2022-2023学年陕西省西北工业大学附属中学高一上学期1月期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年陕西省西北工业大学附属中学高一上学期 1 月期末数学试题 一、单选题 1已知全集U R，集合24Axx，260Bx xx，则UAB等于（）A2,3 B3,4 C2,4 D,23,4 【答案】B【解析】化简集合B，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】260Bx xx|23xx，|2UBx x 或3x，所以UAB|34xx.故选：B 2若 sinx0，且 sin（cosx）0，则角x是 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可【详解】1cosx1，且 s

2、in（cosx）0，0cosx1，又 sinx0，角 x 为第四象限角，故选 D【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键 3已知向量i与j不共线，且ABimj，ADnij，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是 A1mn B1mn C1mn D1mn 【答案】A【详解】试题分析：依题意，ABAD，ABAD，即11mn，求得1mn，故选 A.第 2 页 共 16 页【解析】共线向量定理.4已知1mn，pmxn xR，函数 f xp，当34x 时，f（x）有最小值，则m在n上的投影向量为（）A34n B32n C34n D32n【答案

3、】C【分析】根据题意写出 f xp的表达式，结合二次函数知识求得34m n，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意得，1mn,2222()21()1()fxpmxnxxm nxm nm n，当xm n 时，f xp有最小值，即33,44m nm n，则m在n上的投影向量为34|m nnnn ，故选：C 5已知平面向量a与2ab的夹角为30，则ab的最大值为（）A12 B2 C4 D8【答案】C【分析】在三角形中利用数形结合构造关于ba、不等式，解之即可求得ab的最大值【详解】以向量a与2 b为两边作ABC，aAB，2bBC，CAB30 则2abAC 则在ABC中sinBCABCAB，即

4、122ba，第 3 页 共 16 页 则4ab，当且仅当122ba即2ba时等号成立.故选：C 6在 ABC 中，点 P 满足 2APABAC，则（）A点 P 不在直线 BC 上 B点 P 在 CB 的延长线上 C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在 BC 的延长线上【答案】B【分析】由已知条件可得BPCB，从而可得BP与CB共线，进而可得结论【详解】因为2APABAC，得APABABAC，所以BPCB，所以,B P C三点共线，且点 P 在 CB 的延长线上，故选：B 7已知向量(1,1)a ，且a 与2ab方向相同，则a b的取值范围是（）A（1，+）B（-1，1）C（-1，+）D（-，

5、1）【答案】C【分析】a与2ab同向，用共线基本定理得到关系，表示a b依据的范围去求.【详解】因为a与2ab同向，所以可设2(0)aba 则有12ba，又因为22(1)12a，所以21121122a ba 所以a b的取值范围是(-1，+)，故选：C.8高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：0.51,1.51，已知函数 52sin 1,0,6675,3316xxf xxxx，则函数 yfx的值域为（）A2,1,0,1,2,3 B1,0,1,2,3 第 4 页 共 16

6、 页 C1,0,2,3 D2,1,0,1,2【答案】A【分析】根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数 f x的值域，再根据高斯函数的定义求出 yfx的值域即得.【详解】当50,6x时，50,6x，sin 0,1x，所以 2sin 11,3f xx，当5,36x时，67923131xf xxx单调递减，所以 6711 4,3110 7xfxx；综上，11 4,1,310 7f x，所以函数 yfx的值域为 2,1,0,1,2,3.故选：A.二、多选题 9下列函数中，定义域为0,的函数是（）Algyx Byx C12yx Dexy 【答案】AC【分析】根据基本初等函数的定义域逐项分析即得.【详解

