2022-2023学年辽宁省实验中学名校联盟高三上学期1月高考模拟调研卷(一)数学.pdf

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1、绝密启用前 2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（一）本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 U2，0，1，1，2，集合1lg 21AxyxxN，B1，1，则UAB（）A2，0 B2，2 C2，0，2 D0，1，2 2已知复数2 iz，且izazb，其中 a，b 为实数，则ab（）A2 B0 C2 D3 3已知向量a，b夹角的余弦值为14，且4a，1b，则2abba（）A36 B12 C6 D36 4 为庆祝中国共产主义青年

2、团成立 100 周年，某高中团委举办了共青团史知识竞赛（满分 100 分），其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为 800，600，600现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为 85，90，全校共青团员成绩的样本平均数为 88，则高三年级共青团员成绩的样本平均数为（）A87 B89 C90 D91 5已知抛物线20C ypx p:的焦点为 F，点 M 在 C 上，点,02pA，若52AMFM，则cosMFA（）A22 B32 C33 D12 6古印度数学家婆什伽罗在丽拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施 2 子安

3、贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月 31 天计算，记此人第 n 日布施了na子安贝（其中 1n31，nN），数列 na的前 n 项和为nS若关于 n 的不等式21162nnnSata恒成立，则实数 t 的取值范围为（）A,7 B,15 C,16 D,32 7在三棱锥 ABCD 中，2 2ABBCCDDA，ADCABC90，平面 ABC平面 ACD，三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，E，F 分别在线段 OB，CD 上运动（端点除外），2BECF 当三棱锥 EACF 的体积最大时，过点 F 作球 O 的截面，则截面面积的最小值为（）A B3

4、C32 D2 8 已知双曲线2222:1xyCab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，M，N 在 C 上，且1112|MFNFFF，1212FFFNMN，则 C 的离心率为（）A23 B33 C323 D312 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知0abc，则（）A11ab Babac Clg0abac Dbc 10 如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABC90，ABBC3，16BB，E，F 分别满足112AEEC，112B FFC，则（）AE，

5、F，A，B 四点共面 BB1C平面 BEF C异面直线 AE 与 BB1所成的角大于 60 D存在过 AB 的平面与平面 EFC 平行 11某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域或者一次，或者投进区域两次，或者投进区域三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域与的概率均为 p（0p1），投进区域的概率是投进区域的概率的 4 倍，每次投实心球的结果相互独立记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为 P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率

6、为 P2，则（）A106p B2116Pp C322123612Pppp D若12PP，则 p 的取值范围为10,8 12已知函数 f（x），g（x）的定义域均为 R且满足 23f xgx，45g xf x，40gxg x，则（）A 22f xf x B 20g C yg x的图像关于点（3，1）对称 D 401710kf k 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。137233xx的展开式中除常数项外的各项系数和为_ 14 过三点 A（2，0），B（4，2），C（2，2）中的两点且圆心在直线 y3x 上的圆的标准方程为_（写出一个满足条件的方程即可）15已知函数 2cos

7、3fxx（0，Z）在区间2,33内单调，在区间0,4内不单调，则 的值为_ 16已知1xx和2xx是函数 2e2023xf xmxmR的两个极值点，且213xx，则 m 的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记正项数列 na的前 n 项积为nT，且121nnaT （1）证明：数列 nT是等差数列；（2）记 1441nnnnnbT T，求数列 nb的前 2n 项和2nS 18（12 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知22sinsincoscos3sincosBCAAABC （1）证明：2a

8、bc；（2）若2bc，3cos5A，求ABC 的面积 19（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ADCD，ADPA，22ABADCD，2PAPB（1）证明：平面 PBD平面 PAD；（2）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 20（12 分）5G 技术对社会和国家十分重要，从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命某科技公司生产一种 5G 手机的核心部件，下表统计了该公司 20172021 年在该部件上的研发投入 x（单位：千万元）与收益 y（单位：亿元）的数据，结果如下：年份 2017 2018

9、2019 2020 2021 研发投入 x 2 3 4 5 6 收益 y 2 3 3 3 4（1）求研发投入 x 与收益 y 的相关系数 r（精确到 0.01）；（2）由表格可知 y 与 x 线性相关，试建立 y 关于 x 的线性回归方程，并估计当 x 为 9 千万元时，该公司生产这种 5G 手机的核心部件的收益为多少亿元；（3）现从表格中的 5 组数据中随机抽取 2 组数据并结合公司的其他信息作进一步调研，记其中抽中研发投入超出 4 千万元的组数为 X，求 X 的分布列及数学期望 参考公式及数据：对于一组数据,iix y（i1，2，3，n），相关系数12211niiinniiiixxyyrx

10、xyy，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniixxyybxx，aybx，52.236 21（12 分）已知椭圆2222:1xyCab（ab0）的右焦点为 F，过 F 作一条直线交 C 于 R，S 两点，线段 RS 长度的最小值为 3，C 的离心率为12（1）求 C 的方程；（2）不过 C 的左顶点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，且直线 AP 与 AQ 的斜率之积恰好等于12试问直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 22（12 分）已知函数 1lnf xax xx（aR）（1）当2a 时，求曲线 yf x在点 1

