2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期12月月考试题数学解析版.pdf

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1、 1 江苏省扬州中学 2022-2023 学年第一学期 12 月考 高二数学 2022.12 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）公众号高中僧试题下载 1已知点3,2A，1(0,)B，则直线 AB的倾斜角为（）A30 B60 C30或 150 D60或 120 2已知函数 22f xx，则该函数在区间 1,3上的平均变化率为（）A4 B3 C2 D1 3在等比数列 na中，已知3578a a a，则19a a（）A4 B6 C8 D10 4抛物线24yx的准线方程为（）A18x B18

2、y C116x D116y 5已知圆 E：22250 xayarr与 x 轴相切，且截 y 轴所得的弦长为2 6，则圆 E 的面积为（）A254 B1256 C252 D25 6已知0,4A，双曲线22145xy的左右焦点分别为1F，2F，点 P 是双曲线右支上一点，则1PAPF的最小值为（）A5 B7 C9 D11 7已知数列 na满足211232nnnnnna aa aaa，0na 且1231aa，则7a（）A163 B165 C1127 D1129 8已知2 31,3A，2 31,3B，00,P xy为椭圆 C：22132xy上不同的三点，直线l：2x，直线 PA 交 l于点 M，直线

3、PB交 l于点 N，若PABPMNSS，则0 x（）A0 B54 C53 D3 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符 2 合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9下列说法中，正确的有（）A直线32yx在 y轴上的截距是 2 B直线250 xy经过第一、二、三象限 C过点5,0，且倾斜角为 90的直线方程为50 x D过点1,2P且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为30 xy 10过点1,4且与圆2214xy相切的直线的方程为（）A10 x B40y C34130 xy D4380 xy 11已知

4、1F，2F是双曲线 E：222210,0 xyabab的左、右焦点，过1F作倾斜角为6的直线分别交 y轴、双曲线右支于点 M、点 P，且1MPMF，下列判断正确的是（）A123FPF BE的离心率等于2 3 C双曲线渐近线的方程为2yx D12PFF的内切圆半径是313 12 已 知 数 列 na满 足2212352222nnnnaaa，设 数 列 nc的 前 n 项 和 为nS，其 中21112nnnncaa，则下列四个结论中，正确的是（）A1a的值为 2 B数列 na的通项公式为312nnan C数列 na为递减数列 D1216nnSn 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共

5、20 分）13曲线lnyxx在点 1,1处的切线的斜率为 14已知数列 na首项为 2，且*132Nnnaan，则na 15已知直线1l：3mxnymn与直线2l：30nxmynm（m，nR）相交于点 M，点 N 是圆C：22334xy上的动点，则MN的取值范围为 16已知椭圆 C：222210 xyabab的右焦点,0F cbc和上顶点 B，若斜率为65的直线 l 交椭圆C于 P，Q 两点，且满足0FBFPFQ，则椭圆的离心率为 四、解答题（本大题共 6 小题，计 70分）3 17已知二次函数 22bfaxxax，其图象过点2,4，且 13f （1）求 a、b的值；（2）设函数 lng xx

6、x，求曲线 yg x在1x 处的切线方程 18已知抛物线 C：220ypx p上的点01,Ay到抛物线 C 的焦点的距离为 2（1）求抛物线 C的方程；（2）直线 l：yxm与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，若OPOQ，求实数 m 的值 19已知数列 na前 n项和2nSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT 20已知圆 C：222516xy（1）若直线 l过点1,2A 且被圆 C截得的弦长为2 11，求直线 l的方程；（2）若直线 l 过点3,4B且与圆 C 相交于 M，N 两点，求CMN 的面积的最大值，并求此时直线 l 的方程 21已

7、知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为nS，且24a，21691nnaSn各项均为正数的等比数列 nb满足11ba，32ba（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若nnncab，求数列 nc的前 n项和nT 22已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率为32，直线1l过椭圆 C 的两个顶点，且原点 O 到直线1l的距离为2 55（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设点0,1A，过点2,1的直线 l 不经过点 A，且与椭圆 C 交于 M，N 两点，证明：直线 AM 的斜率与直线 AN的斜率之和是定值 参考答案：1B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率 k，即可知直线的倾斜角【详

