2022-2023学年河南省南阳市第五中学校高二上学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 23 页 2022-2023 学年河南省南阳市第五中学校高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1将直线 l沿 x轴正方向平移 2 个单位，再沿 y 轴负方向平移 3 个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（）A32 B4 C1 D12【答案】A【分析】设直线 l上任意一点00,P x y，再根据题意可得2002,3P xy也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线 l上任意一点00,P x y，将直线 l沿 x轴正方向平移 2 个单位，则 P 点移动后为1002,P xy，再沿 y轴负方向平移 3 个单位，则1P点移动后为2002,3

2、P xy 2,P P都在直线 l上，直线 l的斜率00003322kyyxx 故选：A 2已知圆221:(1)(2)9Oxy，圆2224101:2Oxxyy，则这两个圆的位置关系为（）A外离 B外切 C相交 D内含【答案】C【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.【详解】圆1O的圆心为1,2，半径为13r，2242110 xyxy可化为222214xy，圆2O的圆心为2,1，半径为24r，圆心距22123110OO,21211,7,1107rrrr，所以两个圆的位置关系是相交.故选：C 3从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到

3、lgalgb 的不同值的个数是（）第 2 页 共 23 页 A9 B10 C18 D20【答案】C【详解】首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有2520A 种排法，因为39 13,13 39，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b，共可得到lglgab的不同值的个数是：20-2=18,选 C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.4已知空间中三点(0,1

4、,0)A，(2,2,0)B，(1,3,1)C，则（）AAB与AC是共线向量 B与向量AB方向相同的单位向量是2 55,055 CAB与BC夹角的余弦值是5511 D平面ABC的一个法向量是(1,2,5)【答案】D【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角的定义，依次计算，即可得到答案；【详解】对 A，(2,1,0),(1,2,1)ABAC，又不存在实数，使得ABAC，AB与AC不是共线向量，故 A 错误；对 B，|5AB，与向量AB方向相同的单位向量是2 55,055，故B 错误；对 C，(3,1,1)BC ，6 155cos,11|511AB BCAB BCABBC ，故 C 错误

5、；对 D，设(,)nx y z为面ABC的一个法向量，0,0n ABn AC，2020 xyxyz，取1,2,5xyz，平面ABC的一个法向量是(1,2,5)，故 D 正确；故选：D 5某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验 3 次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3 次为止.设某学生一次实验成功的概率为(01)pp，实验次数为随机变量X，若X的数学期望 1.56E X，则p的取值范围是（）A0,0.6 B0,0.8 C0.6,1 D0.8,1 第 3 页 共 23 页【答案】A【分析】先得到 X的所有可能取值为 1,2,3，再求出相应概率，计算得到 X的数学期望，得到不等式后求解即可

6、.【详解】X 的所有可能取值为 1,2,3，1P Xp，21P Xp p，23(1)P Xp，由 221213(1)331.56E Xpp pppp ，解得0.6p 或2.4p，又因为01p，所以00.6p.故选：A.6已知椭圆22:143xyC，过点11,2P的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（）A3220 xy B3240 xy C3450 xy D3410 xy 【答案】B【分析】设点11,A x y、22,B xy，利用点差法可求得直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程.【详解】设点11,A x y、22,B xy，由中点坐标公式可得1212121

7、22xxyy，所以121221xxyy，因为22112222143143xyxy，两式作差得22221212043xxyy，即2212221234yyxx，即121212121324AByyyykxxxx，所以，32ABk，因此，直线AB的方程为13122yx，即3240 xy.故选：B.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后第 4 页 共 23 页 作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.7已知

8、1F，2F分别为双曲线 C：222210,0 xyabab左、右焦点，过点1F的直线与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M，N两点，且1221sin2sin3NFFNF F，220MFMNNF，则双曲线 C的离心率是（）A5 B52 C7 D72【答案】C【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得2MF N是正三角形，从而12120FMF在12MF F中，由余弦定理即可得到答案.【详解】由1221sin2sin3NFFNF F，结合正弦定理得1223NFNF，因为122NFNFa，所以16NFa，24NFa 又220MFMNNF，即220MFMNMFMN，则2220MFMN，所以2MFMN 设2MF

