2022-2023学年辽宁省沈阳市第三十一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2022-2023 学年辽宁省沈阳市第三十一中学高二上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1已知,m nR，则“直线10 xmy 与10nxy 平行”是“1mn”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要【答案】A【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.【详解】若直线10 xmy 与10nxy 平行，则10mn，即1mn，当1m ，1n时，两直线方程为10 xy，10 xy ，此时两直线重合，故“直线10 xmy 与10nxy 平行”是“1mn”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题

2、.2已知531a xx（a为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（）A90 B10 C10 D90【答案】A【分析】由题意可得55(1)2a，得3a，然后求出二项式展开式的通项公式，由x的次数为零，求出r，从而可求出常数项.【详解】因为531a xx（a为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以55(1)2a，得3a，所以5533113a xxxx，则其展开式的通项公式为15 555615531C3C3(1)rrrrrrrrTxxx，令15506r，得3r，第 2 页 共 21 页 所以该展开式中的常数项为35 335C3(1)90 ，故选

3、：A 3在下列命题中：若向量,a b共线，则向量,a b所在的直线平行；若向量,a b所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；若三个向量,a b c两两共面，则向量,a b c共面；已知空间的三个不共面向量,a b c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数,x y z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】B【分析】空间向量,a b共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；利用四面体四条侧棱说明即可；根据空间向量基本定理即可判断.【详解】若向量,a b共线，则向量,a b所在的直线平行或重合，错误；若向量,a b所在的直线为异面直线，

4、由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故,a b共面，错误；若三个向量,a b c两两共面，如下图：显然,a b c不共面，错误；已知空间的三个不共面向量,a b c，则对于空间的任意一个向量p，根据空间向量基本定理知：总存在实数,x y z使pxaybzc，正确.只有正确.故选：B 4如图，圆台的高为 4，上、下底面半径分别为 3、5，M、N 分别在上、下底面圆周上，且第 3 页 共 21 页 21,120O M O N，则|MN|等于（）A65 B52 C35 D5【答案】A【分析】用2MO，21O O，1O N表示出MN，计算2MN再开方即可得出答案.【详解】O2MO1O2

5、，O1NO1O2，2MO21O O 0，211O O O N0，又21MOO N35cos60152.2211MNMOO OO N，MN2（2211MOO OO N）2 2MO221O O21O N2+22MO21O O 2211O O O N221MOO N9+16+25+1565，|MN|65.故选：A.5在某种信息传输过程中，用 6 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，例如 001100 就是一个信息在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有 2 个 1 的概率是（）A516 B1132 C1532 D1564【答案】D【分析】先求

6、出总的事件个数，再求恰好有 2 个 1 的种数，根据概率公式即可求解.【详解】每个位置可排 0 或 1，故有 2 种排法，因此用 6 个数字的一个排列的总个数为62=64，恰好有 2 个 1 的排列的个数共有26C=15，故概率为：1564，故选：D 第 4 页 共 21 页 6已知点(4 0)(10)(4 3)ABC，动点PQ，满足2PAQAPBQB，则CPCQ的取值范围（）A116，B614，C416，D 13 3 5，【答案】B【分析】根据题意，求出点P和Q的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.【详解】设,P x y，则224PAxy，221PBxy，因2PAPB，所以22

7、22421xyxy，即224xy，因此点P在以原点O为圆心，2 为半径的圆上，同理可得点Q也在以原点O为圆心，2 为半径的圆上.又因2CPCCOOOQPQ，所以当P和Q重合，且C、O、P三点共线时，CPCQ取得最值，因此max2214CPCQOC，min226CPCQOC.故选：B.7已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P是它们的一个交点，且123FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则当1 21e e取最大值时，1e，2e的值分别是（）A22，62 B12，52 C33，6 D24，3【答案】A【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：222210 xyabab，22cab，22

