2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题 一、单选题 1小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有 3 把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有 4 把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有 3 把（每把颜色不同），管理员要求他从这 10 把钥匙中取 3 把，则他能到达工作室的不同的取法共有（）A10 种 B24 种 C36 种 D120 种【答案】C【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，进入第一重门有 3 种取法，进入第二重门有 4 种取法，进入第三重门有 3

2、种取法，由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有3 4 336 种.故选：C 2已知函数 f x与 g x的部分图像如图所示，则（）A 101gf B 11fg C 101fg D 33fg【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，f x与 g x在区间1,3上单调递增，所以 10g，10f .在区间1,3上，g x的图像比 f x的图像更陡峭，所以 11fg，33fg.故选：B 352a ab的展开式中33a b的系数为（）A80 B80 C40 D40 第 2 页 共 14 页【答案】B【分析】先求得52ab的展开式中23a b的系数，即可得到52a ab的展开式中33

3、a b的系数【详解】因为52ab的展开式的通项公式为515C2rrrrTab 令3r，则展开式中23a b的系数为335C280，所以52a ab的展开式中33a b的系数为80.故选：B 4用 0，2，4，5，6，8 组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（）A120 个 B192 个 C252 个 D300 个【答案】C【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.【详解】若这个偶数的个位数是 0，则有3560A 个；若这个偶数的个位数不是 0，则有112444192C C A 个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为60 192252；故选：C.5若函数 4220f xxmx xx为增

4、函数，则 m的取值范围是（）A0,B4,C6,D8,【答案】D【分析】利用导函数去求 m的取值范围【详解】依题意可得，33440fxxmx，即3344mxx对0,x恒成立.由0 x，得33442 168xx（当且仅当3344xx，即1x 时，等号成立），所以8m，即8m.故选：D 6将 7 名志愿者分配到 4 个社区做垃圾分类宣传，每个社区至少分配 1 名至多分配 2名志愿者，则志愿者的分配方法种数为（）A2520 B2640 C4200 D15120【答案】A【分析】先将 7 名志愿者分成 4 份，再全排列即可.【详解】依题意可得，4 个社区志愿者分配的人数分别为 1，2，2，2，故志愿者的

5、分配第 3 页 共 14 页 方法种数为122224764433 2520 C C C CAA.故选：A 71224111xxxx的展开式中常数项为（）A512C B612C C513C D613C【答案】C【分析】先写出121xx的通项为1rT，可得12411rTxx，即可求出常数项对应的r值，即可求出常数项【详解】121xx的通项为1212 2112121CCrrrrrrTxxx，令1222r或1224r，则=5r或4r，故所求常数项为455121213CCC，故选：C 8定义在0,8上的函数 fx的导函数为fx，且 2xfxf x，112f，则不等式 24f xx的解集为（）A1,82

6、B1,2 C0,1 D10,2【答案】A【分析】构造 2f xg xx并利用导数研究在0,8上的单调性，再将不等式化为 12g xg，结合单调性求解集.【详解】设 2f xg xx，08x，则 320 xfxf xgxx，则 g x在0,8上单调递减，由 24f xx，得：24f xx，而21124212fg，所以 12g xg，则182x 故不等式 24f xx的解集为1,82 故选：A 第 4 页 共 14 页 二、多选题 9关于77x的展开式，下列判断正确的是()A展开式共有 8 项 B展开式的各二项式系数的和为 128 C展开式的第 7 项的二项式系数为 49 D展开式的各项系数的和为

7、76【答案】ABD【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可【详解】展开式共有7 18 项，故 A 正确 展开式的各二项式系数的和为72128，故 B 正确 展开式的第 7 项的二项式系数为6177CC7，故 C 错误 展开式的各项系数的和为777 16，故 D 正确 故选：ABD 10生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（）A若瑜伽被安排在周一和周六，则共有 48 种不同的安排方法 B若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有 216 种不同的安排方法 C若周一不练习