9、MNm，则16MFam，又212MFMFa，则62mama，解得4ma，所以24aMFMN，12MFa，所以2MF N是正三角形，从而12120FMF 在12MF F中，由2221212122cos120FFMFMFMFMF，得 222224224cos120caaaa，得227ca，所以7e 故选：C 8某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A72 B120 C144 D168【答案】B【详解】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共3333(2)AA种，第二类是歌舞类用三个隔开共31223222()A C A A种，所以

10、N=3333(2)AA+31223222()A C A A=120.种选 B.第 5 页 共 23 页 9劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地心远农场（如图 1）现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱 OA的顶端 A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图 2 所示现要求水流最高点 B 离地面 4m，点 B到管柱 OA所在直线的距离为 3m，且水流落在地面上以 O为圆心，以 7m 为半径的圆上，则管柱 OA的高度为（）A5m

11、3 B7m4 C9m4 D7m3【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22xpy(0)p，求出点C的坐标，代入抛物线方程，即可求得p，再将点03,Ay代入抛物线方程中，求出0y，即可求得结论【详解】以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，记 BMOC 且垂足为 M，ADy轴且垂足为 D，设抛物线方程为220 xpy p，由题意可知：3AD，4BM，7OC，所以MCOCAD734，所以4,4C，代入抛物线方程可得 1624p ，所以2p，所以抛物线方程为24xy，又因为03,Ay在抛物线上，所以094y，解得094y ，所以94BD，所以97444OADMBMBD，所以 OA

12、的高度为7m4，故选：B 第 6 页 共 23 页 10已知过抛物线 C：24yx的焦点 F的直线交抛物线 C于 P，Q两点，交圆2220 xyx于 M，N两点，其中 P，M位于第一象限，则14PMQN的值不可能为（）A2 3 B3 3 C4 D3 2【答案】A【分析】设出直线 PQ 方程并与抛物线方程联立，利用根与系数的关系和抛物线定义结合均值不等式即可求出14PMQN的范围【详解】抛物线 C：24yx的焦点(1,0)F，准线=1x，圆2211xy的圆心1,0，半径 1，设1122(,),(,)P x yQ xy，依题意，设直线 PQ方程为：1xty，由214xtyyx，消去 x 并整理得：

13、2440yty，则有124y y ，221212144yyx x，11|1 1PMPFMFxx ，同理2|QNx，于是得121214141424PMQNxxxx，（当且仅当1214xx，即2142xx时取等号）所以14PMQN的值只要不小于 4 即可取到，则选项 A 不可能取到，选项 B、C，D 均可能取到 故选：A 11如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E，F，G分别为线段BC，1CC，1BB上的动点（不含端点），则错误的是（）A存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等 第 7 页 共 23 页 B当G为中点时，存在点E，F使直线1AG与平面AEF平行 C当E，F为中点

14、时，平面AEF截正方体所得的截面面积为98 D异面直线1DD与AF成角可以为4【答案】D【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择【详解】对 A：连接GC，取其中点为H，如下所示：要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，显然存在这样的点G满足要求，故 A 正确 对 B：当G为1B B中点时，存在,E F分别为1,BC C C的中点，满足1/AG平面AEF，证明如下：取11BC的中点为M，连接11,AM MG ME BC，如下所示：易得1/A AME，1A A

15、ME，所以四边形1A AEM是平行四边形，所以1/AMAE，又AE 平面1,AEF AM 平面AEF，故1/AM平面AEF；又易得1/MG BCEF，EF 平面,AEF MG 平面AEF，故/MG平面AEF；又11,AMMGM AM MG平面1AMG，故平面1/AMG平面AEF，又1AG 平面1AMG，故1/AG平面AEF，故 B 正确；对 C：连接11,AD D F AE，如下所示：第 8 页 共 23 页 因为/EF1/BC1AD，故面1AEFD即为平面AEF截正方体所得截面；又152D FAE，故该截面为等腰梯形，又22EF，12AD，故截面面积221111123 292222248AD

