2022-2023学年重庆市七校(江津中学、大足中学)高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

《2022-2023学年重庆市七校(江津中学、大足中学)高二上学期期末数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年重庆市七校(江津中学、大足中学)高二上学期期末数学试题(解析版).pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年重庆市七校（江津中学、大足中学、长寿中学、铜梁中学、合川中学、綦江中学、实验中学）高二上学期期末数学试题 一、单选题 1在平面直角坐标系中，直线10 x 的倾斜角是（）A0 B45 C90 D135【答案】C【分析】根据倾斜角的定义即可求解.【详解】直线10 x 即=1x的倾斜角为90，故选：C.2在等差数列 na中，3a、5a是方程2430 xx的两根，则4a的值为（）A2 B3 C2 D32【答案】A【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得4a的值.【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得35442aaa，因此，42a.故选：A.3已知直

2、线l的一个方向向量为(,1,3)ma，平面的一个法向量为(2,1)bn，下列结论正确的是（）A若l，则23mn.B若l，则23mn.C若l，则20mn.D若l，则20mn.【答案】D【分析】根据空间向量的运算，由l可得230a bmn，即可判断A,C,由l可得1321mn，求得,m n，判断B,D.【详解】直线 l的一个方向向量为(,1,3)ma，平面的一个法向量为(2,1)bn，对于 A，若l,则 230a bmn 23mn，故 A 错误；对于 B，若l，则 ab，即1321mn，解得6m ，13n，第 2 页 共 19 页 3723mn ，故 B 错误；对于 C，若l，则 230a bmn

3、 ，则23nm，2237722322()488mnmmm，故 C 错误；对于 D,若l，则 1321mn，解得6m ，13n，则20mn，故 D 正确，故选D 4北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2、3、5、8、12、17、23、则该数列的第22项为（）A231 B232 C233 D234【答案】C【分析】设二阶等差数列为 na，分析可知211

4、aa，322aa，222121aa，利用累加法可求得22a的值，即为所求.【详解】设二阶等差数列为 na，则211aa，322aa，222121aa，以上等式全加可得2211212212212312aa，故2212312231233aa.故选：C.5已知直线:40l xy上P02,y，过点P向圆221xy引切线，则切线长是（）A7 B6 C2 21 D2 2【答案】A【分析】由题意可求得02y，求得|2 2OP，继而根据直线和圆相切，求得切线长.【详解】由题意直线:40l xy上P02,y，可得02y，则22221，故2,2P在圆221xy外，过点P2,2向圆221xy引切线，由于22|222

5、 2OP ,则切线长是22|18 17OP,第 3 页 共 19 页 故选：A 6已知抛物线24Cyx：，F 为其焦点，若直线33：lyx与抛物线 C 在第一象限交于点 M，则|MF（）A1 B2 C3 D4【答案】D【分析】确定(1,0)F,2p，确定33：lyx过点(1,0)F，联立方程求得点 M 的横坐标，利用抛物线焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意得(1,0)F,2p，准线方程为=1x，当1x 时，330y，即33：lyx过点(1,0)F，联立2334yxyx，即231030 xx，解得3x 或13x，由于 M 在第一象限，且33：lyx斜率大于 0，故取 M 横坐标为 3，则|3

6、 142MpMFx，故选：D 7已知正项等比数列 na的前 n项和为nS，前 n 项积为nT，满足12311,238aaSa，则nT取最小值时n（）A4 B3 或 4 C4 或 5 D5【答案】B【分析】由题意求得等比数列的公比，确定等比数列的通项公式，即可得nT的表达式，结合二次函数性质，可得答案.【详解】正项等比数列 na中，设公比为,0q q，12311,238aaSa,第 4 页 共 19 页 即2111112388888qqq ，整理得220qq，解得2q或1q （舍），故141228nnna，故(7)32422222n nnnT，函数2(7)1(7)22x xyxx的图象的对称轴为

7、72x，故当3n或4n 时，(7)2n n取得最小值，由于函数2xy 是单调增函数，则(7)22n nnT也取得最小值，故选：B 8已知EF是棱长为 8 的正方体外接球的一条直径，点 M 在正方体的棱上运动，则ME MF的最小值为（）A48 B32 C16 D0【答案】C【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得ME MF的表达式2|48OM，确定|OM的最小值，即得答案.【详解】如图，EF是棱长为 8 的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，由正方体的特征可得其外接球半径为 2228884 32,设外接球球心为 O，则()()()()ME MFMOOEMOOFMO