8、22111xyab，2211cab，根据123FPF，利用余弦定理得到2221340aac，进而得到2221314ee，再利用基本不等式求解.【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：222210 xyabab，22cab，2222111xyab，2211cab 设1PFm，2PFnmn则2mna，12mna，1maa，1naa 因为123FPF，所以 22221cos322mncmn，第 5 页 共 21 页 即22211114aaaacaaaa 2221340aac，2221314ee，22121342ee，则1 2123e e，当且仅当122e，262e 时取等号 故选：A 8 古

9、希腊数学家欧几里得在几何原本 中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了 500 年，到了 3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线.现有方程2222123m xyyxy表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A0,1 B1,C0,5 D5,【答案】C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点,x y到定点与定直线之比为常数5em，进而

10、可得结果.【详解】已知方程可以变形为2222321xymxyy，即221123xyxym，2215235xyxym 其表示双曲线上一点,x y到定点0,1与定直线230 xy之比为常数5em，又由1e，可得05m，故选：C.二、多选题 9下列关于二项式展开式说法正确的是（）A若 10n，则 21nx 的展开式中二项式系数最大的项为第 6 项：B若 21nx 的展开式中第二项与第三项的系数互为相反数，则 5n；第 6 页 共 21 页 C若 102100121021xaa xa xa x，则 1012103aaa D若 102100121021xaa xa xa x，则 310120231002

11、222aaaaa 【答案】ABD【分析】利用二项式的通项公式和二项式的性质、结合赋值法进行判断即可.【详解】A：当10n 时，二项式1021x展开式共有11项，其中第11 162项二项式系数最大，因此本选项说法正确；B：二项式21nx的通项公式为：1(2)(1)rn rrrnTCx，因为21nx 的展开式中第二项与第三项的系数互为相反数，所以有1112222(1)2(1)05,0nnnnCCnn （舍去），因此本选项说法正确；C：在102100121021xaa xa xa x中，令=1x，得 100123103aaaaa，令0 x，得1000(1)1aa 二项式1021x的通项公式为：101

12、10(2)(1)rrrrTCx，所以1012101231031aaaaaaa，因此本选项不正确；D：令12x，得310120231002222aaaaa，因此本选项正确，故选：ABD 10已知,A B是两个随机事件，0()1P A，下列命题正确的是（）A若,A B相互独立，P B AP B B若事件AB，则1P B A C若,A B是对立事件，则1P B A D若,A B是互斥事件，则0P B A 【答案】ABD【分析】利用条件概率、相互独立事件判断 A；利用条件概率的定义判断 B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断 C，D 作答.【详解】对于 A，随机事件,A B相互独立，则()()()

13、P ABP A P B，()(|)()()P ABP B AP BP A，A 正确；对于 B，事件AB，()()P ABP A，()(|)1()P ABP B AP A，B 正确；对于 C，因,A B是对立事件，则()0P AB，()(|)0()P ABP B AP A，C 不正确；对于 D，因,A B是互斥事件，则()0P AB，()(|)0()P ABP B AP A，D 正确.第 7 页 共 21 页 故选：ABD 11一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点3,0F，椭圆的短轴与半圆的直径重合.

14、若直线0yt t与半圆交于点 A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A椭圆的离心率是22 B线段AB长度的取值范围是0,33 2 CABF面积的最大值是9214 DOAB的周长存在最大值【答案】AC【分析】求得椭圆的离心率判断选项 A；求得线段AB长度的取值范围判断选项 B；求得ABF面积的最大值判断选项 C；根据表达式结合参数范围判断OAB的周长是否存在最大值.【详解】由题意得半圆的方程为2290 xyx，设半椭圆的方程为222210,0 xyabxab，又3bc，则3 2a，则半椭圆的方程为2210189xyx 则椭圆的离心率3223 2e，故选项 A 判断正确；直线0yt t与半圆