16、EFSEFADD F，故 C 正确；对 D：因为1/D D1A A，故1DD与AF的夹角即为1A A与AF的夹角1A AF（或其补角），又当F与C重合时，1A AF取得最大值，为2；当F与点1C重合时，1A AF取得最小值，设其为，则111tan2ACA A，故4；又点F不能与1,C C重合，故1,24A AF，故 D 错误；故选：D 二、多选题 12已知某批零件的长度误差X服从正态分布2(,)N，其密度函数22()2,1()e2xx 的曲线如图所示，若从中随机取一件，则下列结论正确的是（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6826P，(22)0.9544P，(33)0.997

17、4P)A3 B长度误差落在()3,3内的概率为 0.6826 C长度误差落在(3,6)内的概率为 0.1359 第 9 页 共 23 页 D长度误差落在(3,9)内的概率为 0.1599【答案】ABC【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可【详解】由图中密度函数解析式，可得3，A 选项正确；又由图像可知0，则长度误差落在()3,3内的概率为 33()0.6826PXPX，B 选项正确；长度误差落在(3,6)内的概率为 136(66)(33)2PXPXPX 1(22)()2PXPX 1(0.95440.6826)0.13592，C 选项正确；长度误差落在(3,9)内的概率为

18、 139(99)(33)2PXPXPX 1(33)()2PXPX1(0.99740.6826)0.15742，D 选项错误；故选：ABC.三、填空题 13两平行直线3210 xy 和6430 xy间的距离是_【答案】5 1326#51326【分析】根据给定条件，利用平行间距离公式计算作答.【详解】直线3210 xy 化为：6420 xy，所以直线3210 xy 和6430 xy间的距离是22|23|5 13266(4)d .故答案为：5 1326 14排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“

19、五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为_【答案】1781【分析】乙队获胜可分为乙队以3:0或3:1或3:2的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起第 10 页 共 23 页 来即可【详解】乙队获胜可分为乙队以3:0或3:1或3:2的比分获胜 乙队以3:0获胜，即乙队三场全胜，概率为311327；乙队以3:1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为2231212C33327；乙队以3:2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为22241218C33381 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为1281727278181 故答案为：1781 15如图，椭圆的中心在坐标

20、原点，1 A，2A，1B，2B分别为椭圆的左、右、下、上顶点，2F为其右焦点，直线12 B F与22A B交于点 P，若12B PA为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为_ 【答案】15,12 【分析】根据12B PA为钝角转化为22210B AF B，从而得到关于a，c的不等式，即可求解.【详解】设椭圆的标准方程为222210 xyabab，2,0F c 由题意，得2,0A a，10,Bb，20,Bb，则22,B Aab，21,F Bcb 因为12B PA为向量22B A与21F B的夹角，且12B PA为钝角，所以22210B AF B，所以20bac 又222bac，所以220aacc，即

21、210ee，解得152e 或152e，第 11 页 共 23 页 因为0,1e，所以1512e，故答案为：15,12 四、双空题 16已知曲线C的方程是2214xyxyxy，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是_命题（填“真”或“假”），若点,M m n在曲线C上，则2mn的最大值为_【答案】真 32 2#2 23【分析】利用对称性的定义可判断原命题的真假，化简曲线C在第一象限内图象对应的方程，利用参数方程法结合三角恒等变换可求得2mn的最大值.【详解】在曲线C上任取一点,P x y，则该点关于原点的对称点为1,Pxy，因为2222144xxxxxxyyyyyy ，即点1P在曲线

