2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年江西省景德镇一中高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1设复数 z 满足1 i zi，则 z的共轭复数z A1122i B1122i C1122i D1122i【答案】B【解析】算出z，即可得z.【详解】由1 i zi得，11122izii，所以1122zi.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.2在对于具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据 x 2 4 5 6 8 y 3 4 4 4 5 由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则回归直线必过的点是（）A

2、2,3 B4,4 C5,4 D6,4【答案】C【分析】根据回归直线方程过样本中心点即可求解.【详解】2456855x，3444545y，回归直线方程一定过样本中心点5,4.故选：C 3 论语子路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是 A类比推理 B归纳推理 C演绎推理 D合情推理【答案】C 第 2 页 共 13 页【详解】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断.详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们

3、发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故选 C.点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择.4曲线3 2cos2 3sinxy（为参数）中两焦点间的距离是（）A6 B3 C2 3 D2 6【答案】D【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，求解即可.【详解】曲线3 2cos,2 3sinxy(为参数)化为普通方程为：2211812xy，则曲线表示焦点在x轴的椭圆，22218 126cab，所以22 6c，即两焦点间的距离是2 6.故选：D.5某班共有学生 52 人，现根据座号，用系统抽样的

4、方法，抽取一个容量为 4 的样本.已知 7 号20 号46 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A23 B27 C31 D33【答案】D【分析】由系统抽样的性质求解即可.【详解】将座号分成 4 个组，分别为1,13,14,26,27,39,40,52，由 7 号在1,13中，则14,26,27,39,40,52中抽取的号分别为7 1320,201333,33 1346，则样本中还有一个同学的座号是33.故选：D 6如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入 第 3 页 共 13 页 AA=12A BA=12A CA=112A DA=112A【答案】A【分析】本题主要考查算

5、法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】执行第 1 次，1,122Ak 是，因为第一次应该计算1122=12A，1kk=2，循环，执行第 2 次，22k，是，因为第二次应该计算112122=12A，1kk=3，32k，否，输出，故循环体为12AA，故选 A【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA 7若样本12x、22x、2nx 的平均数为10，方差为2，则样本123x、223x、23nx 的平均数和方差分别是（）A19，12 B23，12 C23，18 D19，8【答案】D【分析】设样本1x、2x、n

6、x的平均数为x，利用平均数公式结合已知条件求出x的值，再利用平均数和方差公式可求得结果.【详解】设样本1x、2x、nx的平均数为x，由已知可得1122210nniiiixxnxnn，解得8x，第 4 页 共 13 页 222111210222nnniiiiiixxxxxnnn，所以，样本123x、223x、23nx 的平均数为1123232319nniiiixxnxnn，方差为22211123232244 28nnniiiiiixxxxxxnnn.故选：D.8200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为（）A62，62.5 B65，62 C65，

7、63.5 D65，65【答案】D【分析】根据频率分布直方图，最高的矩形底边的中点即为众数；从左边开始求各组的频率和，当频率和为 0.5 时，底边对应的值即为中位数【详解】最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为6070652，前两个矩形的面积为0.01 0.02100.3，由于0.50.30.2，中位数为0.260 10650.4 故选：D【点睛】本题考查根据频率分布直方图求数据的众数、中位数，属于基础题 9吃青团是清明时节的习俗之一.这天小亮的妈妈送来 5 个青团，其中 3 个豆沙馅2 个蛋黄馅的，小亮随机取出两个青团，若事件M“取到的两个青团为同一种馅”，事件N“取到的两个青团都是蛋黄馅”

8、，则P N M（）A14 B34 C310 D110【答案】A【分析】由题事件M的所有可能情况的数目以及事件N的所有可能情况的数目得出结果.第 5 页 共 13 页【详解】事件M的所有可能情况的数目为2232CC4，事件N的所有可能情况的数目为22C1，则14P N M，故选：A.10用模型ekxyc拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，其变换后得到线性回归方程为122zx，则c（）A0.5 B0.5e C2 D2e【答案】B【分析】化简已知得lnzkxc，得1ln2c，即得解.【详解】解：因ekxyc，两边取对数得：lnln()lnlnlnkxkxycckxcee，令lnzy，则ln

9、zkxc，而122zx，于是得1ln2c，即0.5ec，所以0.5ec.故选：B 11 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第 11 行的实心圆点的个数是（）A89 个 B55 个 C34 个 D144 个【答案】B【分析】由前六项的规律得出第 11 行的实心圆点的个数.【详解】第 1，2，6行的实心圆点的个数分别为0,1,01 1,1 12,123,235 ，由此规律可得第 7 到第 11 行的实心圆点的个数分别为358,5813,8 1321