7、】对于 A，函数lgyx的定义域为0,，符合题意；对于 B，函数yx的定义域为0,，不符合题意 对于 C，函数121yxx的定义域为0,，符合题意；对于 D，函数exy 的定义域为 R，不符合题意.故选：AC.10下列说法正确的是（）A若22acbc，则ab B若ab，cd，则acbd 第 5 页 共 16 页 C若0ba，0c，则bcbaca D若0ab，则11abba【答案】AD【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于 A，22acbc，0c，20c，210c，222211acbccc，ab，故选项 A 正确；对于 B，当2a，1b，0c，2d 时，有ab

8、，cd，但此时2ac，3bd，acbd，故选项 B 错误；对于 C，当1a，2b，1c 时，有0ba，0c，但此时32bcac，2ba，bcbaca，故选项 C 错误；对于 D，0ab，0ab，10ab，11ababab，11ba，由不等式的同向可加性，由ab和11ba可得11abba，故选项 D 正确.故选：AD.11已知,是第一象限角，且sinsin，则下列关系正确的是（）A B22tantan C22coscos D22sinsin1【答案】BC【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除 AD 选项，再根据同角三角函数的基本关系判断 BC 即可.【详解】,是第一象限角，且sinsin，当13

9、,46时，2131sinsinsinsinsin42662 此时，所以 A 错误；易知，sinsin0，所以22sinsin，又因为22sincos1，即221 cos1 cos，所以22coscos，即 C 正确；又因为220coscos，所以2211coscos，第 6 页 共 16 页 因此222211sinsincoscos，即22tantan，故 B 正确；取,46，则22113sinsin1244，所以 D 不成立.故选：BC.12设函数2e,0()12,02xxf xxxx，对关于x的方程 220fxbfxb，下列说法正确的是（）A当22 3b 时，方程有 3 个实根 B当32b

10、 时，方程有 5 个不等实根 C若方程有 2 个不等实根，则17210b D若方程有 6 个不等实根，则322 32b 【答案】ABD【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究 220fxbfxb的根的个数，对选项逐一判断即可.【详解】由函数2e,0()12,02xxf xxxx可知，图象如下：对于 A，当22 3b 时，方程 220fxbfxb即为 22(3 1)42 30fxf x，即2()(31)0f x，所以()31f x 而310.5,1，由图可知()f x与31y 有三个交点，即方程有 3 个不同的实根.故 A 正确；对于 B，当32b 时，方程为

11、 231022fxf x，即1()1()02f xf x 第 7 页 共 16 页 解得()1f x 或1()2f x；()1f x 时，由图可知()f x与1y 有三个交点，即此时方程有 3 个不同的实根，1()2f x 时，由图可知()f x与12y 有两个交点，即此时方程有 2 个不同的实根；综合可知，当32b 时，方程有 5 个不等实根；即 B 正确；对于 C，令()f xt，则方程 220fxbfxb等价成220bbtt；由图可知，若方程有 2 个不等实根，包括以下三种情况，方程220bbtt只有一根，且1,1.5t 则24(2)0bb，即22 3b 或22 3b 由 A 可知，22

12、 3b 时不合题意，舍去；当22 3b 时，此时(13)(1,1.5)t ，方程只有一根，不合题意；方程220bbtt只有一根，且0,0.5t，由知，此时也不符合题意；方程220bbtt有两个不相等的实数根，且121,1.5,1.5,tt或120,0.5,1.5,tt 或12,0,1.5tt 令2(2)bg ttbt 若121,1.5,1.5,tt，需满足(1)320175(1.5)042gbgb解得321710bb，不合题意；若120,0.5,1.5,tt，需满足(0)2093(0.5)042175(1.5)042gbgbgb，解得2321710bbb,即17210b 若12,0,1.5tt

13、，需满足(0)20175(1.5)042gbgb，解得21710bb，不合题意；综上可知，若方程有 2 个不等实根，则17210b；故 C 错误；对于 D，若方程有 6 个不等实根，则需满足方程220bbtt有两个不相等的实数根，且12,0.5,1t t；第 8 页 共 16 页 则需满足24(2)00.51293(0.5)042(1)320bbbgbgb解得22 322 3123232bbbbb 或 即可得322 32b；故 D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程 220fxbfxb根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范