22、C上，点P关于x轴的对称点为2,P xy，则2222144xxxxxxyyyyyy ，即点2P在曲线C上，因此，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是真命题，同理可知，曲线C关于y轴对称，当0 x 且0y 时，曲线C的方程为221114xy，由题意可知，曲线221114xy可将椭圆2214xy按照1,1a 平移得到，作出曲线C的图形如下图所示：第 12 页 共 23 页 设2zxy，当2mn取最大值时，则直线2zxy在y轴上的截距最大，此时点M在第一象限，设点1 2cos,1 sinM，由12cos01 sin0，可得1cos2sin1 ，不妨取223，则212cos22sin32

23、 2sin4mn，因为223，则114412，故当42时，2mn取最大值32 2.故答案为：真；32 2.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 五、解答题 17 如图，已知直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，60BAD，1ABAA，E是1AA的中点，F是BC的中点.第 13 页 共 23 页 (1)求异面直线1D E和1DC所成角的余弦值；(2)求直线1D E与

24、平面1DFC所成角的正弦值.【答案】(1)105(2)35 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；（2）由（1）中的坐标系先求出平面1DFC的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】（1）解：连结AC BD，使ACBDO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，以O为原点，OA OB、的方向为x轴y轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.设12ABAA，由60BAD，底面ABCD是菱形，所以2BD.所以2222213AOABOB 01 0D，13 0 2C，0 1 0B，3

25、0 0C，101 2D，第 14 页 共 23 页 F是BC的中点，E是1AA的中点 31022F，3 0 1E，13 1 2DC，13 11D E，设异面直线1D E和1DC所成角为，则 11222222331 12110coscos5312311DC D E ，.异面直线1D E和AF所成角的余弦值为105.（2）解：由（1）可得13 1 2DC ，33022DF，设平面1DFC的法向量为nx y z，则 133022320n DFxyn DCxyz ，令3x，得3 1 1n，由（1）知13 11D E，设直线1D E与平面1DFC所成角为，则 1222222331 1(1)13sinco

26、s531(1)311D E n ，.直线1D E与平面1DFC所成角的正弦值为35.18已知 *23nf xxnN展开式的二项式系数和为 512，2012111nnf xaaxaxax(1)求2a的值；(2)求系数绝对值即na最大的项(3)设 20206fkr，其中,k rN，且6r，求r的值【答案】(1)144(2)65376(1)x 第 15 页 共 23 页(3)=5r 【分析】（1）先根据二项式系数和求出n，然后利用换元1tx后进行处理；（2）先表示出系数绝对值的表达式，通过研究该表达式的单调性进行处理；（3）利用二项展开式将 2020f凑出含有6的因式，结合带余除法求解.【详解】（1

27、）由二项展开式的系数和为512，于是2512n，解得9n，设1tx，于是 012312nnnnf xxtaata t ，根据二项展开式的通项919C(1)(2)rrrrTt，为求2a，令2r，则22729C 2(1)144a （2）展开式中第1r 项的绝对值为19C 2(09,)rrrTrrZ，记9C 2rrrb，119192 9C2C 21rrrrrrrbbr，令11rrbb，解得173r，即0,1,2,3,4,5r 时，11rrbb；令11rrbb，解得173r，即6,7,8r 时，11rrbb.于是9876bbbb，且610bbb，即6b最大，故原式中6a最大，最大项为63669C(1)

28、(2(1)5376(1)xx （3）99001889999920202 2032036 120C 36C 36C 36C20f 00188999C 36C 36C 3619，因为09188999C 36C 36C 36每一项都含有36，故能被6整除，记09188999C 36C 36C 366196(4)5tt，而 20206fkr，根据带余除法可知，=5r.19某班级 50 名学生的考试成绩分数 X 分布在区间50,100)内，设考试分数 X 的分布频率是()f x且 0.4,1010(1),5,6,7,10,1010(1),8,95nnxnnf xnbnxnn，考试成绩采用“5 分制”，规