8、解】由题意可知 A，B两点间的斜率 21330k，4 设直线 AB的倾斜角为，0,则tan3k，所以60 故选：B 2A【分析】根据平均变化率的定义直接求解【详解】因为函数 22f xx，所以该函数在区间 1,3上的平均变化率为 2232123143 12ff，故选：A 3A【分析】用基本量1a，q表示出来可以求；或者考虑下标和公式【详解】在等比数列 na中，335758a a aa，解得52a，则21954a aa 故选：A 4D【分析】由抛物线定义，求出 p，则可求准线方程【详解】抛物线的方程可变为214xy，由11248pp，则其准线方程为1216py 故选：D 5A【分析】根据圆 E

9、与 x 轴相切，可得5ra，再结合圆心到 y轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解【详解】圆 E：22250 xayarr与 x轴相切，截 y 轴所得的弦长为2 6，圆心为,5aa，半径为5ra，半弦长为6，圆心到 y 轴的距离为a，2265aa，解得12a ，552ra，即圆 E的面积为：2252524r 故选：A 6C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理1PAPF，利用三角形三边关系，可得答案 5【详解】由双曲线22145xy，则24a，25b，即2229cab，且13,0F，23,0F，由题意，作图如下：22122223449PAPFPAaPFAFa

10、，当且仅当 A，P，2F共线时，等号成立 故选：C 7C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11na，进而得到数列 na的通项公式，即可得到答案【详解】因为211232nnnnnna aa aaa，所以12132nnnnna aaaa，则121132132nnnnnnnaaaa aaa，有21111112nnnnaaaa，所以数列111nnaa是以21112aa为首项，2为公比的等比数列，则11112 22nnnnaa，所以11111121111111111222121nnnnnnnnaaaaaaaa 则11121nna，所以7711

11、21127a 故选：C 6【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见 一、倒数变换法，适用于1nnnAaaBaC（A，B，C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法 定义构造法。利用等比数列的定义1nnaqa通过变换，构造等比数列的方法 1nnaAaB（A，B 为常数）型递推式可构造为形如1nnaA a的等比数列 1nnnaAaBc（A，B，C 为常数，下同）型递推式，可构造为形如11nnnnac

12、A ac的等比数列 四、函数构造法 对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法 8B【分析】根据三角形面积公式及APBMPN 或APBMPN得PA PBPN PM，再应用相交弦长公式列方程，即可求0 x【详解】由PABPMNSS，则11sinsin22APB PA PBMPN PN PM 由图知：当 P 位置变化时，APBMPN 或APBMPN，故sinsinAPBMPN，所以PA PBPN PM，而直线 AP、BP斜率存在且不为 0（01x ），7 故22001111APBPPA PBkxkx，22

13、001212APBPPN PMkxkx，所以220012xx，即22000144xxx 或22000144xxx，当22000144xxx，化简得054x 当22000144xxx时，2002430 xx，显然16200，无解 所以054x 故选：B 9BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于 A：令0 x 时，2y ，故在 y轴上的截距是 2，A 错 对于 B：直线的斜率为 2，在 x、y 轴上的截距分别为52、5，故直线经过第一、二、三象限，B对 对于 C：过点5,0，倾斜角为 90的直线方程为50 x，故 C 对 对于 D：当直线的截距不为 0时，设直线的方程为：

14、1xyaa，把点1,2P代入直线得3a，所以直线方程为：30 xy，当截距为 0 时，设直线方程为：ykx，把点1,2P代入直线得2k，直线方程为：2yx，故 D错 故选：BC 10AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解【详解】设切线为 l，圆心到切线的距离为 d，圆的半径为2r 若 l 的斜率不存在，则直线方程为1x，圆心到直线的距离 112dr，满足题意；若 l 的斜率存在，设直线方程为41yk x，即40kxyk，因为直线与圆相切，所以24221kdrk，解得34k，所以切线方程为34130 xy 故选：AC 11ACD【分析】根据已知条件可得出2PFx轴，可判

15、断 A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐 8 次方程可求解离心率，故可判断 B 项；结合222cab，得到2ba，即可求得渐近线方程，可判断 C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径 r 的表达式与 c 有关，可判断 D项正确【详解】如图所示，因为 M，O 分别是1PF，12FF的中点，所以12PFF中，2PFMO，所以2PFx轴，A选项中，因为直线1PF的倾斜角为6，所以123FPF，故 A正确；B选项中，12Rt PFF中，122FFc，22 33PFc，14 33PFc，所以122 323PFPFac，得：3cea，故 B 不正确；C选项中，由222cab，即223ca，即