8、瑜伽，周三爬山.则共有 36 种不同的安排方法 D若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有 240 种不同的安排方法【答案】BCD【分析】对于 A，安排剩下的四种运动项目即可；对于 B，利用间接法可求解；对于 C，先排特殊的项目；对于 D，先排其他四项运动，再插空可求解.【详解】对于 A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有4424A 种不同的安排方法，故A 不正确；对于 B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为422644216AA A，故 B 正确 对于 C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有234136AC种不同的安排方法，故 C 正确；对于 D，若瑜伽不被安排

9、在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有44A种不同的安排方法，再从 5 个空位里插入 2 个安排练习瑜伽，故共有4245240A C 种不同的安排方法，第 5 页 共 14 页 故 D 正确.故选：BCD 11将 12 支完全相同的圆珠笔分给 4 位小朋友.（）A若每位小朋友至少分得 1 支，则有411C种分法 B若每位小朋友至少分得 1 支，则有311C种分法 C若每位小朋友至少分得 2 支，则有37C种分法 D若每位小朋友至少分得 2 支，则有38C种分法【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得 1 支的分法总数判断选项 AB；求得每位小朋友至少分得 2 支的分法总数判断选项

10、CD.【详解】若每位小朋友至少分得 1 支，则由隔板法可得，不同的分法种数为311C.则选项 A 判断错误；选项 B 判断正确；若每位小朋友至少分得 2 支，则每位小朋友可先各发 1 支，剩下 8 支，再由隔板法可得，不同的分法种数为37C.则选项 C 判断正确；选项 D 判断错误.故选：BC 12若00000,limxfxxyxyfx 存在，则称0000,limf xx yf xyx为二元函数,zf x y在点00,x y处对 x 的偏导数，记为00,xfx y.已知二元函数322,0,2f x yxx yyxy，434,40,2g x yxxyxy，则（）A1,11xf B关于 t的函数1

11、,18xg C,3xft的最小值为3 D关于 t的函数,xgt t有极小值【答案】BCD【分析】根据所给的定义分别得到00,xfx y、00,xgxy后就容易求解了.【详解】对于 A、C，因为322,f x yxx yy，所以00002000000,lim32xxf xx yf xyfxyxy xx，则1,15xf.因为22,336313xftttt，所以当1t 时，,3xft取得最小值，且最小值为3.故 A 错误，C 正确.第 6 页 共 14 页 对于 B、D，因为434,4g x yxxy，所以00003200000,lim412xxg xx yg xygxyxxx，则1,18xg.32

12、,4120 xgt tttt，令 324120g xxxx，21224gxxx.当02x时 0gx；当2x 时 0g x.所以 g x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，所以 g x在2x 处取得极小值.故 B、D 都正确.故选：BCD 三、填空题 13若227C9An，则n _.【答案】6【分析】利用排列数公式和组合数公式去求 n 的值【详解】因为277 6993C02，所以130n n，解得6n 或5n (舍去)故答案为：6 14甲、乙、丙、丁、戊等 8 人排成一排拍照，要求甲、乙、丙、丁四人排在一起，且戊排在两端，则不同的排法共有_种.【答案】1152【分析】捆绑法进行求解，再

13、考虑让戊排在这 7 人的两端，得到不同的排法有44442A A种.【详解】先不考虑戊，安排其他 7 人，甲、乙、丙、丁四人要在一起，由捆绑法可得不同的排法种数为4444A A，再考虑戊，可以让戊排在这 7 人的两端，故所求不同的排法种数为44442A A1152.故答案为：1152 15如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为边长是6cm的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为_3cm.第 7 页 共 14 页 【答案】4 3【分析】根据圆锥轴截面的形状以及长度，求得圆锥的底面半径、母线以及高，利用三角形相似，求