15、交于点 A，与半椭圆交于点B，则线段AB长度的取值范围是0,33 2.故选项 B 判断错误；不妨设12(,),(,)A x tB x t 则由22190 xtx，可得219xt；由22210189xtx，可得22182xt；则22221829911()22ABFttttSt 222921212492tt（当且仅当322t 时等号成立）第 8 页 共 21 页 故选项 C 判断正确；OAB的周长为22()321918l tOAOBABtt 则()l t在0,3上单调递减，则OAB的周长不存在最大值.故选项 D 判断错误.故选：AC 12中国古代数学著作九章算术中，记载了一种称为“曲池”的几何体，

16、该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为 2，1AA，1BB，1CC，1DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 1 和 2，对应的圆心角为 90，则以下命题正确的是（）A1AB与1CD成角的余弦值为45 B1A，B，C，1D四点不共面 C弧11AD上存在一点E，使得1BECD D以C点为球心，5为半径的球面与曲池上底面的交线长为23【答案】AD【分析】建立空间坐标系，用向量计算异面直线的夹角，做辅助图计算判断相关问题.【详解】圆弧的圆心的原点，CD 为 x轴，BA 为 y轴过圆心 O垂直于底面的直线为 z 轴，建立

17、空间直角坐标系如下图：第 9 页 共 21 页 则110,2,0,0,1,2,1,0,0,2,0,2ABCD，故110,1,2,1,0,2ABCD，所以11111144cos,555AB CDAB CDABCD，A 正确；对于 B，连接11,AD AD BC，则有11/,/,ADAD ADBC则11/ADBC，11AD 与 BC 共面，即11,A D B C 四点共面，故 B 错误；对于 C，设在圆弧11AD 存在一点2cos,2sin,2E 0,2，使得1/BECD，则有12cos,2sin1,21,0,2BECD，2cos2sin1022 ，此方程组无解，即 E 点不存在，故 C 错误；对

18、于 D，做如下俯视图：22215AC ，即以 C为球心，5为半径的球刚好过 A 点是球面与底面 ABCD 唯一的交点，因为221125CD，1(2,0,2)D在球面上，设与圆弧11BC的交点为cos,sin,2E，则222cos1sin25CE，解得13cos,sin22，故13,222E，球面与上底面的交线是以1C为圆心，半径为 1 的圆弧1ED，则222113222322ED，圆心角222111131cos2 1 12EC D ，由图知：110EC D，得1123EC D.第 10 页 共 21 页 122133ED ，故 D 正确；故选：AD.三、填空题 13 已知A，B，C三点不共线，

19、对平面ABC外一点O，给出下列表达式：123OMxOAyOBOC，其中x，y是实数，若点M与A，B，C四点共面，则xy_.【答案】53【分析】根据空间共面向量定理的推论计算【详解】解：123OMxOAyOBOC，111226OMxOAyOBOC，点M，A，B，C四点共面，1111226xy，53xy.故答案为：53.14将 5 名志愿者分配到世界杯的 3 个不同体育场进行志愿者服务，每名志愿者分配到 1 个体育场，每个体育场至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有_种【答案】150【分析】5 名志愿者分成三个小组,有 2，2，1 和 1，1，3 两种分法，分别求出两种分组方法对应的方案数即

20、可得总的分配方案数.【详解】将 5 名志愿者分成三个小组，有 2，2，1 和 1，1，3 两种分法，当为 2，2，1 时，共有223533CCA902!种；当为 1，1，3 时，共有113543CCA602!种；故一共有 90+60=150 种分配方案.故答案为：150.15已知抛物线2:8C xy 的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于,A B两点，分别过,A B两点作C的切线12,l l，且12,l l相交于点P，则PAB面积的最小值为_【答案】16【分析】设直线l方程为2ykx，1122(,),(,)A x yB xy，再分别求出对应的切线方程，联立求出P点坐标，进而表示出PAB的面积

