2022-2023学年上海市长宁区高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 10 页 2022-2023 学年上海市长宁区高一上学期期末数学试题 一、填空题 1用符号“”“”或“”填空：a_,a b c【答案】【分析】由集合间的关系即可求.【详解】a 为集合,a b c的其中一个元素，故 a,a b c.故答案为：.2已知方程230 xx的两根为12,x x，则12x x _【答案】3【分析】结合韦达定理求解即可.【详解】123cx xa 故答案为：3 3若82log3x ，则x _【答案】14；【解析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.【详解】82log3x ，233211848x.故答案为：14.4已知3log 2a，用a表示2log 9

2、6 _【答案】51aa【分析】根据对数的运算法则求解即可.【详解】321log 2,log 3,aa 52222151log 96log(32 3)log 2log 35aaa，故答案为:51aa.5若关于x的不等式20 xxm的解集是，则实数m的取值范围是_【答案】1,4 第 2 页 共 10 页【分析】由题意，转化为20 xxm在xR上恒成立，利用判别式求解.【详解】因为不等式20 xxm的解集是，20 xxm 在xR上恒成立，241 4 10bacm ，即14m 故答案为:1,4.6已知直角三角形的斜边长为20cm，则该直角三角形面积的最大值是_【答案】100【分析】设两直角边为,a b

3、，则22400ab，进而根据基本不等式求解即可.【详解】解：设两直角边为,a b，直角三角形的斜边长为20cm 22220400ab，222abab，200ab，即max()200ab max1120010022Sab 故答案为：100 7已知幂函数ayx在区间(0,)是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出一个满足条件的a_【答案】2（答案不唯一）【分析】根据题意a0且为偶数即可.【详解】解：幂函数ayx在区间(0,)上是严格减函数，0a，又图像关于 y轴对称，a可以为偶数，故满足条件 a的值可以为2 故答案为：-2 8指数函数xya在1,2上最大值与最小值之差为 6，则a_.【答案】3【分析

4、】分为0,1a和1,a两种情况，结合函数的增减性求解即可【详解】当0,1a时，函数为减函数，1maxyaa，2minya，则26aa，方程无解；当1,a时，函数为增函数，2maxya，1minyaa，则26aa，解得3a，2a 舍去 故答案为 3【点睛】本题考查指数函数根据函数最值在给定区间求解参数问题，属于基础题 第 3 页 共 10 页 9已知函数2yxmx在区间1,)上是严格增函数，则实数m的范围是_【答案】(,1【分析】先求解20 xmx的根，判断两根的大小以及严格递增区间，再判断 m 的范围.【详解】令20 xmx，解得0 x 或xm，当0m 时，2yx在1,)上是严格增函数；若0m

5、时，函数在,)m 上单调递增，又函数在区间1,)上是单调递增，故1m；若0m 时，函数在0,)上单调递增，则函数在区间1,)上是单调递增恒成立，综上 m的范围是1m 故答案为：(,1 10关于x的不等式|2|1|xxa 的解集为R，则实数a的取值范围是_【答案】1,)【分析】由绝对值三角不等式得|2|1|1xx，进而结合题意得1a.【详解】解：由绝对值三角不等式得：|2|1|21|1xxxx ，当且仅当21021xxxx时等号成立，即1x时等号成立，关于 x 的不等式|2|1|xxa 的解集为R，1a，即实数 a 的取值范围是1,)故答案为：1,)11已知函数()yf x是定义在实数集R上的偶

6、函数，当0 x 时，()yf x的图像如图所示，则关于x的不等式()0f xx的解集为_ 【答案】(,3(0,3 【分析】由偶函数的定义作出()yf x在R上的图像，根据图像讨论即可.【详解】因为函数()yf x是R上的偶函数，图像关于y轴对称，所以()yf x在R上的图像如图所示：第 4 页 共 10 页 ()f xx的定义域为(,0)(0,)，由图像可知在(,3 上，()0f x，0 x，所以()0f xx，在 3,0)上，()0f x，0 x，所以()0f xx，在(0,3上，()0f x，0 x，所以()0f xx，在3,)上，()0f x，0 x，()0f xx，综上不等式()0f

