2022-2023学年广东省广州市协和中学等三校高一上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年广东省广州市协和中学等三校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 1已知集合1,2A ，下列选项正确的是（）A 1A B 1A C1A D1A 【答案】B【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合 A的关系即可.【详解】由题设，1A且1A，所以 B 正确，A、C、D 错误.故选：B 2函数 2log2f xxx的定义域为（）A,2 B0,C0,2 D0,2【答案】D【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可得答案【详解】解：因为 2log2f xxx，所以由020 xx，可得02x，所以函数 f x的定义域为0,

2、2，故选：D.3 如果函数()yf x在,a b上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f af b”是“函数()yf x在(,)a b内有零点”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由零点存在性定理得出“若()()0f af b，则函数()yf x在(,)a b内有零点”举反例即可得出正确答案.【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f af b，则函数()yf x在(,)a b内有零点 第 2 页 共 12 页 而若函数()yf x在(,)a b内有零点，则()()0f af b不一定成立，比如2()f xx在区间(2

3、,2)内有零点，但(2)(2)0ff 所以“()()0f af b”是“函数()yf x在(,)a b内有零点”的充分而不必要条件 故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.4下列四个图象中，不是函数图象的是（）A B C D【答案】B【分析】根据函数的定义，可知因变量y与自变量x是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函数图像，来进行作答.【详解】由函数的定义可知，选项 B 中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况.故选：B 5若“21,3,2xxa”为真命题，则实数 a 的最小值为（）A2 B1 C6 D7【答案】B【分析】由题知22 1,7x ，再根据题意求解

4、即可.【详解】解：当1,3x时，21,9x，所以22 1,7x .因为命题“21,3,2xxa”为真命题，所以1a，实数 a的最小值为1.故选：B 6已知ln3a，23sin3b，233c，则 a，b，c的大小关系是（）Aabc Bacb Ccba Dcab 第 3 页 共 12 页【答案】B【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数lnyx在(0,)上单调递增，而3e，则ln3lne1a，3sin 8sin0332b ，函数3xy 在 R 上单调递增，而203，则2030331，即01c，所以acb.故选：B 7函数 1 eco

5、s1 exxf xx，,x 的图象形状大致是（）A B C D【答案】D【分析】先根据函数奇偶性排除 AC，再结合特殊点的函数值排除 B.【详解】定义域,x，且 1 eecoscos1e1e1xxxxfxxxfx，所以 f x为奇函数，排除 AC；又 1 ecos1e0f，排除B 选项.故选：D 82010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的55.2%，碳 14 的半衰期为 5730 年，lg0.51.1665lg0.552，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（）A3500 年 B2900 年 C26

6、00 年 D2000 年【答案】B【分析】根据碳 14 的半衰期是 5730 年，即每 5730 年含量减少一半，设原来量为 1，经过t年后则变成 0.552，列出方程，即可求解.【详解】根据题意设原来的量为 1，经过t年后则变成1 55.2%0.552，可得573011()0.5522t，第 4 页 共 12 页 两边取对数，可得0.5log0.5525730t，即0.5lg0.5525730 log0.55257304912lg0.5t，又由4912201012903，所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选：B.二、多选题 9（多选）若角是第二象限角，则2是 A第一象限角

7、B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】AC【分析】先根据已知条件写出角的取值范围，再计算2的范围，并在该不等式范围中对 k kZ分奇偶讨论，从而得到2所在的象限【详解】是第二象限角，222kk，Zk，422kk，Zk.当k为偶数时，2是第一象限角；当k为奇数时，2是第三象限角.综上，可知 A，C 正确.【点睛】本题考查了等分角所在的象限问题，属于基础题.同时考查了学生对k kZ分奇偶讨论的思想和计算能力.10下列命题为真命题的是（）A若0ab，则2aab B若23,12ab，则42ab C若0,0bam，则mmab D若,ab cd，则abdc【答案】BC【分析】利用作差法判断选项

8、A；利用不等式的性质判断选项 B；利用不等式的性质判断选项 C；利用列举法判断选项 D【详解】A 项，2aab=2()0,.a abaab所以 A 选项是错误的；B 项，若23,12ab，可得：21b ，故42ab，故 B 正确；C项，若0,ba可得011ba，由0m 可得：mmab，故 C正确；D项，举当1,0,1,2abcd 时，则不成立，故 D不正确；第 5 页 共 12 页 故选：BC 11已知函数log412ayx（0a 且1a）的图象过定点 P，且角的终边经过 P，则（）A4,12P B12sin13 C5cos13 D7tan417 【答案】BD【分析】先根据对数函数的性质求出定