8、OEMOOE 22222|(4 3)|48MOOEMOOM,由于点 M在正方体的棱上运动,故2|OM的最小值为球心 O和棱的中点连线的长，即为正方体面对角线的一半，为8 24 22，所以 ME MF 的最小值为2(4 2)4816，故选：C 第 5 页 共 19 页 二、多选题 9已知等差数列 na的前n项和nS，其公差0d，202220230aa，则下列结论正确的是（）A20220a BnS的最小值为2022S C40450a D40440S【答案】ABD【分析】利用等差数列的单调性可出202220230aa，可判断 AB 选项；利用等差数列的单调性可判断 C 选项；利用等差数列的求和公式可

9、判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，由于0d，则20222023aa，所以，2022202220232023202aaaa，所以，202220230aa，A 对；对于 B 选项，因为0d，则数列 na为单调递增数列，当2022n时，20220naa；当2023n 时，20230naa.所以，数列nS的最小值为2022S，B 对；对于 C 选项，由 B 选项可知，404520230aa，C 错；对于 D 选项，140444044202220234044202202aaSaa，D 对.故选：ABD.10在平面直角坐标系中，已知1,0A、0,1B、0,3C，光线从A点发出经线段BC反射与圆223

10、49xy相交，则相交弦长度可以是（）A3 B4 C5 D6【答案】BCD【分析】点A关于线段BC的对称点为1,0A，设反射光线交线段BC于点0,Nt，其中13t，直线A N交圆22349xy于E、F两点，求出直线A N的方程，求出圆心到直线A N距离平方的取值范围，再利用弦长公式可求得相交弦长的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】如下图所示：第 6 页 共 19 页 点A关于线段BC的对称点为1,0A，设反射光线交线段BC于点0,Nt，其中13t，直线A N交圆22349xy于E、F两点，直线A N的斜率为00 1tt，直线A N的方程为1yt x，即0txyt，圆心为3,4M，半径为3r，

11、圆心M到直线A N的距离为22444111ttdtt，则2221621216 111ttdttt，因为函数1ytt 在 1,3上单调递增，故11023tt，则2320,5d，所以，22 652 9,65EFd，故相交弦长度可以是4或5或6.故选：BCD.11如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为4，底面ABCD为直角梯形，,22,1ABCBADADPABC，点E为棱PD上一点，满足01PEPD，下列结论正确的是（）A平面PAC 平面PCD；B点P到直线CD的距离3；C当1=2时，异面直线CE与AB所成角的余弦值为2 55；第 7 页 共 19 页 D点 A

12、 到平面PCD的距离为52.【答案】ABC【分析】根据面面垂直的判定定理可判断 A;由 A 的结论，可推得CDPC，即可知点 P 到直线CD 的距离即为PC的长度，计算求得PC长，判断 B;采用平移法，作出异面直线CE与AB所成角，解三角形可求得CE与AB所成角的余弦值，判断 C；过点 A 作AHPC于点 H，证明AH 平面PCD，即AH为点 A 到平面PCD的距离，解三角形求得AH的长，判断 D.【详解】A 选项，因为PA 平面ABCD,CD 平面ABCD，AB平面ABCD，所以PACD，PAAB,故PBA 即为PB与底面ABCD所成的角,即 4PBA，故1ABPA，而2ABC,所以222A

13、CABBC,在直角梯形ABCD中，22(2 1)12CD ,则222ACCDAD,故ACCD，又因为,APACAAP AC，平面PAC，所以CD 平面PAC，因为CD 平面PCD，故平面PCD 平面PAC，即平面PAC 平面PCD，A 正确；B 选项：由 A 选项的证明过程可知：CD 平面PAC，因为PC平面PAC，所以CDPC，故点 P到直线CD 的距离即为PC的长度，因为PA 平面ABCD,AC平面ABCD,故PAAC,而22221,2,1(2)3PAPAACPCAC,B 正确；C 选项：当1=2时，12PEPD，即 E 为PD的中点，设F为PA的中点，连接,EF BF,则1,2EFAD

