414212122AABkSxyykkk，当且仅当22k 时等号成立，故 B 正确；对于 C，设00,A x y，则00,Bxy，0,0E x，故直线BE的斜率000012BEykxx0012ykx，故 C 正确；对于 D，设,P m n，直线PA的斜率为PAk，直线PB

14、的斜率为PBk，则PAPBkk2200022000nynynymxmxmx，又点P和点A在椭圆C上，22142mn，2200142xy，得22022012nymx，易知12PBBEkkk，则1122PAkk，得1PAkk，11PAABkkkk ，90PAB，故 D 错误.故选：BC.第 8 页 共 15 页 三、填空题 13在数列 na中，1112,1nnaaa ，则2018a的值为_.【答案】32【分析】判断出数列 na的周期性，由此求得2018a.【详解】依题意，1112,1nnaaa ，所以213122a ，3111332a ，4111213aa ，所以数列 na是周期为3的数列，所以2

15、0182016 2232aaa.故答案为：32 14双曲线2233xy的顶点为_.【答案】(1,0)【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由2233xy得，2213yx，所以，该双曲线的顶点为(1,0).故答案为：(1,0)15 设数列 na的前 n 项和为*nSnN，则下列能判断数列 na是等差数列的是_ nSn；第 9 页 共 15 页 2nSnn；2nnS；21nSnn【答案】【分析】根据12nnnSSan可以求出na，再结合na可以判断是否是等差数列.【详解】当2n时，111nnnaSSnn；当1n 也符合1na，所以1na，数列na为等差数列；当2n时，2

16、21112nnnaSSnnnnn；当1n 时，112aS，符合2nan，所以2nan，数列na为等差数列；当2n时，111222nnnnnnaSS；当1n 时，112aS，不符合12nna，所以12,12,2nnnan，数列na不是等差数列；当2n时，22111112nnnaSSnnnnn ；当1n 时，113aS，不符合2nan，所以3,12,2nnan n，数列na不是等差数列.故答案为：.16已知椭圆1C：222210 xyabab与圆2C：22245bxy，若在椭圆1C上不存在点 P，使得由点 P 所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是_.【答案】60,4【分析

17、】设过点P的两条直线与圆2C分别切于点,M N，由两条切线相互垂直，可知2 10=5OPb，由题知OPa，解得104ba，又21bea即可得出结果.【详解】第 10 页 共 15 页 设过P的两条直线与圆2C分别切于点,M N，由两条切线相互垂直，知：2 52 10=255OPbb，又在椭圆 C1上不存在点 P，使得由 P所作的圆 C2的两条切线互相垂直，所以OPa，即得2 105ba，所以104ba，所以椭圆 C1的离心率222221061144cabbeaaa，又0e，所以604e.故答案为：60,4.【点睛】关键点点睛：首先假设过 P所作的圆 C2的两条切线互相垂直求出OP，再由椭圆的有

18、界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.四、解答题 17已知22113xykk，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线【答案】(1)3k 或13k(2)13k(3)3k 【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可【详解】（1）因为22113xykk，即22113xykk，方程表示双曲线，所以(1)(|3)0kk，解得3k 或13k；所以3k 或13k；（2）因为22113xykk，即22113xykk，焦点在x轴上的双曲线，第 11 页 共 15 页 则1 030kk，解得13k，所以13k；（3）因为2213xykk

19、1，即22113xykk，焦点在 y 轴上的双曲线，则3 010kk，解得3k，所以3k.18设函数32()2f xxxx(1)求()f x在2x 处的切线方程；(2)求()f x的极值点和极值【答案】(1)7100 xy(2)极大值点=1x，极小值点13x，极大值是1，极小值是5927 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令()0fx，求得113x，21x ，然后通过判断函数的单调性可求出()f x的极值点和极值【详解】（1）函数32()2f xxxx，函数的导数为2()321fxxx(2)12417f ，(2)84224f ，()f x在2x 处的切线方程：47(2)yx，即7

20、100 xy（2）令()0fx，23210 xx，解得113x，21x 当113x 时，可得()0fx，即()f x的单调递减区间11,3，1x或13x，可得()0fx，函数单调递增区间(,1)，1,3()f x的极大值点=1x，极小值点13x，32(1)(1)(1)(1)21f ，32111159()()()2333327f 极大值是1，极小值是5927 19若数列 na满足221nnna aa，13a，23243a a (1)求 na的通项公式；第 12 页 共 15 页(2)若3lognnba，求数列n na b的前n项和nS【答案】(1)3nna (2)1321 34nnSn 【分析】