10、,132134,213455，则第 11 行的实心圆点的个数是55 个.故选：B 第 6 页 共 13 页 12 对集合12,ka aa和常数m，把222122sinsinsinkamamamk定义为集合12,ka aa相对于m的“正弦方差，则集合,6 2 6 相对于m的“正弦方差”为（）A32 B32 C12 D与m有关的值【答案】C【分析】先确定集合,6 2 6 相对于m的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合,6 2 6 相对于m的“正弦方差”为 2222sinsinsin6263mmm 1cos21cos21cos21333222m

11、mm 13cos2cos2cos2633mmm 把13cos2cos 2sin 2322mmm，cos2cos 2mm，13cos2cos 2sin 2322mmm，代入上式整理得，212.故选：C.二、填空题 13假设要考查某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标，现从 60 袋这种牛奶中抽取 12 袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，先将 60 袋牛奶按 00，01，59 进行编号，若从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读，则第 4 袋牛奶的编号为 _；(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47

12、 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】10【分析】根据利用随机数表抽取样本的规则一一读取即可；【详解】解：从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读，分别是 78（舍去），59,16,95（舍去），55,67（舍去），16（重复），98（舍去），10，第 7 页

13、 共 13 页 故第 4 袋牛奶的编号为 10 故答案为：10【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题 14计算：220221 iii _.【答案】i【分析】根据等比求和公式以及复数的运算得出答案.【详解】1011202321011iii(1)ii 220221 iii 202321 i1 i(1 i)i1 i1 i2 故答案为：i 15 已知ABC的三边长为,a b c，内切圆半径为r，则 ABC 的面1()2ABCSr abc；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积A BCDV_【答案】13ABCABDACDBCDR SS

14、SS【分析】以球心为顶点将三棱锥分割成四个小三棱锥，可类比得出.【详解】以球心为顶点将三棱锥分割成四个小三棱锥，则它们的高都为R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积，即13A BCDABCABDACDBCDVR SSSS.故答案为：13ABCABDACDBCDR SSSS.【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可类比为四面体的内切球.16已知xy、z均为正数，则2223xyyzxyz的最大值为_.【答案】102【分析】根据分子和分母的特点把222xyz变形为2222191010 xyyz，运用重要不等

15、式，可以求出2223xyyzxyz的最大值.【详解】2222191222(3)101911010010 xyyxyyzxyyzz（当且仅当 110 xy且910zy时取等号）,第 8 页 共 13 页 222222233101921010 xyyzxyyzxyzxyyz（当且仅当10yx且103yz时取等号），因此2223xyyzxyz的最大值为102.【点睛】本题考查了重要不等式，把222xyz变形为2222191010 xyyz是解题的关键.三、解答题 17已知复数24 i(R,i1 imzm是虚数单位).(1)若z是实数，求m的值和z；(2)设z是z的共轭复数，复数2zz在复平面上对应的

16、点位于第四象限，求m的取值范围.【答案】(1)12m ，2z；(2)1,2.【分析】（1）先由复数的除法运算求得 1 21 2izmm，再结合复数的类型列方程求解即可；（2）先求出2zz，再结合复数在复平面上对应的点位于的象限列不等式组求解即可.【详解】(1)由题可得 24 i 1 i24 i1 212i1 i1 i 1 immzmm，z是实数，1 20m，解得12m ，2z，即2z；(2)1 21 2izmm，21 21 2i2 1 22 1 2i2163 izzmmmmmm，由复数2zz在复平面上对应的点位于第四象限，则210630mm，解得12m，故m的取值范围为1,2.18求证：第 9

17、 页 共 13 页(1)已知0,0abm，求证：bmbama；(2)已知 a0，b0，且11abab，求证：22aa与22bb不可能同时成立.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由作差法证明即可；（2）由反证法证明即可.【详解】(1)()()()bmbabamabbmm abamaa ama am 因为0,0abm，所以()0()m aba am 所以bmbama(2)因为 ababab，所以1ab 假设22aa与22bb同时成立 因为22aa与22bb的解集分别为01aa，01bb 所以01ab，与1ab 矛盾，故假设不成立.即：22aa与22bb不可能同时成立.19为了研