7、xx的解集为(,3(0,3，故答案为：(,3(0,3 12设R,Zam，若存在唯一的m使得关于x的不等式组2|1xmxa 有解，则a的范围是_【答案】1,02【分析】将不等式拆解后分别计算，得到12ma，结合mZ且 m是存在且唯一及其范围得到不等式0 11 122a，求解即可.【详解】解：21,1 2,10 xmmxm，Z,0mm，1121,22mmxmx，mxa，xma，11,12222mmmammaa，0m且mZ且 m是存在且唯一，0 11 11,0222aa，故答案为：1,02a 第 5 页 共 10 页 二、单选题 13如图，点D、E分別为ABC的边AB、AC上的两点，若:,:/ADD

8、EDE BCABBC，则是的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】A【分析】若DEBC，根据平行线分线段成比例定理可推出ADDEABBC，而反向通过作图不一定成立.【详解】由平行线分线段成比例定理得，当DEBC，ADDEABBC；当ADDEABBC时，DEBC不一定成立，如图所示：则是的充分非必要条件 故选：A 14用反证法证明命题:“若2xy，则1x 或1y”时，应假设（）A1x或1y B若1x或1y，则2xy C1x且1y D若1x且1y，则2xy【答案】C【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x且1y，故

9、选:C 15如果0ab，那么下列不等式中不成立的是（）第 6 页 共 10 页 A2aba B1ab C22ba D11ab【答案】D【分析】取特殊值得到反例即可证明不成立.【详解】0ab，20aba，故 A 正确；1ab，故 B 正确；220ba，故 C 正确；取320 ，但1132，故 0ab时，11ab不成立，故 D 错误；故选：D 16已知函数()(R)yf x x，下列命题中:若函数()yf x在区间I上是单调函数，则函数()yf x在区间I上是严格增（减）函数;若函数()yf x在区间,a b上单调函数，则()f a是函数()yf x在在区间,a b上的最大（或最小）值；若函数()

10、yf x的图像是一段连续曲线，如果(1)(1)0ff，则函数()f x在(1,1)上没有零点；真命题的个数为（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【分析】可举出反例；可分函数()yf x在,a b上单调递增和单调递减两种情况，推理出()f a是()f x在,a b上的最大值或最小值.【详解】若 0,0,0 xf xx x，则()f x在 R 上是单调的，但不是严格单调增的，故为假命题；若函数()yf x在,a b上单调递增，有()()f af x，(,xa b 若函数()yf x在,a b上单调递减，有()()f af x，(,xa b，故()f a是()f x在,a b上的最大

11、值或最小值，故为真命题；若2()2,(1)2,(1)2yf xxff，(1)(1)0ff，但(0)0f，()f x在(1,1)上有零点0 x，故为假命题.第 7 页 共 10 页 故选：B 三、解答题 17已知集合260Ax xpx，集合250Bx xxq，且集合3AB，求实数p、q的值以及AB【答案】1,6,2,2,3pqAB 【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解.【详解】将两个方程中都代入3x，得：9360,9 150pq，解得：21,6,60(2)(3)02pqxxxxx 或 3，2560(2)(3)02xxxxx或 3，所以 2,3,2,3,AB 2,2,3AB.18解下列不等

12、式:(1)2102xx;(2)|1 2|3x【答案】(1)12,2；(2)1x x 或2x 【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式求解；(2)根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】（1）(2)(21)0211022022xxxxxx ，所以不等式的解为12,2.（2）|1 2|3x，1 23x 或213x，1x 或2x,所以不等式的解为1x x 或2x.19科学家用死亡生物的体内残余碳14成分束推断它的存在年龄生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14含量大致不变生物死去后会停止呼吸，此时体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），且大约每经过5730年衰减为原来的一半，

