2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2022-2023 学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1抛物线212yx的准线方程是（）A=3y B3y C3x D3x 【答案】C【分析】根据2px 求解即可.【详解】由题意得：212p，解得：6p，故212yx的准线方程为：3x.故选：C 2已知数列 na满足111,2nnnaaaa，则3a（）A17 B16 C15 D14【答案】A【分析】根据递推公式逐步赋值即可求出【详解】因为111,2nnnaaaa，所以1223121113,1232723aaaaaa 故选：A 3已知等差数列 na的前 n项和为nS，4737aa，7926aa，则10S

2、（）A55 B60 C65 D75【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到1a，d，然后根据等差数列求和公式求和即可.【详解】设等差数列 na的公差为 d，4737aa，7926aa，1237ad，146ad，解得12a，1d，则11010 910652Sad.故选：C.第 2 页 共 13 页 4直线:20l xy与圆22:2220C xyxy交于 A，B 两点，则AB（）A2 B2 2 C2 D4【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离d，再利用弦长公式即得解.【详解】解：因为22:114Cxy，所以圆心 1,1C到直线:20l xy的距离1 1222d，故2 422 2A

3、B.故选：B 5若231,4a a成等差数列；2341,4b b b成等比数列，则323aab等于（）A12 B12 C14 D14【答案】A【分析】根据等差数列和等比数列的性质即可求解.【详解】因为231,4a a成等差数列，所以324 113aa，又2341,4b b b成等比数列，所以23241 44bbb，又223310bbb，所以32b，所以32312aab，故选：A.6双曲线22:11620 xyC上的点P到左焦点的距离为 9，则P到右焦点的距离为（）A5 B1 C1 或 17 D17【答案】D【分析】由双曲线的定义122PFPFa即可求得.【详解】因为双曲线方程为22:11620

4、 xyC，所以2222216,4,20,36,6aabcabc，第 3 页 共 13 页 由双曲线的定义122PFPFa得128PFPF，则128PFPF，又因为19PF，所以218PFPF，故21PF 或217PF，又因为2642PFca，故21PF 舍.故选：D 7已知数列 na满足1211nnaan，且110a，则na的最小值是（）A-15 B-14 C-11 D-6【答案】A【分析】根据已知条件得出最小项为6a，利用迭代的思想即可求得6a.【详解】1211nnaan，当5n时，10nnaa，当5n 时，10nnaa，12345678aaaaaaaa，显然na的最小值是6a.又1211n

5、naan，612132435465aaaaaaaaaaaa 109753115 ，即na的最小值是15.故选：A 8若双曲线22221(0,0)xyabab的实轴的两个端点与抛物线28xby的焦点是一个直角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）A54 B52 C2 D2【答案】B【分析】如图所示，抛物线的焦点为2(0)Cb,，双曲线的实轴端点为(,0),(,0),AaB a由题得2ba，化简即得解.【详解】解：如图所示，抛物线的焦点为2(0)Cb,，双曲线的实轴端点为(,0),(,0),AaB a 由题得2ACB，|ACBC，所以1|2OCAB，所以222222,4,4().babacaa 所

6、以2225545,1,.42caeee 故选：B 第 4 页 共 13 页 9等差数列 na的前n项和为nS，55a，728S，则202211kkS（）A20211011 B40442023 C20231012 D2【答案】B【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到12nn nS，进而利用裂项相消法求和.【详解】设等差数列的公差为d，则114572128adad，解得：111ad，故1111222nn nn nn nnadnS，故1211211nSn nnn，故202211111111404421212232022202320232023kkS.故选：B 10

7、数列 na的前n项和21122nnS，则数列22log3nna中的最大项为（）A14 B516 C38 D12【答案】C【分析】根据na与nS的关系，可得到233 2nna.进而求出232nnnb，通过求解11kkkkbbbb，解出正整数k，即可求得数列中的最大为338b.【详解】当1n 时，11113222aS.当2n时，由已知得，21122nnS，211231112222nnnS，则212323111223 222nnnnnnSSa.第 5 页 共 13 页 当1n 时，1133 22a，满足.所以，233 2nna.设22log3nnnab，则23223 2232log2log332nn