29、定分数在50,60)的成绩记为 1 分，分数在60,70)的成绩记为 2 分，分数在70,80)的成绩记为 3 分，分数在80,90)的成绩记为 4 分，分数在90,100)的成绩记为 5 分现从这 50 名学生中采用分层抽样的方法，从成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中随机抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，记者人的乘积之和为（将频率视为概率）(1)求 b的值，并估计该班的考试平均分数；(2)求(7)P；(3)求的分布列与数学期望.【答案】(1)1.9b；76 第 16 页 共 23 页(2)310(3)分布列见解析；期望为 7 【分析】（1）根据频率和为 1 计算出b的值；利

30、用各区间的中位数及频率可估算出平均数；（2）先计算成绩为 1 分、2 分、3 分的频率，由此确定出成绩为 1 分、2 分、3 分的学生人数，再分析的可取值，即可求解；（3）由（2）根据的可取值，然后计算出对应的概率，由此可求得布列，从而可求数学期望【详解】（1）解：因为 0.4,1010(1),5,6,7,10,1010(1),8,95nnxnnf xnbnxnn，所以567890.40.40.4110101055bb ，所以1.9b；考试分数在50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)内的频率分别是 0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，销售量的平均数为55 0

31、.1 65 0.275 0.385 0.395 0.176（分)；（2）解：成绩为 1 分的频率为0.50.40.1，成绩为 2 分的频率为0.60.40.2，成绩为 3 分的频率为0.70.40.3，所以成绩为 1 分的学生抽取0.1610.1 0.20.3人，成绩为 2 分的学生抽取0.2620.10.20.3人，成绩为 3 分的学生抽取0.3630.10.20.3人，122113233366C CC C3(7)CC10P；（3）解：由（2）知，的可取值为：5，6，7，8，9，121236C C1(5)C20P，11112336C C C3(6)C10P，122113233366C CC

32、C3(7)CC10P，122336C C3(8)C10P，第 17 页 共 23 页 3336C1(9)C20P，所以的分布列为：5 6 7 8 9 P 120 310 310 310 120 所以 133315678972010101020E .20如图（1）图所示，在直角梯形 ABCD中，/AD BC，2BAD，1ABBC，2AD，E 是AD的中点，O是 AC与 BE 的交点将ABE沿 BE折起到1ABE的位置，如图（2）所示 (1)证明:CD 平面1AOC；(2)若平面1ABE 平面 BCDE，求平面1ABC与平面1ACD所成锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见详解(2)63 【分析】（

33、1）先证BE 平面1AOC，又/CDBE，得CD 平面1AOC；（2）由已知得1AOC为二面角1ABEC的平面角，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC的法向量1111,nx y z，平面1ACD的法向量2222,nxyz，面1ABC与面1ACD锐二面角为，由1226coscos,323n n，即得平面1ABC与平面1ACD锐二面角的余弦值.【详解】（1）在图（1）中，因为1ABBC，2AD，E是AD的中点，2BAD，第 18 页 共 23 页 所以BEAC 则在图（2）中，1BEOA，BEOC，1OAOCO，1OA平面1AOC，OC 平面1AOC，从而BE 平面1AOC，又/

34、CD BE，所以CD 平面1AOC（2）由已知，平面1ABE 平面BCDE，平面1ABE平面BCDEBE，又由（1）知，1BEOA，BEOC，所以1AOC为二面角1ABEC的平面角，所以12AOC 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为111ABAEBCED，/BC ED，则2BE，122OBOEOCOA，所以2,0,02B，2,0,02E，120,0,2A，20,02C，得22,022BC，1220,22AC，2,0,0CDBE 设平面1ABC的法向量1111,nx y z，平面1ACD的法向量2222,nxyz，锐二面角为，则11100n BCnAC，得11112202222022xy

35、yz，取11,1,1n，第 19 页 共 23 页 22100nCDnAC，得2222022022xyz，取20,1,1n，从而1226cos,332n n，所以，126cos=cos,3n n 即平面1ABC与平面1ACD所成锐二面角的余弦值为63 21从唐宫夜宴火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取 200 人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在5,55内），并按照5,15)，15,25)，25,35)，35,45)，45,55分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所