14、围，进而确定参数的取值范围.三、填空题 13已知2tantan33ab，则cossinabab的值为_【答案】125 323【分析】根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解.【详解】cossinababcoscossinsinsincoscos sinababababcos cossinsincos cossincoscos sincos cosabababababab1tantantantanabab213323332 323 332 3 23 323 3 23 365 318427125 323.故答案为：125 323.14 已知函数()sin()0,|2f xx的最小正周期

15、是，且()f x的图象过点,112，则()f x的图象的对称中心坐标为_.【答案】,0()62kkZ【分析】根据周期确定的值，再由()f x的图象过点,112确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.【详解】由题意函数()sin()0,|2f xx的最小正周期是，可知22，第 9 页 共 16 页 再由()f x的图象过点,112，可得sin 211212f，则2,62kkZ,故2,3kkZ,所以由|2知：3，所以()sin 23f xx，令2()3xkkZ，可得()62kxk Z，所以()f x的图象的对称中心坐标为,0()62kkZ，故答案为：,0()62kkZ 15

16、如图，在Rt PBO中，90PBO，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点若圆弧AB等分POB的面积，且AOB弧度，则tan=_.【答案】12【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为212r，直角三角形POB中，tanPBr，POB，面积为1tan2rr，由题意得211222rrtanr，tan2，1tan2，故答案为12.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan与的关系，即可得出结论.16 对任意xR，一元二次不等式231108k

17、xkx都成立，则实数 k的取值范围为_ 【答案】1,12【分析】由二次不等式恒成立结合图象即可求解【详解】因为对任意xR，一元二次不等式231108kxkx都成立，所以210314108kkk ，第 10 页 共 16 页 解得112k，所以实数 k 的取值范围为1,12 四、解答题 17已知函数 1sin 2,R24f xxx.(1)求 f x的最小正周期；(2)求 f x的最大值和对应x的取值；(3)求 f x在,2 2的单调递增区间.【答案】(1)；(2)当,Z8xkk时，函数 f x有最大值12；(3)3,88.【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；（2）根据正弦函数的图象和性质

18、即得；（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.【详解】（1）因为函数 1sin 2,R24f xxx，所以 f x的最小正周期为22T；（2）因为 1sin 2,R24f xxx，由22,Z42xkk，可得,Z8xkk，当,Z8xkk时，函数 f x有最大值12；（3）由2 22,Z242kxkk，可得3,Z88kxkk，又,2 2 x，函数 f x的单增区间为3,88.18在平面直角坐标系中,角的顶点坐标原点,始边为x的非负半轴,终边经过点1,2.(1)求sintan的值;第 11 页 共 16 页(2)求73sincostan 2cos222sin 2tansin 的值.【答案】(1)4

19、55(2)55 【分析】(1)根据角终边经过点1,2,得出sin,cos,tan的值,即可求出sintan;(2)根据诱导公式进行化简,代入角的三角函数值即可.【详解】（1）解:由题知角终边经过点1,2,2222(1)25rxy,22 5sin55yr,15cos55xr,2tan21yx,sinta4 55n;（2）由(1)知5cos5,则原式 73sincostan 2cos222sin 2tansin sintansinsintansosicn cos 55.19已知定义在R上的奇函数 f x，在0,1x时，241xxf x 且 11ff(1)求 f x在1,1x 上的解析式；(2)若0

20、,1x，常数52,2，解关于x的不等式 1f x 第 12 页 共 16 页【答案】(1)2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxxf xxx (2)2240,log2 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数 f x在0,1x上的解析式，结合 11ff即可写出 f x在1,1x 上的解析式；（2）将不等式 1f x转化成4210 xx，再利用换元法以及52,2，解出2x的取值范围即可得不等式的解集.【详解】（1）f x是R上的奇函数且0,1x时，241xxf x，当1,0 x 时，224141xxxxf xfx ，又由于 f x为奇函数，00ff，00f，又 11ff，11ff，110

