2022届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第五次高考模拟考试理科数学试题.pdf

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1、黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2022 届高三第五次高考模拟考试 理科数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，满足(1 i)1 iz 的复数z对应的点为Z，则OZ（）A12 B22 C1 D2 2已知集合ln1Ax yx，集合1,0,1,2,3B ，则AB（）A2,3 B1,0 C 0,1 D 1,2 3已知平面向量(1,2)a，(2,)by，若ab，则ab()A2 B3 C5 D10 4下面几种推理中是演绎推理的为（）A某年级有 21 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，三班 52 人，由此推

2、测各班都超过 50 人 B猜想数列11 2，12 3，13 4，的通项公式为1(1)nan n（nN）C由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 D两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则180AB 5已知等差数列 na的前 n项和为nS，12a，734aa，则10S（）A-110 B-115 C110 D115 6已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A2yx B3yx C2yx Dyx 7在三棱柱111ABCABC中，D，E 分别为AB11 BC的中点，若12AAAC，6DE，

3、则DE与1CC所成角的余弦值为（）A33 B64 C3 68 D2 63 8中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间具有关系210yxx.检测这种药品一个批次的 5 个样本，得到成分甲的平均值为 4 克，标准差为2克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（）A22 药物单位 B20 药物单位 C12 药物单位 D10 药物单位 9哈三中招聘了 8 名教师，平均分配给南岗群

4、力两个校区，其中 2 名语文教师不能分配在同一个校区，另外 3 名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（）A18 种 B24 种 C36 种 D48 种 10已知函数()sin()f xAx（0A，0，|）的部分图像如图所示，现将 yf x的图像向右平移3个单位长度得到()yg x的图像，则以下说法正确的是（）A函数()g x的初相是34 B函数()g x的最大值是 2 C函数()g x在,6 4上单调递增 D函数()g x的图像是由函数()2sinh xx向右平移3个单位长度，横坐标扩大到原来的 3 倍得到的 11已知抛物线 C：24xy，点 M 为直线1y 上一动点，过点

5、 M 作直线MA，MB与抛物线 C 分别切于点 A，B，则MA MB（）A0 B1 C-1 D0 或 1 12已知定义在 R 上的偶函数()f x满足()(2)0fxf x，当10 x 时，()(1)exf xx，则（）A311tan(2022)ln242fff B311(2022)tanln242fff C131ln(2022)tan224fff D131(2022)lntan224fff 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若直线:90l xmy被圆22:2240C xyx截得线段的长为 6，则实数m的值为_.14利用随机模拟方法近似计算1x 和24yx所围成图

6、形的面积.首先利用计算机产生两组 01 区间的均匀随机数，RANDa，1RANDb，然后进行平移和伸缩变换，140.5bb，若共产生了 N个样本点(,)a b，其中落在所围成图形内的样本点数为 N，则所围成图形的面积可估计为_.（结果用 N，1N表示）15记nS为数列 na的前 n 项和，nb为数列 nS的前 n 项积，已知22nnSb，则9a _.16 已知菱形ABCD的边长为 2，且3ABC，点 M，N 分别为线段AB，CD上的动点，沿DM将ADM翻折至A DM，若点 C在平面A DM内的射影恰好落在直线DM上，则当线段AN最短时，三棱锥ACMN的体积为_.三、解答题：共 70 分解答应写

7、出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17如图，平面四边形ABCD中，ABBDDA，1BC，3CD，BCD.(1)若2，求ACBD的值；(2)试问为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？18哈三中从甲乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的15随机选出.现甲班在籍学生 50 人，乙班在籍学生40 人(1)若乙班将学生进行编号，编号分别为 1，2，3，40，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为 7，求第四段抽

8、取的学生的编号（直接写出结果，无需过程）；(2)现从甲乙两班代表学生中利用分层抽样共选取 9 人，再从这 9 人中随机抽取 3 人参加加试，记其中甲班学生人数为随机变量 X，求 X 的分布列与期望.19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2ADPD，1CD，5PC，点 E为棱PC上的点，且BCDE.(1)证明：平面PCD 平面ABCD；(2)若二面角EADB的大小为4，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.20已知椭圆 C：22221xyab（0ab）离心率为1e，短轴长为 2，双曲线 E：2213yx 的离心率为2e，且1 22ee.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C

9、 的右焦点2F的直线交椭圆于 A，B 两点，线段AB的垂直平分线交直线 l：2x 于点 M，交直线AB于点 N，当MAN最小时，求直线AB的方程.21已知223()ln(1)42xf xxxa x.(1)若()f x恒有两个极值点1x，2x（12xx），求实数 a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明 1232f xf x.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为222212xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极

10、坐标系，曲线C的极坐标方程为2 cossin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点2,1P，直线l与曲线C的交点为A，B，求PAPBPBPA的值.23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 211Rf xxaa (1)当1a 时，解不等式 1f xx；(2)若存在0 x使得不等式 0021f xx成立，求实数 a 的取值范围 1页 参考答案：1C 2A 3D 4D 5B 6D 7C 8A 9C 10C 11A 12B 133 1414NN#14NN 151110 16312 17(1)若2，13BCCD，所以2BD，得2AB，3sin2DBC，由0ABCDBC，得3DB