11、,1f处的切线方程；（2）若函数 122g xfxxax有两个不同的零点，求 a 的取值范围 数学(一)一、选择题 1B 2C 3A 4C 5B 6B 7C 8D 二、选择题 9BCD 10ABD 11AC 12BC 三、填空题 135231 14(x2)2(y6)252 或(x1)2(y3)210 或(x1)2(y3)226(写出符合要求的一个答案即可)152 163,ln3 四、解答题 17（1）证明：由题意得1nnnTaT(n2)，因为121nnaT，所以121nnnTTT(n2)，即12nnTT(n2)，所以12nnTT(n2)当 n1 时，a1T1，所以11121TT，解得 T13，

12、故 nT是以 3 为首项，2 为公差的等差数列（2）解：由（1）可知，31221nTnn，所以 144441111121232123nnnnnnnnbT Tnnnn ，所以2111111111111435577941414143343129nnSnnnnnn 18（1）证明：由题意得22sinsincos3sincoscosBCAABCBC，即22sinsincos3sin2sinsinBCAABC，由正、余弦定理得22222322bcabcabcbc，整理得22224bcbca，即224bca，又 a0，b0，c0，所以 bc2a，所以 2abc（2）解：由（1）得12bca，由3cos5A

13、得4sin5A，由余弦定理得222262cos25abcbcAbcbcbc，即16145bc，所以1516bc，所以ABC 的面积111543sin221658SbcA 19（1）证明：因为 PA2PB24AB2，所以 PAPB 因为 ADCD，ABCD，所以 ADAB，又 ADPA，ABPAA，所以 AD平面 PAB，又PB平面 PAB，所以 PBAD，又PAADA，所以 PB平面 PAD 因为PB平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAD（2）解：取 AB 中点 O，连接 PO，OC，由 PAPB，得 POAB，又 AD平面 PAB，PO 平面 PAB，所以 ADPO，又ADABA，所以

14、PO平面 ABCD，又 OB，OC 平面 ABCD，所以 POOB，POOC 由 O 为 AB 的中点，AB2CD，四边形 ABCD 是直角梯形，可知四边形 AOCD 为矩形，所以 OBOC 以 O 为坐标原点，OB，OC，OP的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，1,0,1PA ，1,0,1PB，1,2,0BC 设平面 PBC 的法向量为,ma b c，则00m PBm BC，则0,20,acab 令 b1，则2,1,2m 设直线 PA 与平面 PBC 所成的角为，则2 2sincos,

15、3PA mPA mPA m，即直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 23 20解：（1）由题可得2345645x，2333435y ，5214 1 0 1 410iixx ，5211 000 12iiyy，所以515522112 50.895iiiiiiixxyyrxxyy（2）因为5125140.410iiiiixxyybxx，3 0.4 41.4aybx，所以 y 关于 x 的线性回归方程为0.41.4yx 当 x9 时，0.4 9 1.45y ，所以此时该公司生产这种 5G 手机的核心部件收益估计为 5 亿元（3）易知 X 的可能取值为 0，1，2，022325C C30C10

16、P X，112325C C31C5P X，2225C12C10P X，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 310 35 110 所以 3314012105105E X 21解：（1）根据题意得222223,1,4baaba，解得224,3,ab 所以 C 的方程为22143xy（2）由（1）可知 A(2，0)，当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立22,1,43ykxmxy消去 y 整理得2223484120kxkmxm，2248 430km，所以122834kmxxk，212241234mx xk 因为12APAQkk，所以 22

17、121212121212121212222242APAQk x xkm xxmyykxm kxmkkxxxxx xxx，所以2222222241281343441282243434mkmkkmmkkmkmkk，即22221231164162kmkmkm，所以225480mkkm，即2520mkmk，所以 m2k 或25mk，均符合0 当 m2k 时，直线 l：ykx2k 恒过定点(2，0)，因为直线不过点 A，所以舍去；当25mk 时，直线2:5l ykxk恒过定点2,05 当直线斜率不存在时，设直线 l：xx0，不妨设 P(x0，y0)，则 Q(x0，y0)，则00001222APAQyyk

18、kxx，且2200143xy，解得025x 或 x02(舍去)；此时直线 l 过定点2,05，综上，直线 l 恒过定点2,05 22解：（1）当 a2 时，222lnf xxxx，所以 142fxxx，又 f(1)0，f(1)1，所以所求切线方程为 yx1（2）2221112ln1ln222g xf xxaxaxaxxxaxaxaxx(x0)，所以 2111111axaxaxxgxaxaxxx，当 a0 时，由 g(x)0，得 x(0，1)，由 g(x)0，得 x(1，)，所以 g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增，所以若 g(x)有两个不同的零点，则必有 11102g

19、a ，即 a2 当 x(1，)时，2221ln22ln20gaa，因为 212ln2g xa xxxx，当 x(0，1)时，1x22x0，所以 1ln2g xaxx，所以111122221eeln ee02aaaaga，所以 g(x)在区间(0，1)，(1，)内各有一个零点，故 a2 满足题意；当 a1 时，因为 g(x)0，所以 g(x)在区间(0，)内单调递减，所以 g(x)至多有一个零点，不符合题意；当1a0 时，因为当10,1,xa 时，g(x)0，当11,xa时，g(x)0，所以 g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间11,a内单调递增，在区间1,a内单调递减，所以 g(x)的极小值为 11102ga，所以 g(x)至多有一个零点，不符合题意；当 a1 时因为当10,1,xa时，g(x)0，当1,1xa时，g(x)0，所以 g(x)在区间10,a内单调递减，在区间1,1a内单调递增，在区间(1，)内单调递减，所以 g(x)的极小值为111111ln1ln022gaaaaaaa，所以 g(x)至多有一个零点，不符合题意 综上，a 的取值范围是(2，)