21、，求出最小值.第 11 页 共 21 页【详解】根据题意可知：(0,2)F，设1122(,),(,)A x yB xy，直线l斜率存在，则设其方程为：2ykx，代入28xy，整理可得：28160 xkx，则12128,16xxk x x ，由28xy，即218yx，则14yx ，故切线1l的方程为：1111()4yyx xx，同理切线2l的方程为：2221()4yyx xx，联立以上方程可得：121242128xxxkyx x ，即点(4,2)Pk，设点P到直线l的距离为d，则22(4)22411kkdkk，而 2222212121211()41(8)4(16)ABkxxkxxx xkk 28

22、(1)k，故32222118(1)4116(1)22PABSAB dkkk，显然，当0k 时，APBS有最小值16.故答案为：16.【点睛】解决圆锥曲线的题目要根据题意合理地设线，设点，联立方程来解决问题，注意用韦达定理进行整体代换.16在如图所示的直四棱柱1111ABCDABC D中，12,1AAADAB，点P在侧面11BCC B内（含边界）运动，若点P到直线AD与直线1BB的距离相等，则直线AD与直线BP所成角的正弦值的最大值为_ 第 12 页 共 21 页【答案】217#1217【分析】设1PMBB于M，PQAD于Q，PNBC于N，根据题意可得21PNPM，再以B为坐标原点，在平面11B

23、CC B上建立平面直角坐标系，分析点P的轨迹方程，结合直线AD与直线BP所成角为PBC，根据双曲线的性质求解最大值即可【详解】由题意，设1PMBB于M，PQAD于Q，PNBC于N，如图连接.由题意，PMPQ，且PNNQ.故2222PMPQPNNQ，即21PNPM 以B为坐标原点，在平面11BCC B上建立如图平面直角坐标系，由21PNPM可得P的轨迹方程为21yx，即双曲线221xy在正方形11BCC B中的部分，由双曲线221xy的一条渐近线为yx，即对角线1BC，故当P在1CC上时，PBC取得最大值，此时sinPBC最大，213PCBC，227PBPCBC，321sin77PCPBCPB.

24、又/ADBC，故AD与直线BP所成角为PBC，即直线AD与直线BP所成角的正弦值的最大值为217 故答案为：217 第 13 页 共 21 页 四、解答题 17高二年级线上学习至今，每个班的家长都积极配合，参与到班级管理当中，若某班某一天共有7 位家长报名参与到当天的早读、上午课堂、下午课堂、晚修的管理，其中 2 位家长被安排管理早读，其余 5 位家长被安排到上午课堂、下午课堂、晚修三个时段管理.(1)从 7 位家长中安排 2 人参与早读管理，共有多少种不同方法；(2)将剩下的 5 位家长被安排到上午课堂、下午课堂、晚修三个时段管理，要求每个时段至少有 1 人，共有多少种不同安排方法；(3)线

25、上学习结束后，班主任为了感谢这 7 位家长，召开线上会议（腾讯会议）对家长表示感谢，若7 位家长先后进入会议，A、B 两位家长相邻进入会议，且都不是第一个，也不是最后一个进入会议，问这 7 位家长进入会议时间的不同排序方式有多少种.【答案】(1)21(2)150(3)960 【分析】（1）利用组合求解；（2）将剩下的 5 位家长分为 3 组，按 3，1，1 和 2，2，1 两类求解；（3）将 A，B 捆绑，看作一个，从中间 4 个位置选一个排上，A，B再排序，其余 5 为家长全排列求解.【详解】（1）解：从 7 位家长中安排 2 人参与早读管理，共有2721C 种不同方法；（2）将剩下的 5

26、位家长分为 3 组 分为 3，1，1，共有311521360C C C 种不同安排方法，分为 2，2，1，共有221531390C C C 种不同安排方法，所以每个时段至少有 1 人，共有 60+90=150 种不同安排方法；（3）因为 A,B 不在第一个，也不在最后，且相邻，则将 A，B捆绑，从中间 4 个位置选一个位置排上有14C种，A，B 再排序有22A种，其余 5 为家长全排列有55A种，所以这 7 位家长进入会议时间的不同排序方式共有125425960C A A 种.第 14 页 共 21 页 18一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球如果不放回

