2023届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学试题(w.pdf

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1、数学试题 第1页（共9页）2023 届马鞍山市高三第一次教学质量检测 数 学 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用

2、铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合|e1xAx，1,0,1,2B ，则AB A0,1,2 B1,2 C 1,0,1 D 1,0,1,2 2若复数z满足i3izzz，则z的虚部为 A1 B2 C1 或 2 D1或 2 3现有一组数据：663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656，则这组数据的第 85 百分位数是 A652 B668 C671 D674 45G 技

3、术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log(1)SCWN，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比当信噪比SN比较大时，公式中真数里面的 1 可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从 1 000 提升至 12 000，则C大约增加了（参考数据：lg20.3010,lg30.4771,lg50.6990）A25%B30%C36%D45%5已知平面向量(1,3)a，(2,4)b，则a在b上的投影向量为 A(1,2)B(1,2)C(1,3)D1 1(,)10 5 6已知抛物线21:4

4、Eyx的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与1E相交于,A B两点，若直线l与抛物线22:4Eyx 相切，则|AB A4 B6 C8 D10 数学试题 第2页（共9页）7 已知函数()tan()(0,|)2f xx 的图象经过点(0,3)，若函数()f x在区间0,内恰有两个零点，则实数的取值范围是 A2 5,3 3 B2 5,)3 3 C5 8,3 3 D5 8,)3 3 8已知六棱锥的所有顶点都在半径为 2 的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为 A4 63 B2 6 C8 23 D4 23 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符

5、合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1r上，2r 下，母线AB长为 2，点E为AB的中点，则 A圆台的体积为7 33 B圆台的侧面积为12 C圆台母线AB与底面所成角为60 D在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为 4 10已知D是ABC的边BC上的一点（不包含顶点），且ADxAByAC，则 A1xy B21xy C2xy D22loglog2xy 11已知直线:(1)20()la xyaaR与圆22:(2)4C xy，则 A直线l必过定点 B当1a 时，l被圆C截得的弦长为4 55 C直线l与圆C

6、可能相切 D直线l与圆C不可能相离 12已知函数()eln(1)txf xxtx，若()0f x 恒成立，则实数t的可能的值为 A1e B12e C21e D2e 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知随机变量X服从正态分布2(,)N，若(01)(56)PXPX，则 14若数列na是公差为 2 的等差数列，543Sa，写出满足题意的一个通项公式na 15已知函数()f x与()g x的定义域均为R，(1)f x 为偶函数，()g x的图象关于点(1,0)中心对称，若2()()1f xg xx，则(2)(2)fg的值为 16已知椭圆2222:1(0)xyCabab的

7、焦距为 2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于,A B两点，若x轴上的点P满足|PAPB且2|3PF 恒成立，则椭圆C离心率e的取值范围为 第 9 题图 EDCBA数学试题 第3页（共9页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列na，13a，25a，数列 nb为等比数列，满足11nnnnnbaba b，且2b，42a，5b成等差数列（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记数列nc满足：,(,(nnnancbn为奇数）为偶数），求数列nc的前2n项和2nT 18（12 分）已知条件：tantan2tanBC

8、aBb；1sin2cos231sin2cos2CCCC；32 sin()3acB在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答 问题：在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，满足：（1）求角C的大小；（2）若ABC为锐角三角形，32c，求22ab的取值范围 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，4PDDC，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且14BNBC（1）求证：平面DMN平面PBC；（2）求直线AB与平面DMN所成角的正弦值 第19题图CBNDAMP数学试题 第4页（共9页）

9、20（12 分）为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查 5 头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析 甲品种 137 128 130 133 122 乙品种 111 110 109 106 114（1）已知甲品种中体高大于等于 130cm 的成年水牛以及乙品种中体高大于 110cm 的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的 5 头水牛与乙品种的 5 头水牛中各随机抽取 2 头 设随机变量X为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量X的分布列与期望（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比