9、点 P，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可【详解】令41x，得5x，进而12y 5,12P，则12sin13，5cos13，5t n1a2，12tan151217tan41tan1715.故选：BD.12下列说法正确的是（）A函数1sinsinyxx的最小值为 2 B函数24xy 的最小值为 4 C若正实数a，b满足1ab，则122ab的最小值为92 D若正实数a，b满足24ab，则ab的最大值为 2【答案】CD【分析】A.由sin1x 判断；B.由指数函数的值域判断；C.利用基本不等式判断；D.利用基本不等式判断.【详解】A.因为sin1x ，所以=2y，故错误；B.因为xR，则

10、20 x所以244xy，故错误；C.因为正实数a，b满足1ab，所以55922121222222222babaababaabbab，当且仅当22baab，即12,33ab时，等号成立，故正确；第 6 页 共 12 页 D.因为正实数a，b满足24ab，所以211 222222ababab，当且仅当2ab，即1,2ab时，等号成立，故正确.故选：CD 三、填空题 13已知幂函数233mymmx在0,上单调递减，则m _.【答案】1【分析】由系数为 1 解出m的值，再由单调性确定结论【详解】由题意2331mm，解得1m 或4m，若4m，则函数为4yx，在(0,)上递增，不合题意 若1m ，则函数为

11、1yx，满足题意 故答案为：1 14已知扇形的圆心角为3，弧长为1，则其面积为_.【答案】32【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积【详解】扇形的圆心角为3，弧长为1，则扇形的半径为 r133l，面积为11331222Slr 故答案为：32 15已知与都是锐角，且1sin3，3cos2,则sin 2_.【答案】32 26【分析】由题意判断0,022，求得cos(),sin()的值，根据sin2sin()，利用两角和的正弦公式展开计算，可得答案.【详解】因为与都是锐角，故,022，第 7 页 共 12 页 由于1sin3，3cos2，所以0,022，故2212 231cos()1(

12、),sin()1()3322，故sin2sin()sin()cos()cos()sin()132 2132 232326，故答案为：32 26 16已知函数 112,03,0 xa xa xf xx的值域为R，则实数a的取值范围为_.【答案】116a【分析】由题意可得10123aa，计算不等式组即可求得结果.【详解】函数 112,03,0 xa xa xf xx的值域为R，又当0 x 时，1133x，10123aa，解得116a.故答案为：116a.四、解答题 17（1）计算：221212log0log 334143312e（2）已知tan2，求cos2sincos 2的值【答案】（1）3；（

13、2）2【分析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.【详解】解：（1）原式222211log 3 loglog 2032222312311 3 13 ；（2）原式cossin2sincos 2sincos 第 8 页 共 12 页 sincossincoscoscos tantan1 22 1 2.18已知函数 223f xxax，4,6x (1)当2a 时，求 fx的最值；(2)若 fx在区间4,6上是单调函数，求实数 a 的取值范围【答案】(1)min1f x，max35f x.(2),64,【分析】（1）利用二次函数的性质求 f

14、x的最值即可.（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求 a 的取值范围【详解】（1）当2a 时，224321fxxxx，fx在4,2上单凋递减，在2,6上单调递增，min21f xf，2max4444335f xf .（2）222233f xxaxxaa，要使 fx在4,6上为单调函数，只需4a 或6a，解得4a 或6a 实数 a的取值范围为,64,19已知函数 2sin(0)6f xx的最小正周期(1)求函数 f x单调递增区间和对称中心；(2)求函数 f x在0,2上的值域【答案】(1)答案见解析 第 9 页 共 12 页(2)1,2 【分析】（1）先

15、由最小正周期求得，再结合sinyx的性质即可求得所求；（2）利用整体法及sinyx的单调性即可求得 f x在0,2上的值域【详解】（1）因为 2sin(0)6f xx的最小正周期，所以2，得2，故 2sin 26fxx，则由2 22,Z262kxkk得,Z36kxkk，由2,Z6xkk得,Z122kxk，所以 f x单调递增区间为,Z36kkk，对称中心为,0Z122kk.（2）因为02x，所以72666x，所以1sin 2126x，故12sin 226x，即 12f x，所以 f x在0,2上的值域为1,2.20我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从 2021 年起全面发售