36、示.年龄/岁 5,15)15,25)25,35)35,45)45,55 频数 10 60 50 45 35 (1)估计粉丝年龄的平均数x及游客年龄的中位数0 x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取 2 人，记这 4 人中年龄在25,35)内的人数为X，求X的分布列与期望.【答案】(1)28x，031x (2)分布列见解析，数学期望910 【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表结合平均数和中位数的定义求解即可；（2）利用二项分布概率公式求分布列，进而求数学期望即可.【详解】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知1

37、0 0.1 20 0.430 0.240 0.250 0.128x，由游客年龄频数分布表知02535x，第 20 页 共 23 页 所以0251060500.520020010200 x，解得031x.（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取 1 人，该粉丝年龄在25,35内的概率为15，从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取 1 人，该游客年龄在25,35内的概率为14，由题可得X的所有可能取值为 0，1，2，3，4，且2200221190C1C15425P X，2210012222111111211C1C1C1C155454450P X，22222002112222

38、2211111111732CC1C1CC1C154545544400P X，221221222211111173C1CCC1554544200P X，2222221114CC54400P X，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 925 2150 73400 7200 1400 9217371901234255040020040010E X .22 设点00,P x y为抛物线C：22ypx（0p）的动点，F是抛物线的焦点，当01x 时，32PF.(1)求抛物线C的方程；(2)当P在第一象限且02x时，过P作斜率为1k，2k的两条直线1l，2l，分别交抛物线于点A，B，且122kk，证

39、明：直线AB恒过定点，并求该定点的坐标；(3)是否存在定圆M：221xmy，使得过曲线C上任意一点P作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)22yx；(2)定点为1,2，详见解析；第 21 页 共 23 页(3)32m ，证明见解析.【分析】（1）由题可得0322px，进而即得；（2）由题可得2,2P，设:AB xtyn，联立抛物线方程，利用韦达定理法结合条件可得1 2nt，进而即得；（3）取0,0P，结合条件可得32m，然后证明对任意的点P，直线CD也与圆M相切，设2,02aPaa，切线为22axb y

40、a，利用韦达定理法结合条件求出直线CD方程，计算圆心到直线的距离即得.【详解】（1）当01x 时，32PF，0322px，所以1p，即抛物线C的方程为22yx；（2）P在第一象限且02x时，2,2P，设:AB xtyn，1122,A x yB x y，由22yxxtyn，可得2220ytyn，则121222yyty yn，11121112222222yxkyyy，同理2222ky，又122kk 12121222224242yyy yyy，即1212220y yyy，22 220nt，即1 2nt，所以:12AB xtyt，即12xt y 所以直线AB恒过定点1,2；第 22 页 共 23 页（

41、3）取0,0P，设221xmy的切线为ykx，则211mkk，即2211km，把ykx代入22yx，解得222222,CDkkkk，直线22:CD xk，若直线与圆M：221xmy相切，则221mk，又2211km，解得32m 或12m （舍去），下面证明过曲线C上任意一点P（除原点）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切，设2,02aPaa，切线为22axb ya，22,22CDCDyyCyDy，由2232211aabb，可得22222313104aaba ab，222121 2223134,11aa abbbbaa，由2222yxaxb ya，可得2222

42、0ybybaa，所以22221122220,220CCDDyb ybaayb yb aa，212Caybaa，即12Cyba，同理可得22Dyba，故22121222,2,222babaCbaDba，所以直线222111122211:2222babaaCD ybaxxbbaa，所以圆心3,02到直线CD的距离为 第 23 页 共 23 页 22221111222221332122222221112babaabaaabaadaaa，又2222211313104aaba ab，222222112321311411aaba abada，综上，可得过曲线C上任意一点P，存在实数32m，使直线CD与圆M相切.