21、ff，综上所述，当1,1x 时，2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxxf xxx （2）0,1x时，241xxf x，当52,2时，12 1,5 2，1f x，即2141xx，所以4210 xx，设21,2xt，不等式变为210tt，52,2，240，224422t 而当52,2时，24，240且2412，又24y在52,2上单调递增，第 13 页 共 16 页 所以22255422224412222，所以24122，2412t，即24122x 所以2240log2x 综上可知，不等式 1f x的解集是2240,log2 20已知函数 2lnf xaaxR(1)若函数 ln233

22、F xf xa xa有唯一零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意实数3,14m，对任意12,41x xmm，恒有 12ln2f xf x成立，求正实数a的取值范围【答案】(1)451,2,32(2)128 2a a 【分析】（1）将函数 ln233F xf xa xa有唯一零点转化成方程222320a xax有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数 2lnf xaaxR为,41mm上的减函数，将 12ln2f xf x恒成立转化成24420amam在3,14m上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14上的最小值，使最小值大于等于 0 即可

23、求得正实数a的取值范围.【详解】（1）函数 2lnln233F xaa xax有唯一零点，即22330aa xax有唯一零点，即222320a xax有唯一零点，当2a 时，20 x，解得2x，符合题意；当2a 时，方程为一元二次方程，其22(23)8 2(25)aaa 当52a 时，0，方程有两个相等的实数根2x，符合题意；当52a 时，0，方程有两个不等的实数根12x，212xa；第 14 页 共 16 页 若12x 为的解，则2223302aaa，解得1a ；若212xa为的解，则212330122aaaaa，解得43a；要使有唯一实数解，则413a 综上，实数a的取值范围为451,2,

24、32（2）函数 2lnfxax，其中内部函数2yax在,41xmm上为减函数，外部函数lnyx为增函数，由复合函数性质知 2lnfxax为,41mm上的减函数，max2lnfxf mam，min241ln41fxfmam，不等式 12ln2f xf x转化为 12maxln2f xf x，即转化为22lnlnln241aamm，即222lnln224420224141aammamamaamm 令 2442g mamam，3,14m，即 min0g m 二次函数对称轴为411882amaa，由0a，开口向上（i）当407a时，11182a，函数 g m在3,14上单调递减，min14420g m

25、gaa，解得23a，不符合题意，舍去；（ii）当4475a时，3111482a，函数 g m在3 11,4 82a上单调递减，在11,182a上单调递增，min11082g mga，即224160aa，解得128 2128 2a，即4128 25a；（iii）当45a 时，113824a，函数 g m在3,14上单调递增，min39344204164g mgaa，解得23a，即45a；第 15 页 共 16 页 综上可知，正实数a的取值范围128 2a a 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意12,41x xmm，恒有 12ln2f xf x成立”进行等价转化，只需满足 12ma

26、xln2f xf x，再利用函数 f x的单调性，即可将问题转化成不等式24420amam在3,14m上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.21已知函数21()xf xaxb是奇函数，且 12f.(1)求 a，b 的值；(2)证明函数 f x在,1 上是增函数.【答案】(1)1a，0b(2)证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质可知 fxf x，可求出 b 的值，再利用 12f可求出 a的值.（2）利用定义法证明函数 f x的单调性即可.【详解】（1）函数21()xf xaxb是奇函数，fxf x，2211xxaxbaxb，axbaxb，0b，又 12f，22ab，1a.（2）由（1）得211()xf xxxx，任取1x，2,1x ，且12xx，121221121212121212111xxf xf xxxx xxxxxx xxxxx，121xx，120 xx，121x x，1210 x x ，120f xf x，即 12f xf x，函数 f x在,1 上是增函数.第 16 页 共 16 页