14、EFAD,第 8 页 共 19 页 而1,2BCAD BCAD,故,EFBC EFBC,故四边形EFBC为平行四边形，则CEBF,故异面直线CE与AB所成角即为,BF AB的夹角，在Rt FAB中，221115,1,1()2222AFPAABBF ,则12 5cos552ABFBABF,则异面直线CE与AB所成角的余弦值为2 55，C 正确；D 选项，过点 A作AHPC于点 H，由于CD 平面APC，AH平面APC，所以CDAH，因为,PCCDC PC CD平面PCD，所以AH 平面PCD，故AH 即为点 A到平面PCD的距离，因为PAAC，所以2633AP ACAHPC，即点 A到平面PCD

15、的距离为63，D 错误，故选：ABC 12已知椭圆 C：22221(0)xyabab，焦点1F（-c，0），2,0(0)F cc，下顶点为 B.过点1F的直线 l与曲线 C在第四象限交于点 M，且与圆2221:24Axcyc相切，若2120MFFF，则下列结论正确的是（）A椭圆 C上存在点 Q，使得12QFQF；B直线 l的斜率为33；C椭圆 C与圆 A外切；D椭圆的离心率为33.【答案】BD【分析】利用直线 l与圆 A 相切求出直线斜率，再利用2120MFFF，解得离心率，找到abc、之间的关系进而判断出 BD 正确.【详解】设直线 l的方程为(),0yk xc k，圆心(2,0)Ac到直线

16、l的距离2121kcdck，解得33k ，1230MF F，所以选项 B 正确；第 9 页 共 19 页 因为2120MFFF，所以212MFFF，1223FFF M，因为122FFc，22bF Ma，所以222233baccaa，即23230ee，又01e 解得33e，所以选项 D 正确；由33cea，则3ac，2bc，所以221tan12OFcF BOOBb，则245F BO，即2190F BF，又2121F QFF BF，故选项 A 错误；(2,0)Ac到椭圆左顶点的距离12232caccr，椭圆 C与圆 A相交，所以选项 C 错误；故选：BD.三、填空题 13已知直线1:210lxy

17、与2:4230lxy，则两直线间的距离为_.【答案】52【分析】将直线1:210lxy 化成：4220 xy，代入两平行线间的距离公式即可求解.【详解】直线1:210lxy 可化成：4220 xy，由两平行线间的距离公式可得：22325522 542d，故答案为：52.14已知在正方体1111ABCDABC D中，P、Q分别为棱11BC和AB的中点，且11122PQABADnAA，则实数 n 的值为_.【答案】1【分析】如图，利用向量的基本定理，在正方体1111ABCDABC D中，用1,AB AD AA来表示PQ，再第 10 页 共 19 页 利用表示方法唯一，对应相等即可.【详解】由正方体

18、的性质和P、Q分别为棱11BC和AB的中点可得：111111112222PQPBB BBQADAAABABADAA ，又11122PQABADnAA，可得1n.故答案为：1 15 若点12,F F依次为双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，且126FF，10,Bb，20,Bb.若双曲线 C上存在点 P，使得121B P B P，则实数 b 的取值范围为_.【答案】5,3)【分析】由题意可得2221xyb，结合点 P在双曲线上，可得222221cxba，利用双曲线的 x的范围可推出2219b ，再结合bc，即得答案.【详解】设双曲线上的点,P x y满足121B P B P，即(

19、,)(,)1x ybx yb ，即2221xyb，又2222222221,xybyxbaba，2222121bxba，即222221cxba，22,xaxa，且126FF，29c，则2229cxa，2219,5bb，又3bc，实数 b 的取值范围是 5,3)，故答案为：5,3).四、双空题 第 11 页 共 19 页 16 已知数列 na满足14a，121nnnana，则4a _，若数列(1)(2)nann的前n项和nS，则满足不等式14nS 的n的最小值为_.【答案】128 5【分析】由数列递推式结合等比数列定义可得nan是等比数列，即可求得其通项公式，进而可得(1)(2)nann的表达式，

20、利用裂项求和法可求得nS，判断其单调性，即可求得14nS 的n的最小值.【详解】在数列 na中，由14a，121nnnana可知0na，故得：121nnaann，而141a，于是得数列nan是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，则14 2nnan，即12nnan，所以数列 na的通项公式为12nnan，则4 1442=128a.121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21nnnnnnannnnnnnnnnn，则324354121222222(2222)324354121(nnnnnSnnnn 2222nn，由14nS 得：222142nn，即22162nn，令22