10、较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响而变异系数（CV）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：100%标准差变异系数平均数变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小（参考数据：25.25.02，6.82.61）21（12 分）平面直角坐标系Oxy中，000(,)(|)P xyxa是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上一点，,A B分别是双曲线C的左,右顶点，直线,PA PB的斜率之积为3（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）设点P关于x轴

11、的对称点为Q，直线PB与直线QA交于点M，过点M作x轴的垂线，垂足为N，求证：直线PN与双曲线C只有一个公共点 22（12 分）设函数(2)()ln(1)k xf xxx（1）若()0f x 对2,)x 恒成立，求实数k的取值范围；（2）已知方程ln(1)113exx有两个不同的根12,x x，求证：126e2xx，其中e2.718 28为自然对数的底数 数学试题 第5页（共9页）2023 届马鞍山市高三第一次教学质量检测 数 学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D

12、 C C B C D A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AC AD ABD AD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13【答案】3 14【答案】2nank，其中3k （只要符合题意即可）15【答案】2 16【答案】3(0,3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【解析】（1）由题意，11nnnnnbaba b，13a，25a，令1n 得1

13、22bb，又数列nb为等比数列，所以12nnbb，即数列nb为公比为2等比数列 所以，12nnaa，数列na是首项为3，公差为2的等差数列，数列na的通项公式：*21()nannN （3 分）由2b，42a，5b成等差数列，得：2544bba，1121636bb，12b，有2nnb （5 分）（2）由（1）知：21,(2,(nnnncn为奇数）为偶数），数列nc的奇数项是首项为 3，公差为 4 的等差数列，偶数项是以首项为 4，公比为 4 的等比数列 2135212462(1)4(14)()()34214nnnnn nTaaaabbbbn 242(41)3nnn （10 分）18（12 分）【

14、解析】（1）选择条件tantan2tanBCaBb：tantansincoscossinsin()sintanBsincossincossincoscosBCBCBCBCAaBCBCBCbC，所以2cosaabCb，于是1cos2C，又(0,)C，所以3C 数学试题 第6页（共9页）选择条件1sin2cos231sin2cos2CCCC：因为1sin2cos22sin(cossin)tan1sin2cos22cos(cossin)CCCCCCCCCCC，解得tan3C，又(0,)C，所以3C 选择条件32 sin()3acB：则3(sin3cos)acBB，由正弦定理得：3sinsinsin3

15、sincosACBCB，即3sin()sinsin3sincosBCCBCB，整理得：3sincossinsinBCCB，由sin0B 得：tan3C，又(0,)C，所以3C （6 分）（2）由（1）知，233CBA，ABC为锐角三角形，所以62A，由正弦定理1sinsinsinabcABC，得sin,sinaA bB，于是，222222214sinsinsinsin()1cos2cos(2)323abABAAAA 化简得，2211sin(2)26abA，因为52666A，所以1sin(2)126A，5131sin(2)4262A，故22ab的取值范围为5 3(,4 2 （12 分）19（12

16、 分）【解析】（1）证法 1：因为PD 底面ABCD，所以PDBC，又ABCD为正方形，所以BCCD，且PDCDD，所以BC 平面PCD，又DM 平面PCD，所以BCDM，因为PDDC，M为线段PC的中点，所以DMPC，且BCPCC，所以DM 平面PBC，而DM 平面DMN，所以平面DMN 平面PBC （6 分）证法 2：以D点为坐标原点，以,DA DC DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，由已知可得(0,0,0)D，(0,2,2)M，(3,4,0)N，(0,0,4)P，(4,4,0)B，(0,4,0)C，则(0,2,2)DM，(3,4,0)DN，(4,4,4)PB，