16、2223aba，即2ba，所以双曲线的渐近线方程为：2byxxa ，故 C正确；D 选 项 中，12PFF的 周 长 为22 3 c，设 内 切 圆 为r，根 据 三 角 形 的 等 面 积 法，有2 322 323crcc，得：313rc，所以 D 正确 故选：ACD 12ACD【分析】对于 A只需令1n 即可得出1a的值；对于 B已知数列2nna的前 n 项和，根据前 n 项和与数列的关系即可求出2nna的通项公式，继而得到 na的通项公式；对于 C已知 na的通项公式，利用递减数列定义列式1nnaa判断即可；对于 D化简得出数列 nc，裂项相消即可得出nS【详解】9 对于 A213 15

17、 1242a，即12a，故 A 正确；对于B2212352222nnnnaaa，221121315122222nnnnaaan，得231nnan，312nnna，当1n 时113 1 122a，故数列 na的通项公式为312nnna，B错误 对于 C令111134623431322222nnnnnnnnnnnaa 因为1n，所以113202nnnnaa，数列 na为递减数列，故 C正确 对于 D2111111131 3431 343 3134222nnnncnnnnnn 1 1111111 113 4771031343 4341216nnSnnnn 故 D 正确 故选：ACD【点睛】思路点睛：

18、给出nS与na的递推关系，求na，常用思路是：一是利用1nnnaSS转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与 n之间的关系，再求na 132【分析】由导数几何意义即可求【详解】11yx，12xy，所求切线斜率为 2 故答案为：2 1431n【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可【详解】由*132Nnnaan可得1131nnaa，所以数列1na 是以 3 为首项，3为公比的等比数列，10 所以113 33nnna ，即31nna，故答案为：31n 154 2226 2MN【分析】根据题设易知1l过定点3,1A，2l过定点1,3B且12ll，则 M 在

19、以 AB 为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆 C 的圆心距，根据动点分别在两圆上知MN的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案【详 解】由 题 设，1l：310m xn y（m，nR）恒 过 定 点3,1A，2l：130n xmy（m，nR）恒过定点1,3B，因为0mnnm，所以12ll，即垂足为 M，所以 M 在以 AB为直径的圆上，圆心为2,2D，半径为22AB，故 M轨迹方程为 D：22222xy，而 C：22334xy的圆心为3,3C，半径为 2，所以两圆圆心的距离为25255 2，而 M、N分别在两圆上，故MN的最大值为225 226 2，最小值为

20、5 2224 22，所以4 2226 2MN 故答案为：4 2226 2MN 1655【分析】先由0FBFPFQ得到 F 为APQ 的重心，再利用点差法求得 a、b、c 之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设,0F c，0,Bb，11,P x y，22,Q xy，线段 PQ 的中点为00,M xy，11 由0FBFPFQ，知 F 为BPQ 的重心，故2BFFM，即00,2,cbxc y，解得032cx，02by ，又 M为线段 PQ的中点，则123xxc，12yyb，又 P、Q 为椭圆 C上两点，则2211221xyab，2222221xyab，两式相减得 12121212220 xxxx

21、yyyyab，所以221212221212365PQyyxxbbckxxayyab ，化简得225abc，则222250bcbc 解得2bc或2cb（bc故舍去）则22225abcc，则离心率55ca 故答案为：55 17（1）1ab（2）10 xy 【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数 a、b 的方程组，可求得实数 a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程（1）解：因为 22f xaxaxb，则 2fxaxa，所以，2624 133fabfa ，解得11ab （2）解：因为 lng xxx的定义域为0,，且 ln1gxx，所以，11g，10g

22、，故切点坐标为1,0，所以，函数 g x在1x 处的切线方程为1yx 18（1）24yx（2）4【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将 OPOQ 转化为向量垂直，根据数量积为 0 列方程，化简，求值即可【详解】（1）已知抛物线220ypx p过点01,Ay，且2AF，12 则122p，2p，故抛物线的方程为24yx（2）设11,P x y，22,Q xy 联立24yxmyx，消去 y 整理得22240 xmxm 222440mm，则1m，则1242xxm，212x xm 由 OPOQ得 1212OP OQx xy y 1212x xxmxm 212122x xm x