11、C，所以23ABC，在ABC中，由余弦定理得 2222cos7ACABBCAB BCABC，所以27ACBD；2页 (2)BCD，在BCD中，由余弦定理得2222cos42 3cosBDBCCDBC CD，所以213sin(42 3cos)234ABDSBD，13sinsin22BCDSBC CD，所以3sin33ABDBCA CDDBSSS四边形，当56时，ABCDS四边形取到最大值2 3.18(1)乙班在籍学生 40 人，每班参加预测试的代表学生应按班级人数的15，则乙班应选取 8 人.则将 40 人分成 8 组，每组 5 人，若第二段被抽取的学生编号为 7，则第四段抽取的学生的编号为：7

12、2 517 (2)由题意得，X的可能取值为 0，1，2，3 035439C C1(0)C21P X，125439C C5(1)C14P X 215439C C10(2)C21P X，305439C C5(3)C42P X X 0 1 2 3 P 121 514 1021 542 3页 51055()1231421423E X 19(1)由ABCD为矩形，所以BCCD，又因为BCDE，CDDED 所以BC 面PCD，又BC 面ABCD.所以面PCD 面ABCD(2)2222125PDDCPC，所以PDCD 底面ABCD为矩形，则BCCD，又BCDE，且CDDED 由CDDE，平面PCD,则BC

13、平面PCD 又PD 平面PCD,所以 BCPD 在底面ABCD为矩形中，/BCAD,所以ADPD 建立以 D 为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线为 x，y，z轴的空间直角坐标系.则(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0,2)P(2,0,0)DA，设(0,2)CECP（01）所以(0,1,2)DEDCCE 设面ADE的法向量为1111,xny z，则1100DA nDE n,即11112020yzx 则1(0,2,1)n 设面ABD的法向量为2(0,0,1)n 由1222|1|2cos,24(1)n n，解得13 则2 20,3 3DE，又(2,1,

14、2)PB，(2,0,0)BC 设面PBC的法向量为3333,nx y z,则3300PB nBC n,即333322020 xyzx 则3(0,2,1)n 设直线DE与面PBC所成角为 33 10sincos,10DE n 4页 20(1)双曲线的离心率22e，由212212bea，则2212ba，其中22b，所以22a，即椭圆方程为：2212xy(2)当直线AB的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线 l平行，不满足题意，故直线AB的斜率不为零，可设直线AB的方程为1xty，11,A x y，22,B xy，,MMNNM xyN xy.联立直线AB与椭圆 C 的方程22112xtyxy，消去

15、x 得222210tyty，22442tt 2810t 由一元二次方程根与系数的关系可得12222tyyt，12212y yt 则22Ntyt，22221122NNtxtytt 由MNAB，则MNkt，222222226|112122MNMNtMNkxxtttt 又222122112 1|11222tANABtyytt 则222223|2tan2122 24|11tMNMANtANtt 当且仅当22211tt，即1t 时取等号.此时直线AB的方程为10 xy 或10 xy.故当MAN最小时，直线AB的方程为10 xy 或10 xy.5页 21(1)函数()f x的定义域为(0,)，()lnfx

16、xxxa，则方程()0fx有两个不同的正根，即函数ya与()ln(0)h xxxx x图像有两个交点，()lnh xx，令()001h xx，令()01h xx，所以函数()h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以max()(1)1h xh，且当(0,1)x时，()ln(1ln)0h xxxxxx，当(1,)x时，()ln(1ln)0h xxxxxx，如图，由图可知(0,1)a；(2)设()()(2)G xh xhx(12)x，则2()()(2)ln20G xh xhxxx，()G x在(1,2)单调递增，故()(1)(1)(1)0G xGhh，6页 即()(2)h xhx(1

17、2)x.而12(1,2)x，故 1112222hxhxh xh x，又121x，21x，()h x在(1,)单调递减，故122xx，即122xx；由122xx知21121xxx；由(1)知，lnfxxxxa，12xx、为函数()f x的极值点，当1(0,)xx时()0fx，函数()f x单调递减，当12(,)xx x时()0fx，函数()f x单调递增，2(,)xx时()0fx，函数()f x单调递减，所以 212f xfx，故 12112f xf xf xfx，令()()(2)F xf xfx（01x）.()()(2)2(1)ln(2)ln(2)F xfxfxxxxxx，()ln(2)lnF

18、xxx，令()001Fxx，故当01x时，()F x单调递增，且(1)0F，所以()0F x，故()F x单调递减，由01x，得3()(1)2(1)2F xFf，即3()(2)2f xfx，即 1232f xf x.22(1)直线l的参数方程为222212xtyt（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为10 xy.曲线C的极坐标方程为2(cos sin)，即22(cossin)，根据222cossinxyxy，可得2222xyxy.曲线C的直角坐标方程为22220 xyxy(2)7页 在直线l的参数方程222212xtyt（t为参数）中，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，将直线l的参数方

19、程222212xtyt（t为参数），代入22220 xyxy，得2210tt，122tt，1 21t t .22212121 212211 21 224PAPBttttt tttPBPAttt tt t 23(1)当1a 时，不等式 1|21|2|1|f xxxx，当1x 时，不等式化为：2121xx ，解得0 x，则有1x ，当112x 时，不等式化为：21 21xx，解得23x ，则有213x ，当12x 时，不等式化为：21 21xx，解得4x，则有4x，综上得：23x 或4x，所以不等式 1f xx的解集为：2(,)(4,)3.(2)不等式 000021|1|21|2|1|xfaxxx，因存在0 x使得不等式 0021f xx成立，则存在0 x使得不等式00|1|21|2|1|axx成立，而000000|21|2|1|21|22|(21)(22)|3xxxxxx，当且仅当01x 时取“=”，因此有|1|3a，解得24a，所以实数 a 的取值范围是24a.