16、.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本 1350 万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本()T x万元，且2+100+1000,0 40,()=10000601+-7450,40,axxxT xxxx另外每台平板电脑售价为 0.6 万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知 2021 年共售出 10000 台平板电脑，企业获得年利润为 1650 万元.(1)求该企业获得年利润()W x（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)210+500-2350,0 40,()=10000+6100,40.xxxW x

17、xxx (2)100 千台，最大年利润为 5 900 万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040 x时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40 x时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10 000 台=10 千台,则(10)1002000Ta，根据题意得：第 10 页 共 12 页 0.6 100001002000 13501650a，解得=10a，当040 x时，22()0.6 10001350101001000105002350W xxxxxx，当40 x时，1000010000(

18、)0.6 1000135060174506100W xxxxxx ，综上所述210+5002350,0 40()=10000+6100,40 xxxW xxxx.（2）当040 x时，22()10500235010(25)3900W xxxx 当25x 时，()W x取得最大值max()3900W x；当40 x时，1000010000()610026100900W xxxxx ，当且仅当=100 x时，max()5900W x 因为59003900，故当年产量为 100 千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为 5 900 万元.21已知函数2()(0)21xf xaa的图象在直线1y 的

19、下方且无限接近直线1y.(1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并用定义证明；(3)求函数()f x的值域.【答案】(1)函数2()2+1xf xa在R上单调递增，2()12+1xf x (2)奇函数，证明见解析(3)(1,1)【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；（2）根据奇偶性的定义直接判断；（3）由奇偶性直接判断值域.【详解】（1）因为随着x增大，22+1x减小，即22+1x增大，故()f x随x增大而增大，所以函数2()2+1xf xa在R上单调递增.由()f x的图象在直线1y 下方，且无限接近直线1y，得1a，第 11 页

20、共 12 页 所以函数的解析式2()12+1xf x .（2）由（1）得2()12+1xf x ，整理得21()2+1xxf x，函数()f x定义域R关于原点对称，211221()()211221xxxxxxfxf x ，所以函数()f x是奇函数.（3）方法一：由（1）知()1f x，由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故()1f x ，所以函数()f x的值域为(1,1).方法二：由xR，得20 x，得211x，得10121x，得22021x，得211121x ，所以函数()f x的值域为(1,1).22 已知函数()g xaxb，2()1h xx，()()()g xf xh x 若不

21、等式()()30h xg x的解集为1,2(1)求,a b的值及 fx；(2)判断函数 fx在区间0,1上的单调性，并利用定义证明你的结论(3)已知12,0,x x且12xx，若 12f xf x.试证：122xx.【答案】(1)1,0ab；21xf xx(2)函数 fx在区间0,1上的单调递增，证明见解析(3)见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设12xx，若 12f xf x，则单调递增，若 12f xf x，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大【详解】（1）()()3

22、0h xg x，即220 xaxb，因为不等式解集为1,2，所以1204220abab，解得：10ab，所以 21xf xx（2）函数 fx在区间0,1上的单调递增，证明如下：假设12xx，则120 xx 第 12 页 共 12 页 22121212121212122222221212121111111xxx xxxx xxx xxf xf xxxxxxx，因为12,0,1x x，所以1210 x x，所以 12121222121011xxx xf xf xxx，即当12xx时，12f xf x，所以函数 fx在区间0,1上的单调递增（3）由（2）可得：函数 fx在区间0,1上的单调递增，在区

23、间1,上的单调递减，因为 12f xf x，且12,0,x x，12xx，所以10,1x，21,x，121,x 证明122xx，即证明212xx，即证明 212f xfx，因为 12f xf x，所以即证明 112f xfx，代入解析式得：1122112121xxxx，即 11221120121xxxx，令 222,0,1121xxxxxx，因为 21xf xx在区间0,1上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，2221xx在区间0,1上的单调递减，所以 222,0,1121xxxxxx单调递增，即 max10 x，所以 0 x在区间0,1上恒成立，即1122112121xxxx，得证：122xx【点睛】小问 1 求解析式，较易；小问 2 考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问 3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若 212f xfx，且 fx单减，则212xx；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数