21、2nnbn，则12(2)13nnbnbn，即数列 nb是递增数列，由22162nn，得16nb，而67452322128112=16,=1663777bb，因此 5n，所以满足不等式14nS 的n的最小值为 5，故答案为：128;5 五、解答题 17已知圆M过点2,0A、0,2B，且圆心在直线yx上.(1)求圆M的标准方程；(2)若过点1,3Q的直线l交圆M于E、F两点，若弦EF的长为2 3，求直线l的方程.【答案】(1)224xy(2)1x 或4350 xy 第 12 页 共 19 页【分析】（1）设点,M a a，由AMBM结合两点间的距离公式求出a的值，可求得圆M的半径，进而可得出圆M的

22、方程；（2）利用勾股定理可计算出圆心M到直线l的距离，当直线l的斜率不存在时，直接验证即可；在直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出直线l的斜率，综合可得出直线l的方程.【详解】（1）解：设点,M a a，由AMBM可得222222aaaa，解得0a，故点0,0M，圆M的半径为2AM，故圆M的方程为224xy.（2）解：由勾股定理可知，圆心M到直线l的距离为22212EFd.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x，此时圆心M到直线l的距离为1，合乎题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为31yk x，即30kxyk，由点到直线的距离公式可得2311kdk，解得

23、43k，此时，直线l的方程为4313yx，即4350 xy.综上所述，直线l的方程为1x 或4350 xy.18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD 平面ABCD，2PDDA，1DC，M是BC的中点，Q是线段PM上靠近M的三等分点.(1)证明：DQAP；(2)求直线DQ与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）以D为原点，直线DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐第 13 页 共 19 页 标系Dxyz，计算出0DQ AP，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线DQ与平面PCD所成角的正弦值.【详解】（1）证明

24、：由题PD 平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线DA、DC、DP所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图：则2,0,0A、0,0,0D、0,1,0C、1,1,0M、00 2P,、2 2 2,3 3 3Q，2 2 2,3 3 3DQ，2,0,2AP ，22202033DQ AP ，DQAP.（2）解：由（1）可知平面PCD的一个法向量为1,0,0m，233cos,32 313m DQm DQm DQ，所以，直线DQ与平面PCD的夹角的正弦值为33.19已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，F到双曲线2213yx的渐近线的距离为2.(1)求抛物线C的

25、标准方程；(2)过动点,0A a作抛物线C的切线AB（斜率不为 0），切点为B，求线段AB的中点D的轨迹方程.【答案】(1)216xy(2)2180 xy x 【分析】（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出p，即可得到抛物线方程；（2）设过点,0A a与抛物线C相切的直线方程为,0yk xak，联立直线与抛物线方程，消元，第 14 页 共 19 页 由0得到4ak，即可求出B的坐标，从而表示出AB中点D的坐标，即可得到其轨迹方程.【详解】（1）解：双曲线2213yx的一条渐近线为30 xy，又抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F的坐标为0,2p，

26、由题可得：222p，解得8p，故抛物线方程为：216xy.（2）解：设过点,0A a与抛物线C相切的直线方程为,0yk xak，联立抛物线方程216xy可得216160 xkxka，则2216640kka，又0k，则4ak，所以8Bxk，24Byk，设点D的坐标为,x y，则206,222BBaxyxk yk，即6xk，代入22yk，可得218xy，又0k，故0 x；则点D的轨迹方程为：2180 xy x.20已知数列 na满足134Nnnaan，15a.(1)证明：数列2na 为等比数列；(2)数列 nb的前n项和为2nSn，求数列n na b的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析(2)1

27、21 332nnTnn 【分析】（1）由已知等式变形得出1232nnaa，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求得数列 na的通项公式，由11,1,2nnnS nbSSn求出数列 nb的通项公式，再利用错位相减法结合分组求和法可求得nT.【详解】（1）解：因为数列 na满足134Nnnaan，15a，则1232nnaa，且123a，所以，数列2na 是公比和首项均为3的等比数列.（2）解：由（1）可得123 33nnna，32nna，第 15 页 共 19 页 当1n 时，111bS，当2n时，221121nnnbSSnnn.11b 也满足21nbn，故对任意的Nn，21