14、得其内接圆柱体的高和半径的关系，【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，故可得圆锥的底面半径13r，母线长6PN，则圆锥的高13 3h，根据题意，设该圆锥内接圆柱的底面半径为,(03)rr，高为h，则由1O PMOPN可得11O MO PONOP，即3 333 3rh，则3 33hr，故该圆柱的体积2233Vrhrr，令 23,(03)f rrrr，则()fr32rr，则当0,2r时，()fr0，f r单调递增；当2,3x时，()fr0，f r单调递减，故 max24f rf，故圆柱体积的最大值为4 3.故答案为：4 3.四、双空题 16在等差数列 na中，216a，317a，则na

15、_，数列11nna a的前 10项和为_.第 8 页 共 14 页【答案】14n14+n 275【分析】根据等差数列定义即可求公差的，根据等差数列通项公式即可求na，根据11nna a通项公式的特征可采用裂项相消法求其前 10 项和【详解】设等差数列 na公差为 d，则17161d，2214naandn 1111114151415nna annnn，数列11nna a的前 10 项和为：111111112151616172425152575 故答案为：n+14；275 五、解答题 17已知660162xaa xa x.(1)求0a；(2)求1236222 28aaaa；(3)求2a.【答案】(

16、1)8(2)8(3)60【分析】（1）用赋值法，令0 x，即可求解；（2）用赋值法，令2x，即可求解；（3）利用二项展开式的通项公式直接求解.【详解】(1)令0 x，得 6028a.(2)令2x，得02613222 280aaaaa，则12360222 288aaaaa .(3)因为 4222226260a xCxx，所以260a.18已知函数 32610f xxx 第 9 页 共 14 页(1)若曲线 yf x切线的斜率为9，求切点的坐标；(2)求 f x在区间3,6上的最大值与最小值【答案】(1)切点的坐标为1,5或3,17(2)最大值为 10，最小值为71【分析】（1）利用曲线的几何意义

17、求解即可；（2）对函数求导，解导数不等式得到函数单调性，由单调性即可得到最值.【详解】(1)2312fxxx，曲线 yf x切线的斜率为9，由 9fx，得1x 或3x 当1x 时，15f，当3x 时，317f，故切点的坐标为1,5或3,17(2)令 23120fxxx，得10 x，24x 令 0fx，得04x,函数单调递减，令 0fx，得0 x 或4x，函数单调递增，所以 f x在3,0，46，上单调递增，在0,4上单调递减 因为 371f，0610ff，422f，所以 f x在区间3,6上的最大值为 10，最小值为71 19 在四棱台1111ABCDABC D中，底面 ABCD是正方形，且侧

18、棱1AA垂直于底面 ABCD，11124AAADAD，O，E 分别是 AC 与1DD的中点.(1)证明：OE平面11BDA.第 10 页 共 14 页(2)求1CC与平面11BDA所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）连接BD，得到O为BD的中点，证得1/OEBD，结合线面平行的判定定理，即可证得/OE平面11BDA；（2）以A为原点，以1,AB AD AA所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得向量1(2,2,4)CC 和平面11BDA的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：连接BD，因为ABCD为正方形，可得O为BD的中点，在1

19、BDD中，因为,O E分别为1,BD DD的中点，所以1/OEBD，又因为OE 平面11BDA，且1BD 平面11BDA，所以/OE平面11BDA.(2)解：因为1AA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，所以11,AAAB AAAD，以A为原点，以1,AB AD AA所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得111(0,0,0),(4,0,0),(0,0,4),(0,2,4),(4,4,0),(2,2,4)ABADCC，则1111(0,2,0),(4,0,4),(2,2,4)ADABCC，设平面11BDA的法向量(,)nx y z，则11120440n ADyn

20、 ABxz，取1z，可得1,0 xy，所以(1,0,1)n，设1CC与平面11BDA所成的角为，则11123sincos,62 2 6n CCn CCn CC，即1CC与平面11BDA所成的角为36.第 11 页 共 14 页 202nna为等差数列，且358a；21nan为等比数列，且234a.从两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答 在数列 na中，112a，_.(1)求 na的通项公式；(2)已知 na的前 n 项和为nS，试问是否存在正整数 p，q，r，使得nn rSpqa？若存在，求 p，q，r的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)212nnna；(2)存在，3p，4q，2