23、xm 222420mmmm，4m 或0m 当0m 时，直线 l与抛物线的交点中有一点与原点 O 重合，不符合题意，综上，实数 m 的值为4 19（1）2nan，*nN（2）41nnTn【分析】（1）根据已知条件并结合公式11,1,2nnnS naSSn即可计算出数列 na的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列 nb的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前 n 项和nT【详解】（1）由题意，当1n 时，211112aS，当2n时，221112nnaSlSnnnnn，当1n 时，12a 也满足上式，2nan，*nN 13（2）由（1），可得 11nnnba a 1221nn 141n n

24、 11141nn 则12nnTbbb 1111111114242341nn 111111142231nn 11141n 41nn 20（1）240 xy或230 xy；（2）最大值为 8，70 xy或717470 xy【分析】（1）求出圆 C 的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心 C 到直线 l 的距离，然后分直线 l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线 l 的方程为143ykx，求出圆心 C 到直线 l 的距离1d，而CMN 的面积1122Sd21111616ddd，从而可求出CMN 的面积的最大值，再由1d的值可求出1k，进而可求出直线方程【详解】（1）圆 C

25、的圆心坐标为2,5C，半径4r，因 为 直 线 l 被 圆 C 截 得 的 弦 长 为2 11，所 以 由 勾 股 定 理 得 到 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 224115d 当直线 l的斜率不存在时，l：1x ，显然不满足5d；当直线 l的斜率存在时，设 l：21yk x，即20kxyk，由圆心 C 到直线 l的距离5d，得2351kk，14 即22320kk，解得2k 或12k ，故直线 l的方程为240 xy或230 xy （2）因为直线 l 过点3,4B且与圆 C 相交，所以直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为143ykx，即11430k xyk，则圆心 C 到直

26、线 l的距离为1121511kdk，又CMN 的面积222222111111112 1616168642Sddddddd，所以当12 2d 时，S取最大值 8 由1121512 21kdk，得211171070kk，解得11k 或1717k，所以直线 l的方程为70 xy或717470 xy 21（1）32nan，12nnb（2）5352nnTn【分析】（1）由21691nnaSn，可得216911nnaSn，两式相减化简可得13nnaa，再求出1a，可得 na是首项为 1，公差为 3 的等差数列，从而可求出na，再由11ba，32ba可求出数列 nb的公比q，从而可求出nb；（2）由（1）可

27、得1322nnnncabn，然后利用错位相减法可求得nT【详解】（1）因为21691nnaSn，当1n 时，22169 1aS，解得11a；当2n时，216911nnaSn，两式相减，得22169nnnaaa，即2213nnaa，又各项均为正数，所以13nnaa，即132nnaan 因为213aa满足上式，所以 na是首项为 1，公差为 3 的等差数列 所以32nan 设等比数列 nb的公比为 q，因为111ba，34b，15 所以22314bbqq，解得2q（或2q 舍去），所以12nnb（2）1322nnnncabn，所以12114 272322nnTn ，12321 24 272322n

28、nTn ，两式相减得：12311 3 2222322nnnTn 121 3213225(53)22 1nnnnn 所以5352nnTn 22（1）2214xy（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得 a，b，从而求得椭圆 C的标准方程（2）设出直线 l 的方程并与椭圆 C 的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线 AM 的斜率与直线AN 的斜率之和是定值【详解】（1）由题意得22312cbeaa，所以2ab，不妨设直线1l的方程为1xyab，12xybb，即220 xyb，所以原点 O到直线1l的距离为22 555bd，解得1b，所以2a，故椭圆 C 的标准方程为2214xy（2

29、）由题意得直线 l的斜率存在且不为 0，设直线 l的方程为12yk x，即21ykxk，设11,M x y，22,N xy，联立222114ykxkxy，16 整理得：222148214 2140kxkkxk，则222264214 144 214640kkkkk ，解得0k，12282114kkxxk，21224 21414kx xk，设直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率分别为1k，2k，则12211221121212121211222211yxyxkxkxkxkxyykkxxx xx x 222121221224 214821221221141414 21414kkkkkkx xkxxkkx xkk，故直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率之和是定值1