27、的依次取出 2 个球回答下列问题：()第一次取出的是黑球的概率；()第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；()在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率【答案】（）35（）310（）12【分析】（）黑球有 3 个，球的总数为 5 个，代入概率公式即可；（）利用独立事件的概率公式直接求解即可；（）直接用条件概率公式求解【详解】依题意，设事件 A 表示“第一次取出的是黑球”，设事件 B 表示“第二次取出的是白球”（）黑球有 3 个，球的总数为 5 个，所以 P（A）35；（）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 P（AB）3235410；（）在第一次取出的是黑球的

28、条件下，第二次取出的是白球的概率为 P（B|A）3110325P ABP A 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题 192022 年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满 300 元的顾客，第二天上午 8 点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有 8 张卡片，3 张印有“奖”字，5 张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出 3 张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1 张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金 10 元，

29、抽到 2 张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励 1 个冰墩墩玩偶，抽到 3 张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励 2 个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满 300 元的约占13.(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为 X，求 X的分布列.【答案】(1)2328；(2)分布列见解析.【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.第 15 页 共 21 页（2）由题意X可能值为0,1,2，分别求出对应值的概率，即可得分布列.【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率122130353

30、535333888C CC CC C3015123CCC56565628P.（2）由题设，X可能值为0,1,2，则213538C C15(1)C56P X，303538C C1(2)C56P X，5(0)1(1)(2)7P XP XP X，所以X的分布列如下：X 0 1 2 P 57 1556 156 20已知(2 2,0),(2 2,0)AB，直线,PA PB的斜率之积为34，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)直线l与曲线C交于,M N两点，O为坐标原点，若直线,OM ON的斜率之积为34，证明:MON的面积为定值.【答案】(1)221(2 2)86xyx (2)证明见解析 【

31、分析】（1）设(,)P x y，求出直线PA的斜率、直线PB的斜率，相乘化简可得答案；（2）直线l的斜率存在时，可设其方程为ykxm，直线方程与椭圆方程联立，设1122,M x yN x y，利用韦达定理代入12121212OMONkxmkxmy ykkx xx x化简化简得2243mk求出|MN，再求出O到MN的距离d，可得1|2OMNSMNd为定值；当直线l的斜率不存在时，可设 0000,M x yN xy，利用34 CMONkk、2200186xy，解得2200,xy，可得OMNS.【详解】（1）设(,)P x y，则直线PA的斜率(2 2)2 2PAykxx，直线PB的斜率(2 2)2

32、 2PBykxx，由题意223842 22 2PAPByyykkxxx，化简得 221(2 2)86xyx；（2）直线l的斜率存在时，可设其方程为ykxm，第 16 页 共 21 页 联立22,1,86ykxmxy化简得2223484240kxkmxm，设1122,M x yN x y，则22222(8)4 3442448 860kmkmkm，21212228424,3434 kmmxxx xkk，所以 2212121212121212OMONkxmkxmk x xkm xxmy ykkx xx xx x222222222224248343442434m kkk mmk mkmk 222243

33、34244kmm 化简得2243mk 则2222122148 86|134kkmMNkxxk222224 3 1434 3 14334kkkkk，又O到MN的距离222|4311mkdkk，所以222211 4 3 134|2 322341OMNkkSMNdkk，为定值.当直线l的斜率不存在时，可设 0000,M x yN xy，则202034CMONykkx ，且2200186xy，解得22004,3xy，此时00122 32OMNSx y，综上，OMN的面积为定值2 3.21已知三棱锥PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，ABE 和 BCF 均为

34、正三角形，在三棱锥PABC中：(I)证明：平面PAC平面ABC;()求二面角APCB的余弦值；()若点M在棱PC上，满足CMCP，1 2,3 3，点N在棱BP上，且BMAN，求BNBP的取值范围 第 17 页 共 21 页 【答案】（）见解析;（）33;（）1 2,4 5BNBP.【分析】试题分析：第一问取AC中点O，根据等腰三角形的性质求得POAC，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得POOB，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量