8、nnnnanb.设数列 nb中的第2k k 项最大，则应满足11kkkkbbbb，即111121323212222132325222kkkkkkkkkkkk，整理可得2 2321232 25kkkk 解得5722k，又*Nk，所以3k，332 33328b，又1312 1 3122bb .所以，数列22log3nna中的最大项为338b.故选：C.11设数列 na的通项公式为 121 cos12nnnan，其前n项和为nS，则2022S（）A4041 B5 C2021 D4045【答案】D【分析】由并项求和法求解，【详解】当43nk或41nk，*Nk 时，cos02n，43411kkaa；当4

9、2nk，*Nk 时，1os2cn，4224211184kakk ；当4nk，*Nk 时，cos12n，4241 182kakk 43424140kkkkaaaa，2022202020212022202120221(220221)(1)14045SSaaaa 故选：D 12已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P是它们的一个交点，且123FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则12e e的最小值为（）A32 B34 C3 D3【答案】A 第 6 页 共 13 页【分析】设椭圆的长半轴为1a，双曲线的实半轴长为2a，焦距为 2c，根据椭圆及双曲线的定义及余弦定理可得2212134ee，

10、然后利用基本不等式即得.【详解】如图，设椭圆的长半轴为1a，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PFPFa PFPFa，所以112212,PFaaPFaa，设122F Fc，因为123FPF，则 在12PFF中，由余弦定理得：222121212124()()2()()cos3caaaaaaaa，化简得：2221234aac，即2212134ee，从而有2222121213342eeee，整理得122 3342ee，（当且仅当1226,22ee时等号成立）故选：A.二、填空题 13若双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点为5,0F，两条渐近线互相垂直，则

11、2a _.【答案】252【分析】根据渐近线相互垂直可得ab，再根据焦点坐标可求2a.【详解】双曲线的渐近线方程为：byxa，因为两条渐近线互相垂直，故1bbaa 即ab，而双曲线的一个焦点坐标为5,0F，故2225ab，故2252a，第 7 页 共 13 页 故答案为：252.14记nS为等比数列 na的前n项和.若484,12SS，则16S_.【答案】60【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.【详解】设等比数列 na公比为q，当1q 时，418144812SaSa，无解；当1q 时，4148181411121aqSqaqSq，得41241qaq，611611(4)1 16601aqqS

12、.故答案为：60 15设nS为公比1q 的等比数列 na的前 n 项和，且1233,2,aa a成等差数列，则42SS_【答案】10【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出 q，则可由234211SqqqSq求值.【详解】由题意，111223213223344qqqqaaaaaa，解得1q（舍）或3q，2314211101aqqqSSaq.故答案为：10 16如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1BB的中点，则平面11AA B B与平面1AD E的夹角余弦值为_.第 8 页 共 13 页【答案】23【分析】以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，由向量法求面面角即可求

13、得余弦值【详解】以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为 2，E为1BB的中点，则有10,0,0,2,0,2,0,2,1ADE，设平面1AD E的法向量为1,2,0,2,0,2,1nx y zADAE，则有122020n ADxzn AEyz，令2z 得2,1,2n，平面11AA B B的法向量为 x轴，不妨取1,0,0m，设平面11AAB B与平面1AD E的夹角为，则有22cos1 33m nm n.故平面11AA B B与平面1AD E的夹角余弦值为23.故答案为：23 17已知抛物线220ypx p的焦点为F，准线为l，直线2pyk x交抛物线于A，B两点，过

14、点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边AFE的面积为36 3，则BEF的面积为_.【答案】12 3【分析】由题知12AE，进而根据60,12AFxAFAE得6,6 32pA，再根据焦半径公式得6p，再联立抛物线与直线AB的方程得 9,6 3,1,2 3AB，最后根据12BEFABSOFyy计算即可.【详解】解：如图，因为AFE为等边三角形，且面积为36 3，第 9 页 共 13 页 所以，2213sin6036 324AFESAEAE，解得12AE，因为60,12AFxAFAE，所以，6,6 32pA 因为由焦半径公式得：6122ApAExp，解得6p，所以，抛物线212yx，直线AB的方程为：

15、33yx.所以，联立方程23312yxyx得21090 xx，解得129,1xx，因为3122AApAExx，所以 9,6 3,1,2 3AB 所以1113 8 312 3222BEFEBABSOFyyOFyy 故答案为：12 3 18等比数列 na的首项为32，公比为12，前n项和为nS，则当nN时，1nnSS的最大值与最小值之和为_.【答案】14【解析】求出nS，讨论 n 的奇偶利用数列单调性求出nS的最值即可得出.【详解】依题意得，31122111212nnnS .当n为奇数时，112nnS 随着n的增大而减小，1131122nnSS，1nnSS随着nS的增大而增大，1506nnSS；第