17、(0,4,4)PC 设平面DMN的法向量为1111(,)nx y z，由1nDM,1nDN得10nDM,10nDN，所以1111220340yzxy，令11z，得11y ，143x，所以14(,1,1)3n 设平面PBC的法向量为2222(,)nxyz，xyzPMADNBC第19题图数学试题 第7页（共9页）由2nPB,2nPC得20nPB,20nPC，所以222224440440 xyzyz，令21z，得21y，20 x，所以2(0,1,1)n，因为120nn，所以12nn，所以平面DMN平面PBC （6 分）（2）方法 1：因为底面ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线AB与平面DMN所

18、成角等于直线CD与平面DMN所成角，设所求角为，由已知可求得17MN，5DN，2 2DM，所以90DMN，所以34DMNS，又6CDNS，点M到平面CDN的距离为 2，设C点到平面DMN的距离为h，由CDMNMCDNVV，得11623433h，得1234h，又4CD，所以3 34sin34hCD （12 分）方法 2：因为(0,4,0)ABDC，平面DMN的法向量为14(,1,1)3n，设直线与平面DMN所成的角为，则1113 34sin|cos,|34|AB nAB nABn （12 分）20（12 分）【解析】（1）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，（1 分）22232255(0)

19、0.03CCP XCC，2111122233232255(1)0.24CC CC CCP XCC，22111122223223332255(2)0.46CCC CC CCCP XCC，2111123233222255(3)0.24CC CC CCP XCC，22322255(4)0.03CCP XCC （4 分）随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 0.03 0.24 0.46 0.24 0.03 随机变量X的期望()00.031 0.2420.463 0.2440.032E X （6 分）（2）1(137133130128122)1305x 甲，222221(73028)25.2

20、5s 甲，5.02s甲 1(111110109106114)1105x乙，222221(10144)6.85s乙，2.61s乙（8 分）根据公式，甲品种的变异系数为5.02100%3.86%130，乙的变异系数为2.61100%2.37%110，所以甲品种的成年水牛的变异系数大 （12 分）21（12 分）【解析】（1）由题意，(,0),(,0)AaB a，00(,)P xy满足2200221xyab，即2222002()byxaa 数学试题 第8页（共9页）于是，22200002222200003PAPByyyybkkxa xaxaxaa，（4 分）所以双曲线C的渐近线方程为3yx （5 分

21、）（2）由题，(,0),(,0)AaB a，直线00:()yPB yxaxa，直线00:()yQA yxaxa 联立直线PB与直线QA方程，解得20Maxx，故20Naxx （7 分）由（1）知双曲线222:33Cxya，故222003()yxa，于是直线202000:()yaPNyxaxxx，即2002200()x yayxxax，即200033xayxyy，与双曲线C联立得：2222000333()3xaxxayy，即22222220000(3)6(3)0yxxa x xaay，（10 分）即22222003630a xa x xa x，因为2222200(6)4(3)(3)0a xa x

22、a，所以直线PN与双曲线C只有一个公共点 （12 分）22（12 分）【解析】（1）由(2)()ln(1)0k xf xxx，得ln(1)(2)0 xxk x 令()ln(1)(2),2,)xxxk xx，则()ln(1)1xxxkx，22112()0(2)1(1)(1)xxxxxx 于是()ln(1)1xxxkx在2,)上单增，故()(2)2xk 当2k 时，则()20 xk，所以()x在2,)上单增，()(2)0 x，此时()0f x 对2,)x 恒成立，符合题意；（4 分）当2k 时，(2)20k，e1(e1)0ekkk，故存在0(2,)x 使得0()0 x，当0(2,)xx时，()0 x，则()x单减，此时()(2)0 x，不符合题意 综上，实数k的取值范围(,2 （6 分）（2）由（1）中结论，取2k，有2(2)ln(1)(2)xxxx，即2(1)ln(1)1tttt 不妨设211xx，211xtx，则2212112(1)ln1xxxxxx，整理得1221212lnlnxxxxxx （9 分）于是1221212121(1)(1)(1)(1)3e12ln(1)ln(1)(1)(1)3exxxxxxxxxx，即126e2xx （12 分）第9页（共9页）