13、这个时间称为“半衰期”，设某一刚死亡生物体内碳14含量为0C 第 8 页 共 10 页(1)按上述变化规律，此死亡生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系?(2)当死亡生物体内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了，请问该生物死亡50000年后，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳14吗?【答案】(1)57300102xyCx(2)能测到 【分析】（1）根据半衰期的定义可直接得到函数关系式；（2）将50000 x 代入函数关系式中可求得碳14的含量大于死亡前的千分之一，由此可得结论.【详解】（1）体内原有的碳14，每经过5730年衰减为原来的一半，x年

14、后体内的碳14应为原来的573012x，57300102xyCx.（2）由（1）得：该生物死亡50000年后，体内的碳14的含量为5000057300010.002362CC00.001C，碳14的含量大于死亡前的千分之一，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳14 20设1()lg1xf xx(1)判断函数()yf x的奇偶性，并说明理由;(2)判断函数()yf x在其定义域上的单调性，并说明理山;(3)若2(1)10ftft，求t的取值范围【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见解析(3)1,2 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；（2）根据lg1,lg 1yxyx 在(1,1)上单调

15、递增判断()yf x单调性，并结合函数的单调性的定义证明；（3）根据函数单调性与奇偶性解不等式即可.第 9 页 共 10 页【详解】（1）解：1()lg1xf xx，由101xx，得(1,1)x，11()lglg()11xxfxf xxx ，()f x为奇函数（2）解：1()lglg 1lg 11xf xxxx，函数lg1,lg 1yxyx 在(1,1)上单调递增，可以判断()yf x在其定义域上单调递增，证明如下：令 122112122121121111,(1,1),lglglg1111xxxxx xxxf xf xxxxx，1212,(1,1),x xxx，12xx，12110 xx，12

16、011xx 122111111xxxx，121211lg011xxxx 210f xf x，()f x在(1,1)上为单调递增函数（3）解：()f x为奇函数 222(1)10(1)11ftftftftf t，()f x在(1,1)上为单调递增函数，2211111111tttt ，解得12t t的取值范围为1,2 21若两个函数()yf x和()yg x对任意,xa b都有|()()|1f xg x，则称函数()yf x和()yg x在,a b上是“密切”的(1)已知命题“函数211()22f xxx 和()1g xx 在1,2上是“密切”的”，判断该命题的真假若该命题为真命题，请给予证明;若

17、为假命题，请说明理由;(2)若函数211()22f xxx 和()1g xx 在,1a a上是“密切”的，求实数a的取值范围；(3)已知常数1m，若函数1()3xxF xmm与2()3xG xm在1,2上是“密切”的，求实数m的取值范围【答案】(1)假命题，理由见解析；(2)1,0 第 10 页 共 10 页(3)5151,22 【分析】（1）由题意可知211()()22f xg xx，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判断即可；（2）由|()()|1f xg x解出x的取值范围，根据集合间的关系求解即可；（3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】（1）由211(

18、),()122f xxxg xx 可得 222111111()()(1)222222f xg xxxxxx ，由一元二次函数的图像可知21151,222x，所以21151222x，即51()()2f xg x，故命题“函数211()22f xxx 和()1g xx 在1,2上是“密切”的”是假命题.（2）由（1）知22111|()()|1222xf xg xx，即21x，所以11x，所以11 1aa ，解得10a，故实数 a的取值范围为 1,0.（3）因1()3xxF xmm与2()3xG xm在1,2上是“密切”的，所以12133xxxmmm在1,2上恒成立，所以113xxmm，即13xxmm，因为1m，1,2x，所以1xm，且xm单调递增，只需13xxmm即可，又因为对勾函数1ytt 在1,)上为增函数，所以当2x 时，1xxmm取最大值，所以2213mm，即42310mm，所以223524m，解得2535222m，即2353522m，所以222515122m，故515122m.