16、 10 页 共 13 页 当n为偶数时，112nnS随着n的增大而增大，2311142nnSS，1nnSS随着nS的增大而增大，71012nnSS.因此1nnSS的最大值与最小值分别为56，712，其最大值与最小值之和为5716124.故答案为：14.【点睛】本题考查求数列的最值问题，解题的关键是讨论 n 的奇偶根据单调性求出范围.三、解答题 19 已知等比数列 na的公比和等差数列 nb的公差都为q，等比数列 na的首项为 2，且234,2,a aa成等差数列，等差数列 nb的首项为 1.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)求数列nnb a的前n项和nT.【答案】(1)2nna，21nb

17、n.(2)1623 2nnTn 【分析】（1）根据234,2,a aa成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求nT.【详解】（1）因为234,2,a aa成等差数列，所以32424aaa，故2322422qqq，整理得到：22211qqq，而210q，故2q.故1222nnna，1 2121nbnn.（2）21 2nnna bn，故21 23221 2nnTn ，所以23121 23221 2nnTn，第 11 页 共 13 页 所以211 2222221 2nnnTn 1118 12221 2623 212nnnnn ，所以1623 2nnTn

18、.20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为1,0F，离心率12e (1)求C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于,A B两点，若2AFFB，求l的方程【答案】(1)22143xy(2)5250 xy或5250 xy 【分析】（1）由题知1c，12cea，进而得2a，再根据222bac求解即可得答案；（2）设 1122,A x yB x y，进而根据向量关系得1212322xxyy，进而得22222222143322143xyxy，再解方程即可得答案.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为(0)c c，右焦点为1,0F，1c，又离心率12e，12cea，解得2a 22413bac，C

19、的方程为22143xy（2）解：设 1122,A x yB x y 11221,0,2,1,21,FAFFBxyxy，12121212xxyy，即1212322xxyy 第 12 页 共 13 页 22222222143322143xyxy，即2222222223412121636150 xyxyx，解得22743 58xy，设直线l的斜率为k，则3 5587214k，直线l的方程为512yx，即5250 xy或5250 xy 直线l的方程为5250 xy或5250 xy 21已知数列 na，nb的各项都是正数，nS是数列 na的前n项和，满足22210nnSnSn；数列 nb满足11ba，3

20、31ba，221*n nnb bbnN(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记22167,log,nnnnnnbnca abn为奇数为偶数，数列 nc的前2n项和为2nT，若不等式 24141nnnTn对一切N*n恒成立，求的取值范围【答案】(1)21nan，12nnb(2)15 【分析】（1）先根据条件算出nS，再算出na 和nb；（2）对于 nc 采用分组求和的方法，推出2nT 的解析式，再根据条件，计算不等式 24141nnnTn，确定 的范围.【详解】（1）依题意，根据22210nnSnSn，得210nnSnS，又0na，0nS，得2nSn；当2n时，221121nnnaSSnn

21、n；当1n 时，111aS适合上式，所以数列 na的通项公式21nan，所以111ba，3314ba，又因为221*n nnb bbnN，所以数列 nb为等比数列，第 13 页 共 13 页 所以22314bb qq，解得2q或2q （舍去），所以12nnb；（2）由题意可知，2nSn，12nnb；由已知22167,log,nnnnnnbnca abn为奇数为偶数可得167 2,2123,nnnncnnn n为奇数为偶数，设 nc的前2n项和中，奇数项的和为nP，偶数项的和为nQ，所以13521nnPcccc，2462nnQcccc，当n为奇数时，11167 22221 232321nnnnncnnnn，所以204264222135212222222251951394143nnnnPccccnn 0424141141nnnn，当n为偶数时，ncn，所以246222246212nnn nQccccnn n，由 24141nnnTn，得 441114141nnnn nnn，即 111nn n ，当n为偶数时，21nn对一切偶数成立，当2n 时，215nn 为最小值，所以5，当n为奇数时，21nn对一切奇数成立，当1n 时211nn 为最大值，所以此时1，故对一切*nN恒成立，则15 综上，21nan，12nnb，的取值范围是15.