21、r 【分析】(1)若选，则可根据等差数列性质求出2nna的公差 d，根据等差数列通项公式可求2nna，从而求得na；若选，则可证明等比数列概念求出21nan的公比，根据等比数列通项公式可求21nan，从而求得na；(2)根据na通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前 n项和，将其化为nn rSpqa形式即可得 p、q、r的值【详解】(1)若选：设等差数列2nna的公差为 d，则331225 123 12aad，1222121nnaann，即212nnna 若选：第 12 页 共 14 页 设等比数列21nan的公比为 q，则2112 2 122 1 1aqa ，1111212 1 122nn

22、naan，即212nnna；(2)21321222nnnS，231113212222nnnS，则两式相减得，23111111212222222nnnnS 12nS 111121214212212nnn 12nS 132322nn，2332nnnS 22221233343422nnnnnnSa，存在正整数 p，q，r，使得nn rSpqa，且3p，4q，2r 21已知函数 2lnf xxax.(1)若 f x在2,上有 2 个零点，求 a 的取值范围；(2)证明：222lnexxxx.【答案】(1)42e,ln2(2)证明见解析【分析】（1）先分离出a，利用导数确定函数的单调性，再运用数形结合的

23、思想可求解；（2）将222lnexxxx转化为证明222lnexxxx，再分别求最值可求证.【详解】(1)当2,x时，ln0 x，由 2ln0f xxax，得2lnxax.设函数 22lnxg xxx，则 22ln1lnxxgxx.当2ex 时，0gx；当ex 时，0gx.第 13 页 共 14 页 所以 g x在(2,e)上单调递减，在(e,)上单调递增，所以 mine2eg xg.因为 42ln2g，且 f x在2,上有 2 个零点.所以 a 的取值范围为42e,ln2.(2)证明：要证222lnexxxx，只需证222lnexxxx.当2a 时，22lnf xxx，则 222xfxx.当

24、01x时，0fx；当1x 时，0fx.所以 f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以 11f xf，当且仅当1x 时，等号成立.设函数 2e0 xh xxx，则 21 exh x.当02x时，0h x；当2x 时，0h x.所以 h x在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，所以 21h xh，当且仅当2x 时，等号成立.故 f xg x，因为12，所以等号取不到，所以 f xg x，即222lnexxxx，所以222lnexxxx.22已知椭圆 T：222210 xyabab的左焦点为,0Fc，上顶点为 P.直线 PF 与椭圆 T交于另一点 Q，且7PFFQ，点13,2

25、E在椭圆 T 上.(1)求椭圆 T的方程；(2)过点0,2M，且斜率为 k的直线 l与椭圆 T相交于 A，B两点，点 A关于 y 轴的对称点为A，作MNA B，垂足为 N.是否存在定点 R，使得NR为定值？若存在，请求出定点 R和NR；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214xy(2)存在，50,4R，34NR 【分析】（1）待定系数法去求椭圆 T 的方程；（2）利用设而不求的方法求得 AB恒过点10,2G，再利用直角三角形的性质找到定第 14 页 共 14 页 点 R 并求得NR的值.【详解】(1)由0,Pb，,0Fc，7PFFQ，可得点 Q 的坐标为8,77cb，则2264114949

26、ca，解之得32ca，则32ca，12ba 又因为点13,2E在椭圆 T上，所以223114ab，则22311aa 解之得2a，则1b，3c.故椭圆 T的方程为2214xy.(2)由题可知直线 l的方程为2ykx，设点11,A x y，22,B xy，则11,Ax y.联立方程组22142xyykx，整理得224116120kxkx.则2221648 4164480kkk，1221641kxxk，1221241x xk.直线 AB的方程为211121yyyyxxxx，整理得12211221yyxxxyx yx y.12211221121228222241kx yx yx kxxkxkx xxxk.令0 x，得12211212x yx yyxx，所以 AB恒过点10,2G.在 Rt MGN中，存在定点50,4R为斜边 MG 的中点，使得1324NRMG，为定值.