35、垂直的条件，利用向量的数量积等于 0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（）方法 1：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意 2PAPBPC，1PO，1AOBOCO 因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点 所以POAC，因为在POB中，1PO，1OB，2PB 所以POOB 因为ACOBO，,AC OB 平面ABC 所以PO 平面ABC 因为PO 平面PAC 所以平面PAC 平面ABC 第 18 页 共 21 页 方法 2：设AC的中点为O，连接BO，PO.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点 所以POAC，因为PAPBPC，POPOPO，AOBOCO 所以POAPO

36、BPOC 所以90POAPOBPOC 所以POOB 因为ACOBO，,AC OB 平面ABC 所以PO 平面ABC 因为PO 平面PAC 所以平面PAC 平面ABC 方法 3：设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC中，PAPC，所以POAC 设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.因为在OAB中，OAOB，Q为AB的中点 所以OQAB.因为在PAB中，PAPB，Q为AB的中点 所以PQAB.第 19 页 共 21 页 因为PQOQQ，,PQ OQ 平面OPQ 所以AB 平面OPQ 因为OP 平面OPQ 所以OPAB 因为ABACA，,AB AC 平面ABC 所以PO 平面ABC 因为PO 平面

37、PAC 所以平面PAC 平面ABC（）由PO 平面ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则 0,0,0O，1,0,0C，0,1,0B，1,0,0A，0,0,1P 由OB 平面APC，故平面APC的法向量为0,1,0OB 由1,1,0BC，1,0,1PC 设平面PBC的法向量为,nx y z，则 由00n BCn PC 得：00 xyxz 令1x，得1y，1z，即1,1,1n 13cos,33 1n OBn OBn OB 由二面角APCB是锐二面角，所以二面角APCB的余弦值为33（）设BNBP，01，则 第 20 页 共 21 页 1,1,01,0,11,1,BMBCCMBCCP 1,1,

38、00,1,11,1,ANABBNABBP 令0BM AN 得 11110 即1111，是关于 的单调递增函数，当1 2,3 3时，1 2,4 5，所以1 2,4 5BNBP 22已知抛物线 C：24yx上有一动点00,P x y，00 x，过点 P 作抛物线 C 的切线l交 y轴于点Q(1)判断线段 PQ 的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；(2)过点 P作l的垂线交抛物线 C 于另一点 M，若切线l的斜率为 k，设PQM的面积为 S，求Sk的最小值【答案】(1)线段PQ的垂直平分线过定点10,16F(2)116 【分析】（1）设切线PQ的方程为ykxb，并与抛物线

39、方程联立，利用判别式求得P点坐标，进而求得Q点坐标，从而求得线段PQ的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.（2）结合弦长公式求得PQM的面积S，利用基本不等式求得Sk的最小值.【详解】（1）依题意可知切线PQ的斜率存在，且斜率大于0.设直线 PQ的方程为ykxb，0k.由24ykxbyx消去y并化简得240 xkxb，由0得2160kb，216kb ，则22224420164kkxkxbxkxx，解得8kx，所以2,8 16k kP，第 21 页 共 21 页 在ykxb中，令0 x 得yb，所以20,16kQ，PQ 中点为,016k，所以线段 PQ的中垂线方程为116kyxk，即1116yx

40、k，所以线段PQ的垂直平分线过定点10,16F.（2）由（1）可知，直线 PM的方程为21168kkyxk，即211816kyxk.由22118164kyxkyx 消去y并化简得：221140816kxxk，所以218164PMkx x，而8Pkx，所以得148Mkxk，2,8 16k kP，20,16kQ，22221888kkkkPQ 221111144PMkPMxxkkk.所以PQM的面积2211111122844kkkSPQPMkk22164kk，所以224222222121111116422264646416kSkkkkkkkkkk.当且仅当221,1kkk时等号成立.所以Sk的最小值为116.