18、究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60 个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐 久性达标 混凝土耐 久性不达标 总计 使用淡化海砂 25 5 30 使用未经淡化海砂 15 15 30 总计 40 20 60 (1)根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个，现从这 6 个样本中任取 2个，则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：第 10 页 共 13 页 P（K2k）0.10 0.050 0.025 0

19、.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)能在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关；(2)23.【分析】（1）利用公式可得2K，进而即得；（2）利用列举法即得.【详解】(1)由已知数据可求得：2260(25 15 15 5)7.56.635,30 30 40 20K 因此，能在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为256530个，“混凝土耐久性不达标”的为 1 个“

20、混凝土耐久性达标”的记为12345,A A A A A“混凝土耐久性不达标”的记为B 从这 6 个样本中任取 2 个，121314151232425,A AA AA AA AA BA AA AA A 234353,A BA AA AA B 4545,A AA BA B共有 15 可能，设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件A为“取出的 2 个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含1,A B 23,A BA B 45,A BA B共 5 种可能，所以52()1()1153P AP A ，即取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是23.20设函数 2224f xxa

21、xb.(1)若a是从21012 五个数中任取的一个数，b是从 012 三个数中任取的一个数，求函数 f x有零点的概率；(2)若a是从区间2，2任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求函数 f x有第 11 页 共 13 页 零点的概率.【答案】(1)35；(2)14.【分析】（1）由题得224ab，再利用古典概型的概率公式求解；（2）利用几何概型的概率公式求解.【详解】(1)解：函数 2224f xxaxb有零点等价于方程22240 xaxb有实根，可得222244 444160abab，可得224ab，记事件A为函数 2224f xxaxb有零点，总的基本事件有2,0、2,1、2,2

22、、1,0、1,1、1,2、0,0、0,1、0,2、1,0、1,1、1,2、2,0、2,1、2,2，共15个，事件A包含的基本事件有：2,0、2,1、2,2、1,2、0,2、1,2、2,0、2,1、2,2，共有 9 个.所以 93155P A.(2)解：试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）,22,02a bab 记事件B为函数 2224f xxaxb有零点，事件B所构成的区域为22,4Ma b ab且,a b，所以 2122112 44MSP BS .21以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种第 12 页 共 13 页 坐标系中取相同的长度单位.若直线l的

23、参数方程为1(3xuuyu 为参数）,曲线C的极坐标方程为3 2sin()4.（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C相交于,M N两点，若P点的直角坐标为(1,3)，求|PMPN的值.【答案】(I)20 xy；22330 xyxy.(II)|4PMPN.【详解】分析：（I）由直线l参数方程消参数去u，即可求得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（II）把直线l的参数方程为212(232xttyt 为参数），曲线C的直角坐标方程，求得121 24 2,40ttt t，即可利用参数的几何意义求解结论.详解：（I）由参数方程

24、13xuuyu（为参数）消去u可得20 xy，即直线l的普通方程为20 xy.由3 2sin4可得3sin3cos，因此23 sin3 cos，所以22330 xyxy，故曲线C的直角坐标方程为22330 xyxy.（II）由于21222322xuyu，令2ut，则直线l的参数方程为212232xttyt（为参数）.将212232xtyt 代入曲线C的直角坐标方程可得24 240tt，设,M N两点对应的参数分别为12,t t，则121 24 2,40ttt t，于是221212121 244 24 44PMPNttttttt t.故4PMPN.点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方

25、程与直角坐标方程的互化，以及第 13 页 共 13 页 直线的参数方程的应用，其中掌握直线参数方程中的参数的几何意义是解答难点，着重考查了推理与运算能力.22已知函数()|1f xxmxn.(1)若2mn，解不等式 5f x；(2)若,m n均为正实数，且1114mn，求证：54f x.【答案】(1)|3x x 或3x；(2)证明见解析.【分析】（1）当2mn 时，得到不等式226xx，分类讨论即可求解不等式的解集；（2）由题可得()1()()11f xxmxnxmxnmn ，利用基本不等式求得最小值，即可作出证明.【详解】(1)当2mn 时，不等式 5f x，即为226xx.若2x，则 226xx，解得3x ；若2x，则 226xx，解得3x；若22x，则 226xx，无解.综上，不等式的解集为|3x x 或3x.(2)由于,m n均为正实数，所以|11|1xmxnf xxmxnmn，当且仅当0 xmxn时取等号，而115592444444nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn，即2mn时取等号，所以 95144f x .