21、（1）利用等比中项法判断出 na为等比数列，设其公比为 q（0q），由23243a a，求出3q，得到 na的通项公式；（2）先得到3nnna bn，利用错位相减法求和.【详解】（1）因为数列 na满足221nnna aa，13a，23243a a，所以0na.所以数列 na为等比数列，设其公比为 q（0q）.所以22323113243a aa qa qq，解得：3q.所以113nnnaa q.即 na的通项公式为3nna.（2）由（1）可知：33l3logognnnban，所以3nnna bn，所以1 122nnnSaba ba b121 32 33nn 3得：23131 32 33nnnS

22、 -得：123111 31 31 31333nnnSn 1133 3311 33nnnnS 所以1321 34nnSn 20已知圆 C 经过0,32,1AB，两点，且圆心 C 在直线1:2lyx 上(1)求圆 C的方程；(2)已知过点0,2P的直线2l与圆 C相交，被圆 C 截得的弦长为 2，求直线2l的方程【答案】(1)22122xy+(2)0 x 或158160 xy 第 13 页 共 15 页【分析】（1）求得线段 AB的中点坐标和斜率，可得 AB 的垂直平分线的方程，与直线2yx 联立，可得圆 C 的圆心，求得AC，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l的斜率不存在和存在，

23、结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程【详解】（1）线段 AB 的中点为1,2，直线 AB的斜率为1312，所以线段 AB 的垂直平分线为21yx，即=1yx，由21yxyx 解得12xy，所以圆心为1,2C，半径为21(23)2 AC，所以圆 C 的方程为22122xy+；（2）当直线2l的斜率不存在时，由220122xxy，得1y ，或=3y，即直线0 x 与圆 C 相交所得弦长为 132 ，符合题意；当直线2l的斜率存在时，设直线2l的方程为2ykx，即20kxy，由于圆 C 到2l的距离为2211，所以22211kk，解得158k ，所以1528yx 即158160 xy，

24、综上所述，直线 l2 的方程为0 x 或158160 xy 21已知13,0F，23,0F，0,1P，动点M满足1212MFMFPFPF.（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线l不经过点P且与动点M的轨迹相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率和为1.证明：直线l过定点.【答案】（1）2214xy；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得动点M的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，可得24,22 3ac，从而可求出b，进而可得动点M的轨迹方程；（2）设直线PA与直线PB的斜率为12kk，经分析直线l的斜率存在，设直线(1)l ykxm m：，设1122()()A x yB x y，将直线方程与椭圆

25、方程联立方程组，消去y，利用根与系数的关系，再结合第 14 页 共 15 页 121kk 可得222448(21)(1)04141mkmkmkk，从而可求得k与m的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得1212|4MFMFPFPF，则动点M的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，可设为22221xyab23ac，1b，故动点M的轨迹方程为2214xy（2）证明：设直线PA与直线PB的斜率为12kk，如果直线l与x轴垂直，设lxt：，由题设可得0t，且|2t，可得A B，的坐标分别为242tt，242tt，则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设 从而可设直线(1)l ykxm m：

26、，将(1)ykxm m代入2214xy，得222(41)8440kxkmxm，由题意可得2216(41)0km，设1122()()A x yB x y，则21212228444141kmmxxx xkk，而12121211yykkxx121211kxmkxmxx 1212122(1)()kx xmxxx x，由题意得121kk，故1212(21)(1)()0kx xmxx，即222448(21)(1)04141mkmkmkk，解得12mk 当且仅当1m 时，0，12mlyxm：，即11(2)2myx ，所以l过定点(21)，22已知函数()cos2sinf xaxxx，其中aR.(1)当2a

27、时，讨论 f x在0,2上的单调性；(2)若对任意0,2x都有()3f xx，求实数a的取值范围.【答案】(1)f（x）在0,上单调递减，在,2上单调递增.(2)|5a a 【分析】（1）根据题意将2a 代入 f x中，求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；第 15 页 共 15 页（2）根据题意，构造函数 32sincosg xxxaxx和 32cossinh xg xaxaxx，对a进行分类讨论，结合单调性即可求解a的取值范围.【详解】（1）当2a 时，2 cos2sinf xxxx，则 2 sinfxxx，令0fx，当0,2x时，解得x，故当0,x时，0fx；当,2x时，

28、0fx.所以，f x在0,上单调递减，在,2上单调递增.（2）令 32sincosg xxxaxx，则 32cossingxaxaxx.当0a 时，cos0axx，所以 00g xg.当05a时，3 3cossin0gxxaxx，故 g x在0,2上单调递增.又 00g，故 00g xg.当5a 时，令 32cossinh xg xaxaxx，则 22 sincos0h xaxaxx，故 h x在0,2上单调递增.050,3022ahah 故存在00,2x使得 00h x，且当00,xx时 0h x，即 g x在00,x上单调递减，所以当00,xx时，00g xg，故不符合.综上所述，a的取值范围为|5a a.