28、nbn.所以，21 3221 32 21nnnna bnnn，设数列21 3nn的前n项和为nA，则1231 33 35 321 3nnAn ，23131 35 323 321 3nnnAnn ，得1231118 1 3232 33321 3321 31 3nnnnnAnn 12236nn，11 33nnAn，所以，1221 323nnnnTASnn.21如图，在三棱柱111ABCABC中，112,2ABACBCAAAC，17AB，点M为11BC的中点，点N是11C A上一点，且113C NNA.(1)求点 A到平面1ABC的距离；(2)求平面1BCC与平面AMN所成平面角的余弦值.【答案】(

29、1)2 9331(2)8 574287 【分析】（1）取AC的中点O，连接1,BO AO，以O为原点，,OB OC分别为,x y轴，Oz为z轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.第 16 页 共 19 页【详解】（1）取AC的中点O，连接1,BO AO，如图所示：因为112,2ABACBCAAAC，所以OBAC，1AOAC，所以22213OB，221211AO.以O为原点，,OB OC分别为,x y轴，Oz为z轴，建立空间直角坐标系，0,1,0A，3,0,0B，0,1,0C，设1,0,A xz，则2211AOxz，22137ABxz，解得32x ，12

30、z，即131,0,22A.1313,0,22AB，3,1,0BC ，设平面1ABC的法向量为111,mx y z，则1111131302230m ABxzm BCxy，令13x，解得113,9yz，即3,3,9m.0,2,0AC，设点 A 到平面1ABC的距离为d，则62 933193AC mdm（2）3,1,0BC ，1131,1,22CCAA，设平面1BCC的法向量为222,xny z，第 17 页 共 19 页 则2212223031022n BCxyn CCxyz ，令23x，解得223,3yz，即3,3,3n.设1333,Cx y z，则1133331,22ACxy z，0,2,0A

31、C，因为11ACAC，解得131,2,22C.设1444,B xy z，则1144431,22ABxyz，3,1,0AB，因为11ABAB，解得131,1,22B.因为点M为11BC的中点，所以3 10,2 2M，5 10,2 2AM.1111113113 3 1,1,0,2,0,422422 2ANAAA NAAAC .设平面AMN的法向量为555,px y z，则55555331022251022p ANxyzp AMyz，令51y，解得552 3,53xz ，即2 3,1,53p.168 574cos,28782213n pn pnp，因为平面1BCC与平面AMN所成平面角为锐角，所以平

32、面1BCC与平面AMN所成平面角的余弦值8 574287.22已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为 F，离心率为22，直线0ykx k与椭圆 C 交于点 A，B，2 2AFBF.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 A关于 x 轴的对称点为A，点 P是 C 上与 A，A不重合的动点，且直线 PA，PA与 x 轴分别第 18 页 共 19 页 交于 G，H两点，O为坐标原点，证明：OG OH为定值.【答案】(1)2212xy(2)证明见解析 【分析】（1）先由椭圆的定义和对称性求出a，再由椭圆离心率的定义求出b，从而可得到椭圆的标准方程；（2）设出点P，A的坐标，将两点的坐标代入

33、椭圆方程，作差化简，表示出直线PA的方程，将点G，H的坐标表示出来，然后计算OG OH的值即可.【详解】（1）设椭圆C的左焦点为F，连接AF，由椭圆的对称性可得BFAF，所以22 2AFBFAFAFa，得2a，因为椭圆C的离心率22222222abbea，所以1b，所以椭圆C的标准方程为2212xy.（2）设,P m n，00,A x y，则00,A xy，所以2212mn，220012xy，两式相减得22220012nyxm，直线PA的方程为00nyynxmmx，取0y，得00n xmxmny，所以00,0n xmGmny，同理可得00,0n xmHmny，所以0000n xmn xmOG OHmmnyny 22222000000222222222200022nxmnxmmn xmnymn xmynmmnmnynyny 所以OG OH为定值 2.【点睛】方法点睛：若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不影响结果的，也就是说是可以消去的，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）参数可能是点（如果设点的坐标里含有两个参数时，注意点的坐标要满足圆锥曲线方程）.第 19 页 共 19 页（2）参数可能是角.（3）参数可能是直线的斜率（这是最常用的，但是设斜率时要考虑斜率是否存在）.解决定值问题的常见思路：先设参数，然后用参数来表示要证明为定值的式子，最后消去参数.